一個(gè)向量模 年年高考題

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(浙江師范大學(xué)特級(jí)教師工作流動(dòng)站,浙江 金華 321004)

一個(gè)向量模年年高考題

●曹鳳山

(浙江師范大學(xué)特級(jí)教師工作流動(dòng)站,浙江 金華 321004)

向量因?yàn)槠潆p重身份在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，因而地位十分重要，也成為高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一.橫看成嶺側(cè)成峰，對(duì)于向量模，視角不同就有不同的意義，因此每年涉及向量模的試題可以?？汲Ｐ?

向量模；距離；夾角

向量因?yàn)槠鋷缀巍⒋鷶?shù)雙重身份而特殊，因?yàn)槠潆p重身份而應(yīng)用廣泛，所以成為高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，其中大多涉及向量模.一個(gè)向量模，因命題的角度不同，每年都會(huì)有新穎的情境出現(xiàn).下面以浙江省近十年來(lái)涉及向量模的高考試題為例，梳理高考對(duì)向量模的考查視角.

1 距離形式

向量的模就是向量長(zhǎng)度，是連接向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的線段長(zhǎng).由于起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置、含義不同，從而出現(xiàn)具有不同幾何意義的量，如兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離等等.

例1已知向量a≠e，|e|=1，對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則

( )

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

(2005年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

圖1

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖2 圖3

例3設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|b+ta|的最小值為1

( )

A．若θ確定，則|a|唯一確定

B．若θ確定，則|b|唯一確定

C．若|a|確定，則θ唯一確定

D．若|b|確定，則θ唯一確定

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第9題)

分析如圖3，由|b+ta|的最小值為1，知點(diǎn)B到OA所在的直線的距離為1.故選B.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

圖4

b=x0e1+y0e2+e3

2 三角形邊長(zhǎng)形式

向量的加、減運(yùn)算與三角形緊密相關(guān)，向量的模通常表現(xiàn)為三角形邊長(zhǎng)，以向量形式表現(xiàn)三角形邊、角之間的位置和數(shù)量關(guān)系.

例5若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

分析如圖5，由|a+b|=|b|知△OBC為以O(shè)B為底邊的等腰三角形.為作圖簡(jiǎn)便，把選擇項(xiàng)中系數(shù)都除以2，這時(shí)底邊上的高

顯然

圖5 圖6

例6已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e為平面單位向量，則|a·e|+|b·e|的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第15題)

分析由|a|=1，|b|=2，a·b=1易得=60°，|a·e|+|b·e|表示向量a，b在單位向量上的投影之和.如圖6，OB1+B1C1=OC1，當(dāng)單位向量a與b共線時(shí)，投影為OC.明顯地，|OC1|≤|OC|,即當(dāng)且僅當(dāng)單位向量e與a+b共線時(shí),|a·e|+|b·e|最大，此時(shí)

3 平行四邊形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)形式

向量的加、減運(yùn)算與平行四邊形密切相關(guān)，向量的模通常表現(xiàn)為平行四邊形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)等形式，以向量形式體現(xiàn)平行四邊形中的位置、數(shù)量關(guān)系.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{(a+b)2,(a-b)2}≥a2+b2

D.max{(a+b)2,(a-b)2}≤a2+b2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

分析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則與減法法則，容易證明

則(a+b)2,(a-b)2中至少有一個(gè)不小于a2+b2，即

max{(a+b)2,(a-b)2}≥a2+b2.

下面一道高考題更明顯地體現(xiàn)出平行四邊形(正方形)對(duì)角線與一組鄰邊的關(guān)系.

例8設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是______.

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

圖7

分析如圖7，由a⊥b知四邊形ABCD為矩形，又由a+b+c=0，(a-b)⊥c,知四邊形ABCD為正方形，從而

c2=2|a|2，

故

|a|2+|b|2+|c|2=4.

下面這道高考題是典型的考查平行四邊形對(duì)角線與邊長(zhǎng)關(guān)系的問(wèn)題.

例9已知向量a，b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

分析從向量運(yùn)算的幾何意義出發(fā)，易得

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10,

4 圓的弦長(zhǎng)形式

除了以三角形、平行四邊形為背景，向量的模還常常以圓為背景，涉及圓的弦、半徑以及直徑等.

例10已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第9題)

圖8 圖9

例11已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

從而

5 數(shù)量積的另一形式

向量的模、向量的數(shù)量積都是向量部分的重要量，這兩個(gè)量之間除了在數(shù)量積中的聯(lián)系之外，還有其他關(guān)系嗎？

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

分析因?yàn)锳M=3，MB=MC=5，所以

實(shí)際上，本題體現(xiàn)了一個(gè)一般性的關(guān)系式：

寫(xiě)成一般的關(guān)系式為

這就是大家所說(shuō)的“極化恒等式”.該式說(shuō)明:向量的數(shù)量積可以由向量和、差運(yùn)算的模表示，該式溝通了向量的數(shù)量積與線性運(yùn)算之間的關(guān)系，有著廣泛而重要的應(yīng)用.

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

圖10

(a+b)2+(a-b)2=

2(a2+b2)=10.

則(a+b)2有最大值6，這時(shí)(a-b)2取到最小值4，故

當(dāng)且僅當(dāng)單位向量e與向量a+b共線時(shí),等號(hào)成立.

[1] 曹鳳山. 年年考向量 歲歲數(shù)與形——浙江省自主命題以來(lái)向量試題特點(diǎn)評(píng)析[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(4):37-39.

[2] 曹鳳山.數(shù)學(xué)教學(xué) 把根留住——2015年浙江省數(shù)學(xué)高考試題解讀[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2015(8)：1-4.

2017-09-26

曹鳳山(1967-)，男，山東菏澤人，山東省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)12-43-04