基于學生認知水平的數(shù)學建模教學實驗研究①
——以WA中學高一年級學生為例

趙成慧 彭乃霞

(1.黔南民族師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 558000；2.貴陽市白云區(qū)興農中學)

引言

數(shù)學建模能力在基礎教育階段的重要性毋庸置疑，它是培養(yǎng)學生解決問題能力的有效途徑.基于學生認知水平開展教學是教學有效性的重要保障，為教師進行有針對性的教學提供依據和前提保障.高一處于初高中銜接的過渡期，在思維形式和學習習慣方面都需要作出較大的變化.高一學生多數(shù)處于14、15歲，根據皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，屬于形式運算階段的相對穩(wěn)定期，能夠進行抽象的思維，具備一定的演繹推理能力、命題推理能力、組合分析能力.對這個階段的學生進行數(shù)學建模教學，培養(yǎng)其建模思想、解決問題的能力是必要的.在高中數(shù)學必修系列中，高一學生將首次從集合的角度去理解函數(shù)，并相繼學習能夠刻畫現(xiàn)實情境的基本初等函數(shù)模型，這為培養(yǎng)高一學生數(shù)學建模思想提供了重要的保障.本文以函數(shù)的應用為題材，基于學生認知水平對數(shù)學建模教學進行實驗研究.首先，將學生認知水平分為記憶、理解、分析、運用、綜合五個層次，對學生學習能力方面的認知水平進行考察.其次，依據學生認知水平進行數(shù)學建模教學實驗研究.

1 學生認知水平的劃分

1.1 評價體系的構建

本文測量學生數(shù)學認知水平的工具為數(shù)學認知水平的評價體系，這里主要沿用布魯姆的六級目標分類即知識、理解、應用、分析、綜合與評價六層評價體系，對其做進一步修正與細化，建立了包括記憶、理解、分析、應用、綜合五個層次的評價框架量表，劃分學生認知水平.

表1 學生認知水平構建表

1.2 試卷的編制

試卷共5個大題，11個小問.第一大題、第三大題、第四大題、第五大題都分別分為兩問，第二大題分為三問.五道大題的分值分別為10分，15分、20分、20分、25分，滿分90分.

以試卷的方式考察學生認知水平.測試題目結合被調查學校的教學進度安排，題目從各地高考題、一些已有的開放題中選取、進行適當?shù)母木?，構成了符合考察學生認知水平的題目.主要從學生對數(shù)學概念、性質的記憶、理解、分析、應用以及綜合五個方面進行考察.

圖1 測試題目在各認知水平上的分布

1.3 評分標準

劃分學生認知水平，不能籠統(tǒng)地從每道題的得分上進行簡單的劃分.學生對問題的理解、邏輯推理、表征方式、遷移轉化、解答過程等無一不體現(xiàn)其思維過程.因此，在制定劃分學生認知水平的標準時，主要針對學生對每一問的回答過程以及知識點、步驟給分.由于本文界定的5個認知水平之間存在關聯(lián)性、遞進性，所以題目中既含有只考察某個認知水平的題目，也含有包含多個認識水平的綜合性題目.

表2 劃分學生認知水平測試卷的評分標準

從表2中可以看出總分在20以下的屬于記憶水平的學生，在20～45分之間的屬于理解水平的學生，45～65分之間的屬于分析水平的學生，65～75分之間的屬于應用水平階段的學生，總分在75～90分階段的屬于綜合水平的學生.

1.4 實驗對象

本研究的實驗對象為貴州WA中學高一年級兩個同一層次班級的全體學生，一個班作為實驗班，另一個班作為對照班，實驗班45人，對照班51人，共96人.為了驗證實驗班與對照班是否屬于同一層次的班級，進一步對兩個班級進行差異分析.檢測材料為劃分學生認知水平的測試卷.

表3 實驗班、對照班測試成績獨立樣本t檢驗結果

如表3所示，檢驗的顯著性概率 Sig.為0.288>0.05，說明方差齊性，因此選用Equal variances assumed進行分析，2-tailed sig的值為0.653>0.05.因此，認為實驗班、對照班測試成績沒有顯著差異，可作教學對比研究.

1.5 測量結果與分析

根據學生對題目的作答情況，按照量表批改試卷，并利用excel、專業(yè)數(shù)據統(tǒng)計軟件spss20.0進行分析處理.

