數學抽象，數學概念教學抹不開的情愫

張宗余 馮 斌

(浙江省象山中學 315700) (寧波市教研室 315000)

作為課標修訂工作兩大重點突破之一，普通高中數學課程標準修訂過程中提出了“六大數學核心素養(yǎng)”，其包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析．2016年11月浙江省“疑難問題解決”研討活動在杭州舉行，活動將“基于數學核心素養(yǎng)觀下的高中數學課堂教學”作為本次研討的主題，引起與會者的濃厚興趣．“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”[2]，“數學抽象”也是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發(fā)展、應用的過程中．本文筆者以“導數概念”教學片斷的設計為例，以“數學抽象”為切入點，談談如何在概念課教學中落實“數學抽象”這一核心素養(yǎng)的實踐與思考．

1 “導數的概念”教學中落實“數學抽象”的三個維度

“導數的概念”是高中新教材人教A版選修2-2第一章1．1．2的內容，教科書沒有介紹形式化的極限定義及相關知識，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數．導數的概念是從物體直線運動的瞬時速度等概念進行高度抽象的結果，其蘊含著豐富的數學思想．所以在教學中，應注重引導學生充分經歷這個過程，通過思考、討論、探究，理解瞬時速度的含義、感受逼近的思想．

1．1 維度一：“抽絲剝繭”，從具體到抽象的深化

具體是特定事物多方面屬性、特點、聯系和關系的統(tǒng)一．抽象是把研究的事物從某種角度看待的本質屬性抽取出來進行考察的思維方法．具體和抽象是一對哲學范疇，從具體到抽象，是“抽絲剝繭”，是尋找共性和規(guī)律的過程，是挖掘和深化．

教學片斷1：教學情景的設計

引言：生活中有許多需要研究物體某一時刻的速度，如運動員在百米沖刺時碰線的速度，對接衛(wèi)星的交會對接時的飛行速度．我們把物體在某一時刻的速度叫瞬時速度．

設計意圖學生在高一年級的物理課上學習過瞬時速度．因此，學生已經具備了一定的認知基礎．所以“瞬時速度”的給出在某種意義上講不能算“數學抽象”．

思考1那么怎樣求一個運動物體的瞬時速度呢？我們請先同學們看下面一段新聞錄像(6·20南京寶馬肇事案)，人們紛紛質疑寶馬闖紅燈車速到底有多快？南京交警認定肇事寶馬速度為195．2km/h(通過附近的監(jiān)控錄像，鎖定發(fā)現寶馬車的兩個點，通過圖像之間的移動位差，可以測算出當時車速)．

設計意圖數學抽象是指由具體事物中抽取出量的方面、屬性或關系．筆者通過南京寶馬肇事案引導學生了解現實中解決瞬時速度的方法，通過學生討論，從而形成對問題解決的思考．通過平均速度去估算瞬時速度，這樣將問題引導到用量的層面去解決，去關注區(qū)間的平均速度，從而達到“數學抽象”的目的．

教學片斷2：抽象引入Δt

教學片斷3：導數的概念

探究

3． 函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率怎樣表示?

概念(略)

設計意圖“抽象”通常有兩種，從特殊到一般的抽象是“弱抽象”，是縮小內涵，擴大外延的抽象．還有一種抽象是“強抽象”，是擴大內涵縮小外延的抽象，是從一般到特殊的抽象．例如，由平行四邊形概念出發(fā)，通過引入“鄰邊相等”或“一個角為直角”的特性，分別獲得較為特殊的棱形和矩形的概念．此處的抽象是顯然是“弱抽象”，從三個具體的探究抽象出概念，即由特殊到一般地抽象出函數瞬時變化率的概念，即導數的概念．

1．2 維度二：“作繭自縛”，從抽象到概括的具化

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結出來進行考察的思維方法，以抽象為基礎，是抽象的發(fā)展．[1]從不同角度考察同一事物會得到不同性質的抽象，而概括則必須從多個對象的考察中尋找共同的相通性質．“作繭自縛”可以理解為數學本質屬性是聯想和發(fā)散，是由抽象到概括是一種普遍原理在各方面的具體體現和應用．

