7～9年級學(xué)生概率認(rèn)知中的“等可能性偏見”研究*

何聲清 鞏子坤

(1.北京師范大學(xué)教育學(xué)部 100875；2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院 310036)

1 引言

概率素養(yǎng)(probabilityliteracy)[1]是當(dāng)今社會公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，概率內(nèi)容也已然自上世紀(jì)末開始陸續(xù)進(jìn)入各國的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(如美國[2]、英國[3]、我國[4]).然而諸多研究一再表明[5～7]，自學(xué)前到高中階段，學(xué)生在概率認(rèn)知及推理方面始終表現(xiàn)出不同程度的錯誤，“概率思維中的不當(dāng)推理在不同年齡層之間廣泛存在且十分頑固”[8].“等可能性偏見”是學(xué)生對概率概念的典型錯誤認(rèn)知之一，并且已被國外諸多研究[9～14]一再證實.Lecoutre較早地對“等可能性偏見”進(jìn)行了描述[11]，“在用一些外形對稱的物體(如，硬幣、骰子)進(jìn)行隨機(jī)試驗時，人們認(rèn)為各事件的結(jié)果總是等可能的.例如，同時擲2枚硬幣，擲出‘一正一反’的概率理論上大于‘兩個正面’.然而，許多人認(rèn)為所有結(jié)果均是等可能的”.Amir的研究表明[15]，學(xué)生在概率決策時常常不當(dāng)?shù)赜谩?0-50”對各事件的可能性一概而論.Tarr則進(jìn)一步區(qū)分了學(xué)生在概率決策時不當(dāng)使用“50-50”的兩種典型表現(xiàn)[16]：一種誤用是在預(yù)測兩種以上等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗中；另一種誤用是在預(yù)測兩種不等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗中.

關(guān)于我國學(xué)生“等可能性偏見”的實證研究則相對較少.李俊首次對上海地區(qū)的6、8、12年級學(xué)生概率認(rèn)知中的“等可能性偏見”進(jìn)行了研究[17]，并將其具體區(qū)分為兩種表現(xiàn)形式：一種認(rèn)為隨機(jī)試驗所有結(jié)果的概率相等且均為50%，另一種認(rèn)為所有結(jié)果的概率相等且均為1/n(n是指“學(xué)生能夠列舉的所有可能的結(jié)果總數(shù)”).高海燕對杭州地區(qū)6～12歲(1～6年級)學(xué)生的研究表明[18]，學(xué)生的“等可能性偏見”隨年級遞增不降反增.何聲清等對杭州地區(qū)11～14歲(5～8年級)學(xué)生的研究表明[19]，學(xué)生在重復(fù)樣本及包含組合運算的問題情境中更易于表現(xiàn)出“等可能性偏見”.然而縱觀上述研究，以下問題尚待深究：承接高海燕的研究，我國中學(xué)生(7～9年級)“等可能性偏見”的表現(xiàn)如何？該偏見是如何隨年級遞增而發(fā)展的？兩類“等可能性偏見”的表現(xiàn)有何差異？該偏見在不同概率任務(wù)中表現(xiàn)有何差異？該偏見在不同性別之間有何差異？本研究將對以上問題進(jìn)行具體分析.

2 研究設(shè)計

2.1 測試工具

研究共設(shè)計了7個“摸球”任務(wù)(Tasks)，以考察學(xué)生對兩個事件的概率進(jìn)行比較的能力(表1).各任務(wù)按照“球的顏色種類”、“球的總數(shù)”及“盒子個數(shù)”等變量設(shè)置任務(wù)情境，其中任務(wù)1～2是“摸出1個球”的情境；任務(wù)3～7是“摸出2個球”的情境.

表1 “摸球”任務(wù)設(shè)計

續(xù)表

(注：①各題目題干均是“一個(兩個)不透明的盒子里(分別)有×個白球、×個黑球和(和×個綠球)，它們除顏色外都相同.閉上眼睛，搖一搖盒子后，從盒子里摸出2個球(各摸出1個球).”②除了要求對事件概率進(jìn)行比較之外，各題均要求被試詳細(xì)寫出作答理由，用作判斷學(xué)生問題解決策略的依據(jù).)

2.2 被試

北京市某學(xué)校的204名7～9年級學(xué)生參與了本次測試，各年級的被試人數(shù)分別為69人、74人及61人，男、女生人數(shù)分別為113人和91人.

