出租車幾何學(xué)
——一種有趣的幾何學(xué)

范逸璇

(吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 130012)

1 出租車幾何學(xué)

我們熟悉的初等幾何學(xué)是以歐幾里德(Euclidean)幾何原本內(nèi)容為基礎(chǔ)而建構(gòu)出來的．但是在真實(shí)生活中，受制于縱橫交錯(cuò)之街道(如，紐約曼哈頓街道)，兩點(diǎn)之間很少能以直線行進(jìn)方式到達(dá)，多數(shù)是以「前后左右」的方式行進(jìn)，這使得原本的兩點(diǎn)距離公式必須改寫．

「出租車幾何學(xué)」(Taxicab Geometry) 或「格子點(diǎn)幾何學(xué)、曼哈頓幾何學(xué)」．出租車幾何學(xué)主要探討在縱橫交錯(cuò)街道的限制之下的幾何系統(tǒng)理論基礎(chǔ)，它是由生于俄國(guó)的著名德籍?dāng)?shù)學(xué)家閔可夫斯基(Hermann Minkowski，1864—1909)最先開始研究的．近年也有「校車幾何」School-bus geometry(Cynthia Lanius，1998)，初期并未正式架構(gòu)出完整的理論基礎(chǔ)，直到1975 ，Krause，Eugene F．才將Taxicab Geometry 做了進(jìn)一步研究．本研究即以「出租車幾何學(xué)」(Taxicab Geometry)，表示一個(gè)路線僅能以「水平」或「鉛垂」方向行進(jìn)的坐標(biāo)平面幾何系統(tǒng)[1]．

這是一個(gè)對(duì)“距離”的合理定義，因?yàn)樗鼭M足：

(1)非負(fù)性：兩點(diǎn)距離總是大于等于 0 ；

(2)對(duì)稱性：A到B的距離等于B到A的距離；

(3)零距離：A到B的距離為 0 當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

(4)三角形不等式：對(duì)于任意三點(diǎn)A、B、C，不等式AB+BC≥AC總成立．

也就是說出租車幾何學(xué)是建立在一個(gè)合理的度量空間上的．這是一個(gè)全新的幾何世界．

2 出租車幾何—三角形性質(zhì)

(1)在出租車幾何學(xué)系統(tǒng)里，很多經(jīng)典幾何定理仍然成立．

①三角形的內(nèi)角和還是180度．因?yàn)?，這是一個(gè)關(guān)于角度的定理，與距離的度量方式無關(guān)；既然角度的度量方式不變，三角形的內(nèi)角和也仍然不會(huì)變．

②兩點(diǎn)間的最短路線有很多條．

圖1

圖2

(2)如果涉及到三角形的邊長(zhǎng)，很多命題就不再成立了．

①在直角△ABC中，勾股定理不成立.另一結(jié)論：斜邊等于兩直角邊之和：AB=BC+CA.

如圖2，在直角△ABC中，設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x1,y2)，根據(jù)出租車幾何學(xué)距離(兩點(diǎn)之距離)公式：AB=|x1-x2|+|y1-y2|,AC=|x1-x1|+|y1-y2|=|y1-y2|,BC=|x1-x2|+|y2-y2|=|x1-x2|，即AB=BC+CA.

②“等邊對(duì)等角”、“等角對(duì)等邊”不成立．例如圖3中的△ABC，雖然AB=AC=3，但∠B≠∠C．在△MNS中，雖然∠N=∠S(=71.57°)，但MN=5，MS=7．

在出租車幾何中，還能畫出等邊直角三角形(圖3，△PQR)．

圖3

③在出租車幾何學(xué)中，不能用“邊邊邊”判斷三角形全等．

我們畫出兩個(gè)△ABC、△A′B′C′，它們的對(duì)應(yīng)邊都相等(AB=A′B′=2，BC=B′C′=4，AC=A′C′=6)，但這兩個(gè)三角形并不能重合在一起．

