對一個常見數(shù)列不等式的探究與推廣

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(岳西中學(xué),安徽 安慶 246600)

對一個常見數(shù)列不等式的探究與推廣

●儲百六

(岳西中學(xué),安徽 安慶 246600)

文章通過對一個常見數(shù)列不等式的分析、證明、推廣、尋根，指出一種解決與數(shù)列前n項積有關(guān)不等式的通用方法，該方法既能證明不等式，又能發(fā)現(xiàn)不等式.

不等式；前n項積估界；沃爾斯不等式

1 試題呈現(xiàn)

一天課間，一名學(xué)生來問筆者如下一道常見的數(shù)列不等式題:

例1求證：對一切正整數(shù)n，有

2 問題提出

該不等式曾多次在高考中出現(xiàn)過，證法很多，可以用數(shù)列單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造對偶式等等，難度也不大.再一次看到該問題時，不禁想到：

1)這個不等式從何而來？

3)可能得到一個類似的下界？

3 問題的探究與推廣

命題1對一切正整數(shù)n，有

分析式(1)的證明不難，關(guān)鍵是如何得到，下面來探討式(1)是如何得到的.

一方面，設(shè)待定參數(shù)λ使其滿足

即

解得

另一方面，設(shè)參數(shù)μ使其滿足

即

解得

證明從第二項開始放縮.一方面，由

可得

故對一切正整數(shù)n，有

故對一切正整數(shù)n,有

綜上所述，對一切正整數(shù)n，有

且當(dāng)λ的取值越大，所得結(jié)果越強.特別地當(dāng)λ=0時，即可得到例1的結(jié)論：

且當(dāng)μ的取值越小，所得結(jié)果越強.

進一步，我們還可以將式(1)推廣為：

命題2已知k≥1，則對一切正整數(shù)n，有

分析式(2)的證明不難，關(guān)鍵是如何得到，下面來說明式(2)是如何得到的.

一方面，設(shè)待定參數(shù)λ使其滿足

即

解得

另一方面，設(shè)參數(shù)μ使其滿足

即

解得

證明方法同命題1，此處略.

注：當(dāng)k=4時，式(2)即為式(1).

類比式(2)還可得到：

命題3已知k≥2，則對一切正整數(shù)n，有

(3)

分析式(3)的證明不難，關(guān)鍵是如何得到，下面來說明式(3)是如何得到的.

一方面，設(shè)待定參數(shù)λ使其滿足

即

解得

另一方面，設(shè)參數(shù)μ使其滿足

即

解得

證明方法同命題1，此處略.

注：當(dāng)k=4時，式(3)即為如下式(4).

例2對一切正整數(shù)n，有

式(4)為數(shù)學(xué)通報2 146號問題的加強.

4 總結(jié)與反思

讀者可自行探究.

2)本文中待定參數(shù)λ，與列方程解應(yīng)用題中的x有類似的作用，體現(xiàn)了方程思想在解決問題中的強大作用.

3)對于式(1)和式(4)的由來，筆者查閱一些資料認為，該問題應(yīng)該來自沃爾斯公式的一個推導(dǎo)，結(jié)果為：

這里要用到定積分的知識，利用初等的方法不知可否做出，期待大家共同探討.

[1] 單墫.我怎樣解題[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013：24-26.

[2] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2012:309.

2017-10-14

儲百六(1984-)，男，安徽岳西人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)12-23-03