2.3 信度

對學(xué)生各題作答的內(nèi)部一致性進(jìn)行分析，結(jié)果表明，該測試卷具有較高的同質(zhì)性信度(Cronbachα=0.771).

3 研究結(jié)果

在本研究中，李俊[19]提出的兩類“等可能性偏見”再一次得到了證實.為了討論方便，下文將前者稱為第I類“等可能性偏見”(簡稱為第I類偏見)，后者稱為第II類“等可能性偏見”(簡稱為第II類偏見).以T4為例，有被試認(rèn)為“‘1個黑球和1個白球’與‘2個白球’的概率相等，因為兩者的可能性均是50%”，這屬于第I類偏見；有被試認(rèn)為“有三種可能，所以三種可能各占1/3，因此‘1個黑球和1個白球’和‘2個白球’的可能性一樣大，1/3=1/3”，這屬于第II類偏見.

我們根據(jù)學(xué)生作答的情況以及提供的理由來分析他們是否持有兩類偏見.

3.1 學(xué)生在“摸出1個球”任務(wù)中幾乎沒有表現(xiàn)出“等可能性偏見”

學(xué)生在“摸出1個球”任務(wù)中表現(xiàn)良好，總體正確率為93.87%，7～9年級學(xué)生的作答正確率分別為92.03%、91.22%及99.18%.在任務(wù)1和任務(wù)2中，分別僅有1.47%和1.96%的被試在其作答理由中表現(xiàn)出“等可能性偏見”，學(xué)生基本能夠?qū)ε袛嘧龀龊侠斫忉?以任務(wù)1為例，有62.7%的被試認(rèn)為“白球的數(shù)量(比例)多，所以摸出白球的可能性大”，有32.4%的被試更是列舉了事件的樣本空間(如，“摸出黑球有1種情況，摸出白球有2種情況”)，并據(jù)此認(rèn)為“摸出白球的可能性大”.

3.2 學(xué)生在“摸出2個球”任務(wù)中明顯表現(xiàn)出兩類“等可能性偏見”，且兩類偏見的發(fā)展趨勢有所差異

學(xué)生在“摸出2個球”任務(wù)中的作答正確率則明顯較低(40.1%)，7～9年級學(xué)生的作答正確率分別為28.41%、36.76%及57.38%.從學(xué)生的作答理由來看，學(xué)生在該類任務(wù)中則明顯表現(xiàn)出較多的“等可能性偏見”(22.98%)，且各年級基本持平(分別為22.26%、24.36%及22.3%).學(xué)生的“等可能性偏見”沒有隨著年級的遞增而明顯消除，這也得到了已有研究[11]的支撐.將學(xué)生在該類任務(wù)上的作答正確率與“等可能性偏見”的百分比對比可推斷，盡管學(xué)生在該類任務(wù)上的正確率隨年級的遞增有較明顯的提高，但其持有的“等可能性偏見”卻始終比較頑固.

縱向來看(表2)，7～9年級學(xué)生的第I類偏見隨著年級遞增有較明顯的消除；而第II類偏見隨著年級遞增反而有較明顯的增多.也就是說，盡管總體而言7～9年級學(xué)生“等可能性偏見”的百分比基本持平，然而若對兩類偏見作具體分析，其發(fā)展趨勢是不一樣的，這是對已有研究[11]“‘等可能性偏見’在認(rèn)知發(fā)展過程中長期存在”的進(jìn)一步發(fā)展與完善.

表2 學(xué)生在兩類“等可能性偏見”表現(xiàn)上的差異

3.3 “等可能性偏見”是導(dǎo)致學(xué)生作出等可能判斷的主要原因之一

對于“摸出2個球”任務(wù)，除任務(wù)7外，學(xué)生在各任務(wù)情境中的作答正確率均較低(表3).