表4 班級*水平層次交叉列聯(lián)表

從表中4可以看出，在實驗班中分別有2人，16人、15人、6人、6人處于記憶水平，理解水平、分析水平、應用水平、綜合水平；在對照班中分別有4人，24人、11人、8人、4人處于記憶水平，理解水平、分析水平、應用水平、綜合水平.

圖2 學生認知水平層次圖

2 基于學生認知水平的數(shù)學建模教學實驗研究

2.1 實施變量說明

本次實驗的自變量是基于學生認知水平的數(shù)學建模教學，因變量是后測試卷成績.在盡量控制無關變量影響的條件下，對實驗班的數(shù)學建模教學采取相應的教學策略，采取將不同認知水平的學生進行組合的分組教學形式進行教學，按照學生認知水平選取建模教學題材.在普通班則主要按照傳統(tǒng)教學方式集體授課形式進行教學，選擇建模教學題材為書本內容.

實驗模式如下表5：

表5

2.2 實驗假設

為了確保實驗內部效度，本實驗研究在以下假設前提下進行：

實驗班與對照班學生學習態(tài)度無差異；

實驗班與對照班的學習環(huán)境無差異；

實驗班與對照班教學時間、時長一樣.

2.3 實驗實施

本實驗主要在實驗班進行，對照班作為參照班級.實驗過程主要包括對實驗班學生認知水平的劃分；在學生認知水平之上對學生學情進行分析，確定學生的學習需求；選擇適合的建模題材；選擇合適的教學方法等.

1.前期分析

實驗的前期分析主要對學生已具備的知識與能力、能夠達到的或可能達到的能力以及學生需要進行分析，為實施教學做準備.一般包括學習需要分析、學習內容分析、學習者特征分析以及學習背景分析，確定認知領域目標.如在學習函數(shù)模型教學時對教學做前期分析如下：

(1)學習需要分析

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型.函數(shù)及其應用是整個高中數(shù)學的主線內容，函數(shù)的思想方法貫穿了高中數(shù)學課程的始終.通過結合實例，學生能夠體驗到應用函數(shù)建立模型的過程與方法，感受函數(shù)解決實際生活問題的實用性.學生通過運用函數(shù)的思想方法解決實際問題，除了能夠培養(yǎng)自身提出問題、分析問題、解決問題的能力之外，也能提高自己的邏輯推理、數(shù)學抽象等數(shù)學素養(yǎng).

(2)學習內容分析

人教A版高中數(shù)學教科書必修1包含集合與函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)以及函數(shù)的應用三個章節(jié)，每一個章節(jié)無論是概念的引入、例題的設計、練習的安排均是通過解決實際問題為出發(fā)點而設計的.函數(shù)的應用位于本冊書的最后一章，上承集合與函數(shù)的概念，其中指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等內容，幾種基本初等函數(shù)的學習為本章內容提供了模型準備.在函數(shù)模型及其應用一節(jié)又分為幾類不同增長的函數(shù)模型，對指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型的應用等實例部分.

(3)學習者特征分析

實驗班的45名學生中，分別有2人、16人、15人、6人、6人處于記憶水平，理解水平、分析水平、應用水平、綜合水平，大多數(shù)同學都屬于理解水平和分析水平的學生，記憶水平和綜合水平的學生所占比例較小.在平時教學中，實驗班課堂氛圍活躍，對數(shù)學教學活動表現(xiàn)出較強的興趣.但是，針對個別提問時，該班同學不是很積極，他們更愿意以集體回答的形式與教師交流.可見，實驗班學生不夠自信.因此，在實驗班教學時，給學生提供更多的機會鍛煉其數(shù)學交流表達能力是很有必要的.

(4)學習背景分析

根據《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》的指導思想，在函數(shù)應用的教學中，教師應該關注以下兩點：

第一：教師要引導學生不斷地體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型；

第二：引導學生體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用.

(5)認知領域的目標

普通高中課程標準確定本章學習目標如下：

第一：能夠對簡單的實際問題，選擇適當?shù)暮瘮?shù)構建數(shù)學模型，解決問題；

第二：能夠從函數(shù)的角度認識方程，應用函數(shù)的性質求方程的解或近似解；

第三：能夠應用函數(shù)的性質解不等式；

第四：收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應用性.

