三角公式的若干幾何模型

汪曉勤 邵銘宇

(1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062;2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 200241)

在三角學(xué)的歷史上，許多數(shù)學(xué)家，如托勒密(C.Ptolemy, 2世紀(jì))、阿布·韋法(Abu Wefa, 940～998)、克拉維斯(C.Clavius, 1538～1612)、韋達(dá)(F.Viète, 1540～1603)、克雷斯維爾(D.Cresswell, 1776～1844)等等，都曾利用單位圓來推導(dǎo)三角公式.實(shí)際上，打開20世紀(jì)中葉以前的任何一部西方三角學(xué)著作，我們都能看到，三角公式都是借助某種幾何模型、通過線段長度關(guān)系、圖形面積關(guān)系或其他幾何命題或公式來推導(dǎo)的[1].考慮到數(shù)學(xué)教學(xué)的原則以及直觀想象素養(yǎng)養(yǎng)成的需要，判斷一種幾何方法是否適合于教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)就是它的簡潔性與直觀性.歷史上的許多方法都未能滿足這樣的標(biāo)準(zhǔn).

作為對文獻(xiàn)[1]所呈現(xiàn)的歷史方法的補(bǔ)充，本文在文獻(xiàn)[2]以及現(xiàn)代無字證明的基礎(chǔ)上，對銳角情形下的和角與差角公式的若干幾何模型進(jìn)行分析，為HPM視角下的三角公式教學(xué)設(shè)計(jì)提供一些思路.

由于和角和差角諸公式中含有sinα，cosα，sinβ和cosβ中兩兩相乘的項(xiàng)，我們構(gòu)造兩對斜邊均為1的直角三角形，其中一對各含銳角為α，另一對各含銳角β，不妨設(shè)α≥β.如圖1所示.為了獲得四個(gè)乘積，需要將兩對三角形進(jìn)行組合.

圖1 兩對斜邊為1的直角三角形

1 菱形模型

第一種模型類似于趙爽在其“勾股圓方圖注”中所用的弦圖，如圖2所示，中間補(bǔ)充一個(gè)長和寬分別為cosβ-cosα和sinα-sinβ的長方形，得到一個(gè)邊長為1、一個(gè)內(nèi)角為α+β的菱形，其面積為sin(α+β).將左上直角三角形移至右下，右上直角三角形移至左下，得到一個(gè)由三個(gè)矩形構(gòu)成的圖形，如圖3所示.將該圖形分割成左右兩個(gè)長方形，面積分別為sinαcosβ和cosαsinβ.故得和角正弦公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

(1)

圖2 菱形模型

圖3 菱形模型的重新組合

圖4 差角余弦的菱形模型及其重組

故得差角余弦公式為

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(2)

2 第一類矩形模型

第二種模型類似于趙爽在其“勾股圓方圖注”中所用的“大方”圖，如圖5所示.整個(gè)矩形的長為cosα+cosβ，寬為sinα+sinβ；中間是邊長為1、一個(gè)內(nèi)角為α+β的菱形，其面積為sin(α+β).在該矩形中，將右上直角三角形移至左下，左上直角三角形移至右下，得到兩個(gè)深色矩形，余下部分則為兩個(gè)淺色矩形，其面積分別為sinαcosβ和cosαsinβ，如圖6所示.比較圖5和圖6，易知，圖5中的菱形面積等于圖6中的兩個(gè)淺色矩形面積之和，故得公式(1).

圖5 第一類矩形模型

圖6 第一類矩形模型之重組

圖7呈現(xiàn)了公式(1)的動(dòng)態(tài)形成過程.

圖7 和角正弦公式的動(dòng)態(tài)形成過程

我們也可以將上述矩形模型簡化為直角梯形模型.如圖8所示，將左、右兩個(gè)深色直角三角形與一個(gè)淺色等腰三角形組成一個(gè)直角梯形.分別計(jì)算各三角形以及整個(gè)梯形的面積，得

圖8 梯形模型

在上述矩形或直角梯形模型中，如果我們不從圖形面積關(guān)系入手，而是考慮線段之間的關(guān)系，也可得相應(yīng)公式.如圖9所示，過頂點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為F；過頂點(diǎn)C作AF和DB的垂線，垂足分別為G和H，則由AF=AG+CH即得公式(1)，由BF=CG-BH即得公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

(3)

或者，過頂點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為M；過定點(diǎn)E作DM和AB的垂線，垂足分別為N和P，則由DM=EP+DN和BM=EN-BP分別可得公式(1)和(3).

圖9 梯形模型中的線段關(guān)系

此外，利用余弦定理和勾股定理，可得

AD2=2-2cos(α+β)

整理后即得公式(3).

3 第二類矩形模型

第三類模型與第二類模型一樣，也是一個(gè)長為cosα+cosβ、寬為sinα+sinβ的矩形，但兩類直角三角形的組合方式不同，如圖10所示.其中間是邊長為1、一個(gè)內(nèi)角為α-β的白色菱形，面積為sin(α-β)；左上角和右下角均為長和寬分別為cosα和sinβ的淺色小矩形.將同類直角三角形拼成兩個(gè)深色矩形，如圖11所示.易知圖10中的白色菱形與圖11中的白色矩尺形面積相等，故得公式

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

(4)

圖10 第二類矩形模型

圖11 第二類矩形模型之重組

圖12呈現(xiàn)了公式(4)的動(dòng)態(tài)形成過程.