④在出租車幾何中，不能用“邊角邊”判斷三角形全等．

如圖4中，在直角△GHF、△G′H′F′中，GH=G′H′，F(xiàn)H=F′H′，但是它們不全等．

圖4

3 出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中的「圓」

圓是到某個(gè)定點(diǎn)等距離的點(diǎn)集合．在歐幾里德幾何系統(tǒng)中，假設(shè)定點(diǎn)為O(a，b)，與O點(diǎn)相距r之點(diǎn)集合為{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2=r2}，它的圖形是圓．

圖5

而在出租車幾何系統(tǒng)中，與定點(diǎn)O距離r的點(diǎn)集合為{(x，y)||x-a|+|y-b|=r}，它的圖形是以O(shè)(a，b)為中心的「正方形」，如圖5.

在出租車幾何系統(tǒng)中，半徑為正整數(shù)r的圓都是由4r個(gè)點(diǎn)組成的圖形，且其圓的周長(zhǎng)為8r．

「圓」的周長(zhǎng)與直徑之比值為此系統(tǒng)的「圓周率」．「圓周率」為8r÷2r=4．

圖6

在歐幾里德幾何學(xué)中，兩個(gè)圓的公共點(diǎn)不超過兩個(gè)．而在出租車幾何學(xué)中，兩個(gè)圓的交點(diǎn)可以有多個(gè)，例如(如圖6)，半徑為3的圓O′與半徑為4的圓O有7個(gè)交點(diǎn)．

4 出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中之「中垂線」

在歐幾里德幾何系統(tǒng)中，「與兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集合」的圖形為連接兩定點(diǎn)線段的中垂線，但是按照此定義，在出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中，「與兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)集合」，卻不是大家熟悉的「中垂線」，因此姑且稱之為「等距線」．

在出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中，兩定點(diǎn)坐標(biāo)A(x1，y1)、B(x2，y2)，與A、B兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)集合為|x-x1|+|y-y1|=|x-x2|+|y-y2|的解．重新定義距離后，很多圖形會(huì)變得更加復(fù)雜．定義兩點(diǎn)間的垂直平分線為到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的圖形．在這個(gè)幾何世界里，垂直平分線是什么樣的？在一般情況下，垂直平分線并不一定是“垂直”平分線，而可以是一條折線段或其他情形．

問題[2]在出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中，在J(-6，-1)、F(-3，3)、R(2，1)三個(gè)樓盤之間建設(shè)一所學(xué)校S，要求SJ=SF=SR，如何確定S點(diǎn)(三條“中垂線”交點(diǎn))．

(1)|SJ|=|SF|，|x+6|+|y+1|=|x+3|+|y-3|

(※1)

①當(dāng)-1≤y≤3和-6≤x≤-3，

(※1)變?yōu)椋簒+6+y+1=-x-3-y+3，即y=-x-7/2．

②當(dāng)-1≤y≤3和x<-6，

(※1)變?yōu)椋?x-6+y+1=-x-3-y+3，即y=5/2

③-1≤y≤3和x>-3，

(※1)變?yōu)椋簒+6+y+1=x+3-y+3，即y=-1/2

參見圖7中的粗實(shí)線．

圖7

(2)|SF|=|SR|，|x+3|+|y-3|=|x-2|+|y-1|

(※2)

①當(dāng)1≤y≤3和-3≤x≤2

(※2)變?yōu)椋簒+3-y+3=-x+2+y-1，即y=x+5/2

②當(dāng)x<-3 和y<1，

(※2)變?yōu)椋?x-3-y+3=-x+2-y+1

-x-y=-x-y+3，由于 0≠3，在x<-3和y<1條件下無解．

③當(dāng)-3 ≤x≤2 和y<1，

(※2)變?yōu)椋簒+3-y+3=-x+2-y+1，即x=-3/2

④當(dāng)-3 ≤x≤2 和y≥3，

(※2)變?yōu)椋簒+3+y-3=-x+2+y-1，即x=1/2

參見圖7中的細(xì)實(shí)線．

(3)|SJ|=|SR|，|x+6|+|y+1|=|x-2|+|y-1|

(※3)