教學片斷4 瞬時速度概念的給出

1．3 維度三：“化蛹成蝶”，從量變到質變的脫化

量變質變規(guī)律揭示了事物發(fā)展變化形式上具有的特點，量變是質變的前提，質變是量變的必然結果．在導數概念的形成中，尤其是在感悟運用逼近思想來達成概念時，體現了量變到質變的辯證思想．“化蛹成蝶”一種升華，是一種涅槃和再造．

教學片斷5： 數學逼近

教學片斷6：課堂小結

結束語“實現取差，然后再把它揚棄，這不是簡單地導致，而是帶來了實際結果，這個結果就是新的函數，即導數．理解微分運算的全部困難(正像理解否定之否定本身時那樣)恰恰就在這里．”(馬克思)

設計意圖“思維方法的教育=數學思想+思維經驗”[2]，所以要特別重視利用數學抽象形成數學方法和思想，在某種意思上講數學方法和思想是數學知識在更高層次上的抽象和概括．

2 在課堂教學中實踐”數學抽象”的反思

2．1 搞好概念教學是實現“數學抽象”的落腳點

數學概念是數學知識的基礎，是數學思維的基本形式．概念的獲得有兩種基本方式：概念的形成與概念的同化．概念的形成是指從一些具體例證出發(fā)，抽取一類事物的共同屬性，從而形成概念;概念同化是指用定義的方式直接揭示概念，學生利用已有認知結構中的有關知識理解新概念．可見，概念的形成過程就是對概念進行數學抽象、概括的過程．“導數的概念”形成如下：

這里要說明的是，瞬時速度的概念從屬于運動這一特定的問題，而導數概念則由于舍棄了其他成分而僅僅著眼于量的關系的分析獲得了更為普遍的意義．所以重視概念教學，提升概念教學水平，其中最切實的是抓數學核心概念形成的教學，選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉數學抽象的“基本套路”，在概念形成的學習中學會數學抽象．[3]

2．2 “數學抽象”要關注數學思維方法的教學

作為思維的基礎和一種基本而重要的思維方法，數學抽象在數學教育的價值主要體現在數學思維訓練方面，所以掌握數學抽象的方法和原則，努力提高學生數學抽象能力是培養(yǎng)數學抽象這一核心數學素養(yǎng)的關鍵．數學抽象思維能力主要體現在數學知識的建構上，教師要不失時機地抓住機會培養(yǎng)學生的抽象思維能力．真正實現“過程教育”，讓學生親身經歷、實際操作，在不斷地數學抽象過程中提升數學抽象能力．

在驗證的過程中，同學們會發(fā)現，無論取何值平均速度都趨近于一個確定的常數-13．1，教師適當引導，為今后引入拉格朗日中值定理的學習提供鋪墊，同時也可引進更為一般的概念：即

(Δx>0，m、n∈N)．

培養(yǎng)學生的抽象思維能力必須設法創(chuàng)設出一些相對應的情境，盡可能重現這種概念抽象的整個過程，引導學生通過觀察、分析、抽象，提煉數學概念，歸納數學結論、抽象數學模型，讓學生體驗過程、熟悉過程并學會應用．

2．3 “數學抽象”要關注數學內在的魅力

“要引導學生用數學的眼光看待事物”[2]．身邊的事物數學問題很多，在教學中引導學生把生活中的問題抽象為數學問題，進一步揭示具體事物和抽象概念的聯系，既加深對所學知識的理解，又有助于提高解決問題的能力．另外，在數學教學中注重保護和培養(yǎng)學生的直覺意識，講一些數學的發(fā)展史，數學史上有許多經典數學抽象故事，生動而智慧，如哥尼斯堡七橋問題、笛卡爾與坐標法、微積分發(fā)明的英德之爭等，將數學家們進行的數學抽象進行“再現”，故事的隱喻性較易讓人感受到數學抽象是數學的長處、優(yōu)點和有力武器，從而改變數學枯燥、難學、乏味的印象，用數學抽象的內在魅力使學生從內心深處喜歡上數學抽象和數學．

數學抽象，數學概念教學抹不開的情愫．它歸根到底是一種文化素養(yǎng)，數學教育也就是一種文化素質的教育，它的養(yǎng)成不是一朝一夕之事，我們教師貴在重視和堅持．要通過學習使學生感受到，數學不僅僅是一系列抽象的知識，更多的則是一種方法，一種文化，一種思想，甚至于一種精神和態(tài)度，從而讓學生滿懷樂趣和憧憬地去學習它．