圖12 差角正弦公式的動(dòng)態(tài)形成過程

若考慮線段之間的關(guān)系，則也可得相應(yīng)公式.如圖13所示，過頂點(diǎn)E和G作DF的垂線，垂足分別為R和P；延長BE，交GP于Q，則由RE=PQ=GP-GQ和RD=EQ+PD分別可得公式(4)和(2).

圖13 第二類矩形模型中的線段關(guān)系

此外，利用余弦定理和勾股定理可得

EF2=2-2cos(α-β)

BD2=2+2cos(α-β)

整理后得公式(2).

4 箏形模型

第四類模型如圖14所示，兩對直角三角形外加一對淺色梯形，構(gòu)成一個(gè)箏形，其面積為

=cosβsecαsin(α+β)，

圖14 箏形模型

另一方面，箏形面積又等于其對角線乘積之半cosβ(sinβ+cosβtanα)，故有

cosβsecαsin(α+β)=cosβ(sinβ+cosβtanα)，

整理后即得公式(1).

在箏形模型中，若考慮線段之間的關(guān)系，則也可得相應(yīng)公式.如圖15所示，過頂點(diǎn)B和C作AF的垂線，垂足分別為G和H；過B作CH的垂線，垂足為K，則由BG=HC+CK和AG=AH-BK分別得(1)和(3).

圖15 箏形模型中的線段關(guān)系

5 平行四邊形模型

現(xiàn)在，我們將一個(gè)銳角分別為α和β、斜邊均為1的兩個(gè)直角三角形的直角疊合在一起，如圖16所示.過第一個(gè)直角三角形的非直角頂點(diǎn)，作另一個(gè)直角三角形的斜邊的平行線，得到第五類模型——平行四邊形模型，它是由兩個(gè)頂角為α-β、腰為1的等腰三角形構(gòu)成的，面積為sin(α-β)，如圖17所示.從平行四邊形中割去一個(gè)直角邊分別為sinα-sinβ、cosβ-cosα的直角三角形，并將其移至右下角，得到一個(gè)箭頭形的六邊形.該六邊形由兩個(gè)小平行四邊形組成.分別將這兩個(gè)小平行四邊形進(jìn)行等積變換，得到一個(gè)矩尺形，其面積為sinαcosβ-cosαsinβ，如圖18所示.故得公式(3).

圖16 部分重疊的兩個(gè)直角三角形

圖17 平行四邊形模型

圖18 平行四邊形的等積變換

在平行四邊形模型中，如果我們不從圖形面積關(guān)系入手，而是考慮線段之間的關(guān)系，也可以得到公式(2)和(3).如圖19所示，過頂點(diǎn)A作BM的垂線，垂足為F；過頂點(diǎn)C作BM和AF的垂線，垂足分別為H和G，則

cos(α-β)=BF=BH+CG

=cosαcosβ+sinαsinβ，

sin(α-β)=AF=AG-CH

=sinαcosβ-cosαsinβ.

圖19 平行四邊形模型中的線段關(guān)系

6 矩形模型的其他應(yīng)用

用第二類矩形模型，還可以得到一組和差化積公式.如圖20，

圖20 用第二類矩形模型推導(dǎo)和差化積公式

在Rt△DBC和Rt△EFI中分別有

故得公式

(5)

(6)

(7)

(8)

此外，綜合運(yùn)用兩類矩形模型，我們可以呈現(xiàn)積化和差公式的形成過程.例如，圖21所呈現(xiàn)的是公式

(9)

7 結(jié)語

通過兩對或兩個(gè)直角三角形的不同組合，并補(bǔ)充相關(guān)圖形，我們得到了三角公式的菱形、矩形、平行四邊形、箏形、直角梯形模型.基于這些模型，利用面積或線段大小關(guān) 系，可以得到和角、差角的正余弦公式甚至和差化積、積化和差公式.就面積關(guān)系而言，兩類矩形模型最為直觀.

在教學(xué)中，我們首先需要推導(dǎo)三角形式的三角形面積公式；在此基礎(chǔ)上，再導(dǎo)出平行四邊形面積公式.然后，引導(dǎo)學(xué)生通過拼圖，建立矩形模型或其他模型，借助出入相補(bǔ)原理，對圖形進(jìn)行等積變換，將菱形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩形之和或差，從而導(dǎo)出銳角情形下的和角與差角公式.這一教學(xué)思路，不僅讓學(xué)生看到三角公式的幾何表征，而且還讓他們看到公式的形成過程；不僅體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)，而且還落實(shí)直觀想象素養(yǎng)；不僅加深學(xué)生對三角公式的理解，而且還能讓他們樹立一種信念——每一個(gè)三角公式的背后，一定存在多種幾何模型.

圖21 積化和差公式的動(dòng)態(tài)形成過程