①當(dāng)-6 ≤x≤2 和y<-1，

(※3)變?yōu)椋簒+6-y-1=-x+2-y+1，即x=-1

②-6 ≤x≤2和-1 ≤y≤-1，

(※3)變?yōu)椋簒+6+y+1=-x+2-y+1，即y=-x-2

③-6 ≤x≤2和1

(※3)變?yōu)椋簒+6+y+1=-x+2+y-1，即x=-3

參見圖7中的虛線．

三條線交點(diǎn)(-1．5，-0．5)為所求S點(diǎn)．圖8中正方形(點(diǎn)虛線)為JFR三點(diǎn)的“外接圓”．

盡管垂直平分線如此奇怪，不過(一般情況下)三角形三邊的垂直平分線仍然交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)也是名副其實(shí)的“外心”，以它為中心可以作出這個(gè)三角形的“外接圓”．

圖8

還有一些特殊的情況，出租車幾何系統(tǒng)中三點(diǎn)不僅僅確定一個(gè)圓．例如，同時(shí)過A(0，1)、B(0，-1)、C(1，0)的圓就有無窮多個(gè)(如圖9)．這是因?yàn)椋篈(0，1)和C(1，0) 的垂直平分線是∠BCO區(qū)域中(包括邊)各個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)，如點(diǎn)P(它到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離都是7)；同理B(0，-1)和C(1，0) 的垂直平分線是∠ACO區(qū)域中(包括邊)各個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)．這兩個(gè)區(qū)域的交點(diǎn)(坐標(biāo)軸上的點(diǎn))O、O1、O2、O3、O4、…就是點(diǎn)A、C、B的外接圓的圓心，對(duì)應(yīng)半徑分別為1、2、3、4、5、…，如圖9，得到對(duì)應(yīng)的若干個(gè)圓．

圖9

5 在出租車幾何系統(tǒng)中，點(diǎn)到直線的距離例示

在出租車幾何系統(tǒng)中，點(diǎn)到直線最短的距離為橫向或縱向距離(與直線之斜率有關(guān)).點(diǎn)P(x1，y1)到L:y=mx+b的距離[3]：

d=|y1-mx1-b|，-1

6 出租車幾何學(xué)系統(tǒng)中的「圓錐曲線」

(1)對(duì)于定點(diǎn)P與直線L，任何到P點(diǎn)與L等距離之點(diǎn)所成的集合，在歐幾里德幾何系統(tǒng)中的圖形為拋物線，但是在出租車幾何系統(tǒng)中的圖形又是什么呢？

圖10

如圖11．

圖11

(2)直角坐標(biāo)系x軸兩個(gè)固定點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，另外兩個(gè)點(diǎn)F(-a，0)，C(a，0) ，a>c>0 ．則出租車幾何系統(tǒng)的「橢圓」方程為

|x-(-c)|+|y|+|x-c|+|y|=2a

如圖12．

圖12

(3)直角坐標(biāo)系x軸有兩個(gè)固定點(diǎn)

F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，A1(-a，0)，A2(a，0) ，c>a>0 ．則出租車幾何系統(tǒng)之「雙曲線」方程為

|||x-(-c)|+|y||-||x-c|+|y|||=2a

圖13

圖14

還有更復(fù)雜的情形[4]，如圖14：焦點(diǎn)軸斜率為1的情形(它上面的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)(即焦點(diǎn))A，B的距離之差的絕對(duì)值都等于常數(shù)4．)，方程較復(fù)雜，略．

7 出租車幾何背景的高考題

高考題 (2014·福建·文·12)：在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L-距離”定義為‖P1P2‖=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于定值(大于‖F(xiàn)1F2‖)的點(diǎn)的軌跡可以是( ) [答案A．]

A

B

C

D

與此具有相同背景還有福建2006高考題(理·12)、廣東2010高考題(理·21)．這三道高考題的背景都是出租車幾何學(xué)．