再談在限定條件下非退化二次曲線內(nèi)接梯形的存在性及作法

高振山

(長春市雙陽區(qū)教師進修學(xué)校 130600)

讀了文[1]，文[2]及文[3]受益匪淺，文[1]和文[2]利用較長的篇幅給出了在限定條件下非退化二次曲線內(nèi)接梯形存在性探究，兩文共給出8個命題，結(jié)論簡潔，優(yōu)美，十分有趣．筆者認為其證明雖然方法獨特、巧妙但非常繁瑣，8個命題雖然給出了梯形的存在性，但都沒給出此梯形具體作法，另外文[1]的命題4應(yīng)該添加“直線MA1不平行拋物線的對稱軸”，文[2]的命題2和命題4都應(yīng)該添加“直線MA1不過雙曲線的中心”．文[3]給出了具體作法，但是在已知有心圓錐曲線的中心及拋物線的對稱軸的前提下來完成的，文[3]的條件應(yīng)該加上直線MA1與二次曲線C交另一點A2(或MA1不是圓錐曲線C的切線)，否則所做的是線段，就不是梯形了，另外文[3]沒有指明點M何時是梯形的對角線交點，何時是梯形的兩腰所在直線交點．

本文將以上8個命題概括為以下兩個命題，同時給出非退化二次曲線內(nèi)接梯形的具體作法，并且其作法是利用作二次曲線的極線，不需要已知有心二次曲線的中心及拋物線的對稱軸，其證明也較為簡潔．

引理1若T為非退化二次曲線，P為平面內(nèi)一個定點(當(dāng)T為有心二次曲線時，點P不在T的中心)，過點P的動直線PQ與T交于M1，M2兩點，且PM1·QM2+PM2·QM1=0．則點Q在一條定直線上，這條定直線叫做點P關(guān)于T的極線，點P叫做這條定直線關(guān)于T的極點．

引理2若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，當(dāng)T為有心二次曲線時，點P不在其中心，過點P任意引兩條直線與T分別交于A，B和C，D，直線AD和BC交于點M，直線AC和BD交于點N，則直線MN為點P關(guān)于T的極線，并且

(1)當(dāng)點P在T外，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，直線MN與T有兩個交點，設(shè)之為E，F(xiàn)，則PE和PF為T的兩條切線；

(2)當(dāng)T為雙曲線時，點P在其漸近線上，直線MN與點P所在的漸近線平行，直線MN與T有一個交點，設(shè)之為E，則PE為T的切線；

(3)當(dāng)點P在T內(nèi)時，直線MN與T相離．

引理3若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，當(dāng)T為有心二次曲線時，點P不在其中心，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，過點P的兩條直線與T分別交于A，B和C，D，直線AD和BC交于點M，AC∥BD，點P關(guān)于T的極線為l，則l過點M，且l∥AC(BD)．

引理4若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，當(dāng)T為有心二次曲線時，點P不在其中心，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，點P關(guān)于T的極線為l，A為T上一個定點，則直線PA為T的直徑(當(dāng)T為有心二次曲線時，直線PA過其中心，當(dāng)T為拋物線時，直線PA與其對稱軸平行或重合)的充要條件是過點A且與l平行的直線為T的切線．

引理5若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，當(dāng)T為有心二次曲線時，點P不在其中心，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，點P關(guān)于T的極線為l，A為T上一個定點，直線PA和T交另一點B，則P為弦AB的中點的充要條件是PA∥l．

命題1若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，當(dāng)T為橢圓或圓或拋物線時，點P在T外，A為T上一個定點，直線PA不是T的直徑，射線PA和T交另一點B，作點P關(guān)于T的極線l，過點A引l的平行線交T于另一點C，再做射線PC交T于另一點D，則T的內(nèi)接四邊形ABDC為梯形(BD∥AC)，并且點P為此梯形兩腰所在直線交點．

證明因為直線PA不是T的直徑，所以由引理2和引理4可知A，C兩點不重合，B，C兩點不重合．

假設(shè)直線BD與AC不平行，設(shè)它們的交點為N，則由引理2可知l過點N，所以直線AC和l重合，所以由引理2可知

(1)當(dāng)點P在T外時，PA為T的切線，這與射線PA和T交另一點B矛盾；

(2)當(dāng)點P在T內(nèi)時，AC與T相離，這與點A在T上矛盾.

所以假設(shè)不成立，所以BD∥AC，所以T的內(nèi)接四邊形ABDC為梯形，并且點P為此梯形兩腰所在直線交點.

命題2若T為非退化二次曲線，P為不在T上的一個定點，并且當(dāng)T為雙曲線時，點P不在其漸近線上，當(dāng)T為橢圓或圓或拋物線時，點P在T內(nèi)，A為T上一個定點，直線AP不是T的直徑，射線AP和T交另一點B，且點P不是弦AB的中點，作點P關(guān)于T的極線l，過點A引l的平行線交T于另一點C，再做射線CP交T于另一點D，則T的內(nèi)接四邊形ADBC為梯形(DB∥AC)，并且點P為此梯形兩條對角線交點．

證明因為直線PA不是T的直徑，所以由引理2和引理4可知A，C兩點不重合，又因為射線AP和T交另一點B，且點P不是弦AB的中點，所以由引理5可得B，C兩點不重合．

假設(shè)直線DB與AC不平行，設(shè)它們的交點為N，則由引理2可知l過點N，所以直線AC和l重合，所以由引理2可知

(1)當(dāng)點P在T外時，PA為T的切線，這與射線AP和T交另一點B矛盾．

(2)當(dāng)點P在T內(nèi)時，AC與T相離，這與點A在T上矛盾．

所以假設(shè)不成立，所以BD∥AC，所以T的內(nèi)接四邊形ADBC為梯形，并且點P為此梯形兩條對角線交點．

由于篇幅所限，以上5個引理的證明請參考文[2]-文[6]，部分引理的圖形以及命題1和命題2當(dāng)T為橢圓或圓或拋物線時的圖形都沒有給出，由讀者自己完成，請諒解.