表3 學(xué)生在“摸出2個球”任務(wù)中的作答正確率

在該類任務(wù)中，T3～T6的答案均是“A.‘1個黑球和1個白球的可能性大’”，T7的答案是“B.‘2個白球’的可能性大”.然而在學(xué)生的作答中，選擇“C.一樣大”的百分比(42.35%)甚至超過了正確選項(40.1%).需要指出的是，選擇“C.一樣大”并不一定意味著學(xué)生一定持有“等可能性偏見”，其他方面的不良直覺或錯誤認(rèn)識也是導(dǎo)致其做出此類判斷的原因.例如，有的學(xué)生在T4中選擇“C”的理由是“因為黑球和白球一樣多，都是2個”或者“我猜的”.為此，我們進(jìn)一步對學(xué)生的作答及其理由進(jìn)行對比分析(圖1)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，持有“等可能性偏見”的學(xué)生的百分比(22.98%)占了選擇“C.一樣大”的學(xué)生的百分比(42.35%)一半以上.具體到每一個任務(wù)，兩者也均有類似的比例(T3，33.17% vs 49.51%；T4，26.46% vs 52.45%；T5，19.24% vs 34.31%；T6，24.8% vs 55.39%；T7，11.2% vs 20.1%).盡管沒有對導(dǎo)致選擇“C”的其他原因進(jìn)行統(tǒng)計，我們基本可以說，持有“等可能性偏見”是導(dǎo)致學(xué)生選擇“C.一樣大”(等可能的判斷)的主要原因之一.

圖1 選擇“C.一樣大”與基于“等可能性偏見”的百分比對比

3.4 學(xué)生在不同任務(wù)情境中表現(xiàn)出的“等可能性偏見”有所差異

總體而言，各題中學(xué)生“等可能性偏見”的百分比從大到小依次是T3>T4>T6>T5>T7(表4).(1)學(xué)生在T3中“等可能性偏見”的百分比最高，且基本均是第I類偏見.(2)學(xué)生在T4和T6中“等可能性偏見”的百分比也比較高，這或許與題目的結(jié)構(gòu)有關(guān)：該類任務(wù)中球的個數(shù)均是“2黑、2白”，T6中兩個盒子里球的個數(shù)和顏色也均一致.學(xué)生常常把這種直觀上的“對等”與結(jié)果的“等可能”建立不當(dāng)?shù)囊蚬?lián)系，“因為兩種球都是2個，所以兩個結(jié)果的可能性相等”.(3)學(xué)生在T7中“等可能性偏見”的百分比最低，這一方面可能是因為白球有3個，黑球僅有1個，直觀上兩者數(shù)量懸殊較大，這在一定程度上減少了學(xué)生對“兩種情況等可能發(fā)生”的直覺判斷，轉(zhuǎn)而訴諸于其他的策略；另一方面，T7的問題情境是在“兩個”盒子中“分別”摸球，這在一定程度上“分解”了摸球的動作，利于學(xué)生對摸出的球進(jìn)行“組合”.換言之，學(xué)生可能在該任務(wù)上更多地訴諸于組合或其他策略.

需要指出的是，與T7相比，T6同樣是從“兩個”盒子里“分別”摸球的情境，但學(xué)生在該任務(wù)上“等可能性偏見”的百分比卻相對較多.這是由于T6中黑、白球數(shù)量相等，且兩個盒子外觀對等，給“等可能性偏見”提供了直觀的土壤.此外，與T6相比，T4中球的個數(shù)同樣是2個黑球和2個白球，但學(xué)生在該任務(wù)上“等可能性偏見”的百分比卻相對較多.一方面，這是由于T6是“分別”從兩個盒子里“各”摸出1個球，如前文所述，這在一定程度上“分解”了摸球的動作，讓使得對摸球結(jié)果進(jìn)行“組合”成為了可能；另一方面，T6的樣本空間(4種情況)小于T4(6種情況)，相對而言更容易列舉出所有的可能結(jié)果，這在一定程度上給學(xué)生列舉樣本空間進(jìn)而進(jìn)行概率比較提供了便利，從而“等可能性偏見”這一不良直覺的百分比相較于T4更少.

表4 學(xué)生在不同任務(wù)情境中表現(xiàn)出的“等可能性偏見”

續(xù)表

3.5 學(xué)生“等可能性偏見”與直覺的發(fā)展有關(guān)

7～9年級學(xué)生兩類偏見的發(fā)展是“此消彼長”的過程.從一般意義而言，第II類偏見相較于第I類有一定“進(jìn)步”的方面：該類偏見不再將事件的概率作“二元”劃分并采用“50-50”的思路進(jìn)行解釋，而是考慮到了試驗結(jié)果的其他情況.也就是說，鑒于兩類偏見的總體百分比在年級組間基本持平，那么第II類偏見百分比的提高(意味著第I類偏見百分比的降低)可以視為學(xué)生直覺上的“進(jìn)步”.在T4中，9年級學(xué)生第II類偏見的百分比明顯高于7、8年級，而第I類偏見則明顯低于7、8年級；在T6中，9年級學(xué)生第II類偏見的百分比雖沒有明顯提高，但第I類偏見則明顯降低.如前所述，T4和T6均是直觀上“對等”的情境，這說明9年級學(xué)生在這類直觀上“對等”的情境中能夠擺脫簡單的“二元”劃分，其直覺有了一定的“進(jìn)步”.在T5和T7中，各年級組間在兩類偏見上的百分比變化不大，僅T7中第I類偏見有一定降低，以及8年級學(xué)生在第II類偏見的百分比有一定提高.這說明，在直觀上“不對等”的情境中，學(xué)生雖然更多地表現(xiàn)為第II類偏見，然而其直覺并沒有隨著年級的遞增有明顯的“進(jìn)步”.