2.建模素材的選取

建模素材的選取直接影響教學的達成度,針對不同的學生，什么樣的建模素材在學生接受范圍內，學生有能力去解決它或者使學生對其產生興趣？這是個值得教育者思考的問題.

在本次實驗中，實驗班學生認知水平普遍集中在理解水平和分析水平，故可以選擇貼近生活的中等難度題材或者選擇邏輯性較強的題材作為建模教學題材.如本例選用人教A版高中數(shù)學必修1函數(shù)模型的應用例4，對其進行適當改編，作為實驗題材.如：

人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據.在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y=yοert，

其中t表示經過的時間，yο表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.表6是2005～2014年我國的人口數(shù)據資料：

表6

(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據是否相符；

(2)如果按表6的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達到14億？

解：設2005～2014年的人口增長率分別為r1，r2，…，r9.由

130756(1+r1)=131448，

可得2006年的人口增長率r1≈0.0053.

同理可得，

r2≈0.0052，r3≈0.0051，r4≈0.0049，

r5≈0.0048，r6≈0.0048，r7≈0.0050，

r8≈0.0049，r9≈0.0052.

于是，2005～2014年期間，我國人口的年均增長率為

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0050.

令y0=130756，則我國在2005～2014年期間的人口增長模型為

y=130756e0.005t，t∈N.

根據表6中的數(shù)據作出散點圖，并作出函數(shù)y=130756e0.005t，t∈N的圖象(圖3).

圖3

由圖可知，所得模型與2005～2014年的實際人口數(shù)據基本吻合.

將y=140000代入模型y=130756e0.005t，t∈N可得：t≈13.7.

所以，按照這樣的增長趨勢，我國人口數(shù)量大約在2019年達到14億.

本例題源于對高中數(shù)學課本人教A版必修一第三章函數(shù)的應用第二節(jié)的例4進行改編.其目的是讓學生通過親自收集數(shù)據，完整的體驗數(shù)學建模的整個過程.此題源于生活，實用性較強，容易激發(fā)學生的學習興趣使學生找到建立模型的信心.作為高中階段，認知水平處于理解水平和分析水平的學生，這類題材是相當適合的.

3.實驗方法的確定

基于本次實驗對象的認知水平，在實驗班主要采取分組教學方式進行教學.將不同認知水平的學生進行搭配，其基本教學理念是人人參與教學活動，人人發(fā)揮作用，人人獲得發(fā)展.分組過程中注意不要給學生“貼標簽”，而是告訴學生其自身的優(yōu)勢，讓學生自由組合，教師作出適當?shù)恼{整.本實驗將學生分成了7組，其中有4組6人，其余3組7人.把教師視為是公共元素，將不同認知水平的學生分到7個不同的集合中，這里采用貴州省龍里中學王劍平教師提出的3T[注]3T指授課教師、及相互學習的兩個學生.教學模式中分組理念，目的是除了教師與各小組之間相互作用之外，小組成員之間也要產生作用，要求小組成員要互相學習、幫助.而對照班采取傳統(tǒng)的教學方式進行教學.

4.實驗過程

(1)課前安排教學任務，要求學生收集從2005年到2014年我國人口數(shù)量

【設計意圖】 學生通過收集數(shù)據，了解我國人口數(shù)量增長趨勢，激發(fā)學生學習興趣.

(2)學生分享收集數(shù)據成果，引入研究課題

【設計意圖】 學生通過分享數(shù)據成果，集中學生注意力.

(3)閱讀材料，提煉材料中有用信息

【設計意圖】 學生閱讀材料，初步對材料形成感觀認識.經過對材料的反復閱讀，提煉出材料中的有用信息，旨在培養(yǎng)學生閱讀能力和理解能力.

(4)小組匯報所提煉的信息，其他小組進行補充

【設計意圖】 以小組匯報形式將各小組所提煉出的信息進行交流，一方面在小組之間的相互作用下補充完整題材中的各個要點，以免有小組獲取的信息不完整，影響教學流程；另一方面，可以培養(yǎng)學生數(shù)學表達能力.

