老樹新枝又一春
——2017年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何解答題閱卷有感

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(杭州第七中學(xué),浙江 杭州 310024)

老樹新枝又一春
——2017年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何解答題閱卷有感

●葉啟墾

(杭州第七中學(xué),浙江 杭州 310024)

2017年浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何解答題立意平穩(wěn)，有效創(chuàng)新，注重核心素養(yǎng)的考查,具有良好的區(qū)分度.文章通過對該卷中立體幾何解答題的解法探究及答題情況分析，提出在平時教學(xué)中應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的答題策略.同時，在新高考形式下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)更應(yīng)重視完善雙基，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，實現(xiàn)思維回歸.

數(shù)學(xué)高考；立體幾何；答題策略

2017年浙江省數(shù)學(xué)高考已塵埃落定.這是30多年來浙江省數(shù)學(xué)高考第一次以文理合卷的形式呈現(xiàn).試卷起點較低，循序漸進，同時順接而下，延續(xù)著幾年來數(shù)學(xué)高考卷的追求，“重思維，重本質(zhì)”，整卷合乎文理合卷后的特點，凸顯“文之韻，理之味”.

筆者有幸參加了2017年浙江省數(shù)學(xué)高考閱卷，親身感受著：一張試卷承載著國家所賦予的神圣責(zé)任，一分分?jǐn)?shù)寄予著千萬學(xué)子的殷切希望.下面就以第19題為例，試圖以一窺全，同時也談?wù)剛€人的反思與體會.

圖1

1 試題賞析

題目如圖1，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．

1)證明：CE∥平面PAB；

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

該題考查了直線與平面平行以及線面所成角問題，背景非常熟悉，而且設(shè)問方式常規(guī)，與2016年12月的浙江省模擬卷吻合，屬于意料之中的題型.命題者希望通過這種類型問題的考查，檢測考生的幾何空間感以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).而且設(shè)問從基礎(chǔ)出發(fā)，層層遞進，梯度合理，兼顧原有文理生之別.兩個小題之間又存在合理的邏輯關(guān)系，證明平行關(guān)系為尋找線面角鋪設(shè)了道路.總的來看，該題彰顯學(xué)科特色，有效創(chuàng)新，注重核心素養(yǎng)的考查.

不過，從閱卷的實際情況看，試題難度預(yù)計有一定的偏差，具有良好的區(qū)分度.本題的平均得分為8.39，除去0分試卷后平均得分為9.08，難度系數(shù)為0.56.而2016年的立體幾何解答題，理科全省平均分為10.89，難度系數(shù)為0.72；文科平均分為8.66，難度系數(shù)為0.58[1].可見，這份高考卷中立體幾何結(jié)構(gòu)梯度自然，對不同基礎(chǔ)、不同能力水平的學(xué)生都提供了適當(dāng)?shù)乃伎伎臻g，體現(xiàn)了較好的區(qū)分度，凸顯了試卷的選拔功能，同時難度總體是有所提升的.當(dāng)然，到底是這道題本身的相對難度提升了，還是新高考下學(xué)生整體水平有所下降，值得我們進一步研究與思考.

2 解法探究

本題滿分15分，其中第1)小題6分，第2)小題9分.

圖2

2.1 第1)小題解法探究

證法2(面面平行)如圖3，取AD的中點N,聯(lián)結(jié)EN,CN,則CN∥AB,EN∥AP,從而面CEN∥面PAB，于是CE∥面PAB.

圖3 圖4

圖5

2.2 第2)小題解法探究

解法1(幾何法)如圖5，分別取BC，AD的中點M，N,聯(lián)結(jié)PN交EF于點Q，聯(lián)結(jié)MQ．因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF的中點，即在BCEF中，

MQ∥CE．

由△PAD為等腰直角三角形，知PN⊥AD；由DC⊥AD，N是AD的中點，知BN⊥AD，從而AD⊥平面PBN.又BC∥AD，于是

BC⊥平面PBN，

進而可知平面PBC⊥平面PBN．

圖6

解法2(空間向量坐標(biāo)法)如圖6，取AD的中點O，聯(lián)結(jié)BO,PO,易知PO⊥AD,BO⊥BC,從而

PO⊥BC,

于是BC⊥平面POB,進而PB⊥BC.設(shè)BC=1，則

從而二面角P-AD-B的平面角∠POB為120°.

評注從閱卷情況看，采取空間向量建系的方法最容易得分，根據(jù)建系位置的不同，得到向量的坐標(biāo)有些許區(qū)別.

圖7

解法3(等體積法)如圖7，過點E作EO⊥平面PAD,聯(lián)結(jié)CO,則∠ECO就是直線CE與平面PBC所成的角.

由等體積法得點D到平面PBC的距離為1,因為E為PD的中點，即

所以

3 答題情況分析

總之，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看，本題的答題情況反映出以下幾個問題：

1)直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，良好的直觀想象能力有助于學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力.而從本題的答題情況看，學(xué)生的直觀想象能力總體相對較薄弱，立體空間感較差，不能正確把握圖形結(jié)構(gòu).當(dāng)然，審題馬虎也是問題之一.

2)運算能力作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是構(gòu)成數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)的基本元素.而學(xué)生在求解過程中表現(xiàn)出運算能力較弱，從而導(dǎo)致計算失誤，特別是坐標(biāo)的求解有很大問題.

3)數(shù)學(xué)證明、概括的表述自有學(xué)科特殊的語言體系、特定的符號體系——數(shù)學(xué)語言體系,這種表述形式應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)證明、解答過程的始終[2].可以說，學(xué)生解題的過程正是數(shù)學(xué)語言的呈現(xiàn)過程.而在本題的解題過程中，不少學(xué)生存在語言表述不清、邏輯混亂的情況，答題不規(guī)范，隨心所欲——隨意刪除、字跡潦草，這些應(yīng)該是平時不夠重視的結(jié)果.