3.6 男、女生的“等可能性偏見”無顯著性差異

對男、女生在各任務(wù)上的得分進(jìn)行差異分析.結(jié)果表明，男生(M=3.72，SD=1.8)和女生(M=4.09，SD=2.05)的得分無顯著性差異(p=.17>.05).具體到每一個任務(wù)，男、女生也均無顯著性差異(pT1=.992>.05，pT2=.943>.05，pT3=.107>.05，pT4=.443>.05，pT5=.119>.05，pT6=.094>.05，pT7=.899>.05).

對男、女生作答理由中表現(xiàn)出的“等可能性偏見”進(jìn)行差異分析.結(jié)果表明，男生(M=1.09，SD=1.46)和女生(M=1.31，SD=1.81)無顯著性差異(p=.35>.05).對男、女生在各任務(wù)上是否表現(xiàn)出“等可能性偏見”進(jìn)行差異分析.結(jié)果表明，不同性別學(xué)生在各任務(wù)的作答理由中是否表現(xiàn)出“等可能性偏見”均無顯著性差異(T1，χ2=.600，p=.439>.05；T2，χ2=.048，p=.827>.05；T3，χ2=.486，p=.486>.05；T4，χ2=1.560，p=.212>.05；T5，χ2=1.665，p=.197>.05；T6，χ2=1.118，p=.290>.05；T7，χ2=.601，p=.438>.05).

4 討論與分析

4.1 本研究結(jié)果與國外研究的比較

在Green[20]的一項早期研究中，設(shè)計了一道在難度和結(jié)構(gòu)[注]需要指出的是，Green的研究中D選項是“我不知道”，這與本研究中D選項“不確定”略有不同.上均類似于本研究T1的題目：班級里有13名男孩和16名女孩，老師將每位同學(xué)的名字分別寫在一張紙條上并放進(jìn)一頂帽子里.老師閉上眼睛從帽子里抽出一張紙條.請選擇：A.男孩更容易被抽到；B.女孩更容易被抽到；C.男孩、女孩一樣容易被抽到；D.我不知道.在接受測試的11～16歲學(xué)生中，有42%的被試選擇了答案“C.男孩、女孩一樣容易被抽到”.而在本研究中的T1中，僅有4名(1.96%)被試選擇了“C.一樣大”.在“更容易出現(xiàn)‘等可能性偏見’”的T3～T7中，我國7～9年級(13～15歲)學(xué)生才達(dá)到同等程度的百分比(42.35%).

以上僅從“學(xué)生作答”層面對兩項研究進(jìn)行了比較.如前所述，學(xué)生作出的等可能判斷不完全源自于其直覺中的“等可能性偏見”.為此引用李俊的研究[17]對學(xué)生的“理由”進(jìn)行更深入的比較.在李俊的研究中，在一項“理論上最容易出現(xiàn)‘等可能性偏見’”的題目中，11和13歲學(xué)生中共有28%的被試在作答理由中表現(xiàn)出了“等可能性偏見”.在本研究中，7～9年級(13～15歲)學(xué)生在“更容易表現(xiàn)出‘等可能性偏見’”的“摸出2個球”任務(wù)中，其“等可能性偏見”的百分比分別為22.26%、24.36%及22.3%，與李俊的研究基本一致.

承接高海燕[18]的研究，7～9年級學(xué)生的“等可能性偏見”總體上保持在同等水平，但兩類具體的偏見則“此消彼長”.

4.2 造成“等可能性偏見”的原因分析

筆者結(jié)合已有研究及學(xué)生作答嘗試對學(xué)生“等可能性偏見”的原因作出如下分析.