(5)各小組確定目標，分解目標任務，做出分工

【設計意圖】 讓小組確定目標，其目的是讓各小組明白小組需要做什么；分解目標任務，其目的是讓各小組尋找方法理清解決問題的步驟，明白他們需要做什么；做出分工，其目的是調動各小組所有成員一起完成，做到人人參與.

(6)小組匯報成果，小組代表進行講解

【設計意圖】 小組匯報結果，其目的是讓學生進行展示自己的最終成果，在其中收獲付出的喜悅感，讓小組代表做講解便于小組之間相互理解.

(7)學生總結，教師提煉補充

【設計意圖】 學生展示完成成果，教師作評價，肯定同學們成果的同時指出不足，作總結性評價.

2.4 實驗結果分析

表7 實驗前后均值統(tǒng)計結果

從表7中可以看出，實驗班與對照班在實驗前后的測試成績均值的差別.在實驗班，前測成績平均分為52，后測成績平均分為59.87，經過實驗平均分提高了7.87分.對照班前測成績平均分為53.5，后測平均分為53.78，后測比前測平均分提高了0.28分.由此可見，基于學生認知水平的數(shù)學建模教學具有一定成效.

為了進一步驗證實驗的有效性，本研究采取獨立樣本t檢驗方法對實驗班、對照班后測成績進行差異檢驗.

表8 實驗班、對照班后測成績獨立樣本t檢驗結果

從表8中可以看出，檢驗的顯著性概率 Sig.為0.303>0.05，說明方差齊性，選用Equal variances assumed進行分析，2-tailed sig的值為0.049<0.05.因此認為實驗班、對照班后測成績具有顯著性差異.可見，教學實驗頗有效果.

同時，本研究采取配對樣本t檢驗方法對實驗班實驗前后測試成績的平均值是否具有顯著性差異進行檢驗.

表9 配對樣本的相關分析表

表9中實驗前后測試成績的相關系數(shù)為0.792，伴隨概率sig.為0.000(<0.05)，說明相關性顯著.

表10 實驗班實驗前后配對樣本t檢驗的結果

表10中實驗前后學生測試成績差值的均值為-7.8667,概率2-tailed.sig.為0.003<<0.05)，因此有95%的把握認為實驗前后實驗班學生成績發(fā)生變化，說明實驗效果較好，對學生數(shù)學學習成績的提高起到了較大的幫助.

3 主要結論

本章主要基于高一學生認知水平，對數(shù)學建模教學進行了研究.在實驗班主要采取對學生進行科學分組、培養(yǎng)學生閱讀能力、表達能力、分析問題能力與解決問題能力的教學策略.對照班采取傳統(tǒng)的教學方式即集體講解，按照課本內容按部就班進行教學.結果顯示：

(一)基于學生認知水平做教學前期分析，明確教學目標

依據學生認知水平設計課堂教學，是教學有效性的重要保證.教師只有充分地了解學生現(xiàn)有認知水平，清楚地界定學生的需要，才能對教學的把控做到“心中有數(shù)”使教學對學生產生作用.從而提高教學效率.

(二)根據學生認知水平選擇建模素材，有助于學生對數(shù)學知識、方法的構建

數(shù)學建模素材的選取直接影響學生對知識、方法的構建，是教學達成度的前提保證.若選取的題材較難，學生不能理解題意，與題材不能進行連接，達不到教學目的.若選取的建模題材較為簡單，達不到培養(yǎng)學生、鍛煉學生的作用，不能滿足學生的需求，等于在浪費學生的時間.因此，了解學生認知水平并基于此選擇建模素材是較為科學的選取數(shù)學建模素材的方式.

(三)根據學生認知水平將學生分組，有助于各不同層次的學生參與教學活動，達到合作學習的目的

數(shù)學教育倡導“不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教學理念 .對于具有抽象性特征的數(shù)學學科來說，學生之間的兩級差距明顯.根據學生認知水平將學生分組并安排相應的任務到個人，使人人參與教學，人人都能獲得相應的發(fā)展.

(四)采取學生自主構建的學習方式，引導學生思考，體現(xiàn)學生的主體性

學生是教學中的主體.自主探索的學習方式、自我構建的數(shù)學學習方式不僅有助于學生發(fā)揮學習的主動性，還有利用學生“創(chuàng)新性”的培養(yǎng)，激發(fā)學生學習興趣.