(1)構(gòu)造樣本空間時遇到困難

在以“摸球”模型為例的古典概型中，事件A的概率能夠基于其包含的可能結(jié)果個數(shù)(m)及樣本空間(n)而被進(jìn)行理論計算(P=m/n).對于“摸出2個球”的任務(wù)，在構(gòu)造樣本空間時需要對各種可能的情況進(jìn)行組合運算.以T4為例，其樣本空間是“黑1黑2，黑1白1，黑1白2，黑2白1，黑2白2，白1白2”.因此摸出“1個黑球和1個白球”的概率為4/6，摸出“2個白球”的概率為1/6.然而，學(xué)生常常認(rèn)為“共有3種可能的情況，即‘1個黑球和1個白球’‘2個白球’和‘2個黑球’，所以摸出‘1個黑球和1個白球’和‘2個白球’的概率均為1/3.”

(2)缺乏對概率“可度量性”的認(rèn)識

對古典概型而言，事件的理論概率具有先驗性.然而在作答中，學(xué)生常常會認(rèn)為“至于哪種情況更容易被摸出，我們是無法預(yù)知的，因為事情還沒有發(fā)生”，也正是這種錯誤觀念導(dǎo)致學(xué)生在概率決策時走向“等可能性偏見”：“既然無法預(yù)知接下來會發(fā)生什么(或者說，既然各種結(jié)果都是有可能的)，那么我覺得各種情況的概率一樣.”這也得到了其他研究的支撐.例如，在Savard[21]的一項有關(guān)“擲硬幣”試驗中，學(xué)生常常認(rèn)為“硬幣有兩面，我們不知道落下時哪一面會朝上，因為硬幣不是我擲的，所以各種可能性一樣.”

(3)生活經(jīng)驗中的不良直覺

良好的直覺對于學(xué)生概率思維的發(fā)展有益無害[22]，然而不良直覺卻對概率思維的發(fā)展造成干擾.研究表明[15]，學(xué)生生活經(jīng)驗中的樸素概率知識(informallyacquiredknowledge)和學(xué)校課程中呈現(xiàn)的概率知識(formalknowledge)常常具有潛在的沖突.在本研究的概率任務(wù)中，學(xué)生常常把題意中的“閉上眼睛摸球”和“等可能性”建立聯(lián)系，其理由是“因為是閉上眼睛摸的(無法人為操控)，所以各種結(jié)果的可能性一樣”.再例如，在所有的7個“摸球”任務(wù)中，“搖一搖盒子，摸出×個球”的本意是“隨機(jī)摸出×個球”.然而有學(xué)生把“隨機(jī)”曲解為“隨意”，亦即“隨我之意”，“我希望兩種結(jié)果的可能性一樣大，那么兩者的可能性就一樣大”.

(4) 不當(dāng)?shù)囊蚬季S

確定性思維是一種“關(guān)系思維”，它依據(jù)當(dāng)前或過去的信息對現(xiàn)象進(jìn)行解釋，因果關(guān)系在其中扮演著重要角色.如前文提及，對于T4和T6這類直觀上“對等”的情境，學(xué)生常常把這種直觀上的“對等”和結(jié)果的“等可能性”形象地建立了因果聯(lián)系.在以往的一項研究[19]中，我們組織學(xué)生進(jìn)行有放回地摸球試驗，讓其摸10次并記錄結(jié)果.統(tǒng)計結(jié)果顯示，10次摸球中有5次摸出的是白球，另5次摸出的是黑球.學(xué)生在試驗之后常常斷定“如果再摸出一個球，兩種顏色球的可能性一樣大，因為前面10次中二者機(jī)會均等.”顯然，學(xué)生把“前10次的試驗結(jié)果”和“理論上的概率”建立了不當(dāng)?shù)囊蚬?lián)系.

5 結(jié)語

學(xué)生在“摸出1個球”任務(wù)中幾乎沒有表現(xiàn)出“等可能性偏見”；在“摸出2個球”任務(wù)中表現(xiàn)出的“等可能性偏見”學(xué)生百分比為22.98%，并且沒有隨著年級的遞增有明顯的減少.盡管隨著年級的遞增，第I類“等可能性偏見”的“消”和第II類“等可能性偏見”的“長”可以認(rèn)為是學(xué)生在直覺上的一種“進(jìn)步”，但這類偏見始終沒有企及概率決策的本質(zhì).為此，教師要認(rèn)識到教學(xué)該類概率問題的困難性與艱巨性，與此同時，積極引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識概率的“可度量性”，并逐步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造樣本空間對其進(jìn)行理論計算.此外，教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生擺脫生活經(jīng)驗中不良直覺的影響，有意識地發(fā)展學(xué)生的概率思維.