4 基于評分原則下的答題策略

評卷者應(yīng)該如何科學(xué)評卷呢？筆者認(rèn)為：應(yīng)該與命題者的最初命題意圖保持一致，只有真正做到科學(xué)地評卷，才能實現(xiàn)命題者最初命題考查的目的，才能對我們的教學(xué)進行有效地引導(dǎo).本題通過立體幾何題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式與計算能力，評閱過程中也盡可能體現(xiàn)“重思維，重本質(zhì)”的意圖，因此，嚴(yán)格控制解答題的評分誤差，是提高考試信度的保證.因此，作為評卷者應(yīng)該遵從以下評分標(biāo)準(zhǔn)原則：1)解答方法的普遍性；2)采分點符合知識點與關(guān)鍵表達、結(jié)論的必要性和充分性；3)分值向能力傾斜原則；4)不同解答方法的等值性；5)表達文字、邏輯語言規(guī)范性[3].只有正確執(zhí)行落實這些基本評卷原則，才能進行有效閱卷，做到公平公正.

基于以上評分標(biāo)準(zhǔn)原則，在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生形成以下幾點答題策略：

1)踩點給分，關(guān)注的是學(xué)生的思維過程.學(xué)生在解題過程中所呈現(xiàn)的思維過程就成了評分的主要得分點.

以本題的第2)小題為例，在評卷過程中，3種常見解法的評卷給分點確定如下：

①幾何法：找準(zhǔn)哪個角就是所求的角；正弦值的比例關(guān)系；計算結(jié)果.

②坐標(biāo)法：如何建立空間直角坐標(biāo)系——關(guān)鍵在于有建系的思想；向量以及平面法向量的正確求法和表述；所求角與向量夾角之間的聯(lián)系——向量的內(nèi)積公式.

只要能表達出解題的思維過程，就是得分點.而一道題所涉及的主要概念和公式正是思維呈現(xiàn)的主要形式.因此，不能因為一道題不能解答，就放棄表達自己的思維過程.總之，有論證表達的過程，總比沒寫好；有解題思路比沒想法好.

2)等值性，即關(guān)注給分的合理性.數(shù)學(xué)往往有多種解法，多種解法之間要有一定的平衡，相應(yīng)的步驟會給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)值.而學(xué)生在解答過程中提供兩種方法是不會重復(fù)給分的，擇高給分.因此，在考試答題時，應(yīng)利用好有限的時間作答.

3)表達文字、邏輯語言規(guī)范性.數(shù)學(xué)的語言表述，反映出學(xué)生數(shù)學(xué)的邏輯能力與水平.因此，在答題時，字盡量寫端正，更重要的是整個解答結(jié)構(gòu)要整潔、清晰，更不要輕易涂改.

5 新高考形勢下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略

1)回歸教材本身，完善雙基結(jié)構(gòu).從這樣一份表述簡潔、立意精準(zhǔn)的卷子可見，日常的課堂教學(xué)，特別是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要落實學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并不排斥基礎(chǔ)知識、基本技能的落實與掌握.雙基是教學(xué)活動正常施行的載體,也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的工具.沒有了雙基，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)活動就成了無源之水；沒有了雙基，基于數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)解題也就成了無本之木.而且，從近幾年的高考試卷看，命題者越來越注重對概念的準(zhǔn)確理解的考查以及基本圖形結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確把握，因此，在高考復(fù)習(xí)中，有必要形成準(zhǔn)確、系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生掌握得更扎實.當(dāng)然，每個學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱點都有所不同，需要有針對性地進行訓(xùn)練與輔導(dǎo).

2)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，實現(xiàn)思維回歸.高考畢竟不是學(xué)考，有一定的選拔性，不同層次的高校需要不同層次的生源.近幾年的數(shù)學(xué)高考都延續(xù)著“重思維，重本質(zhì)”的特點.因此，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，著力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才是真正的教學(xué)之道.而要突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，需要挖掘一個概念背后的來龍去脈，需要理清一個方法的真正意義，而非停留在簡單地重復(fù)操練與粗暴記憶上.平時的復(fù)習(xí)要注意思維的訓(xùn)練，每完成一道題后教師都能指導(dǎo)學(xué)生再反思：本道題重要的步驟是什么？平時要注意解題的規(guī)范化，這本身就體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，平時考試的批改可以適當(dāng)給正確思路的分?jǐn)?shù)，以訓(xùn)練學(xué)生不留空白的解題習(xí)慣.

同時，不猜題，不押題，深刻解讀和領(lǐng)會當(dāng)年的考試說明，研究當(dāng)年的高考模擬卷，以真正理解命題者的意圖.這樣，才能知道“從哪里來，到哪里去”，有的放矢.

3)關(guān)注通式通法，滲透巧解妙解.“重思維，重本質(zhì)”的高考命題方向，在解題方法的考查上也更注重通式通法.以本題為例，基本的幾何法、常規(guī)的輔助線添加法、空間直角坐標(biāo)建系都是平時應(yīng)重點訓(xùn)練的方法.因此，在平時的教學(xué)中，可以通過變式練習(xí)，加強通式通法的訓(xùn)練.當(dāng)然，通式通法并不排斥巧解妙解,特別是在解決選擇題、填空題時，往往不必“小題大做”，而應(yīng)該追求解題的效率.另外，準(zhǔn)確合理的數(shù)學(xué)語言表達是學(xué)生順利掌握一種方法的基本呈現(xiàn)方式，在平時的課后反饋中要及時糾正解題過程中出現(xiàn)的邏輯混亂的語言表述.

[1] 盧明．一樣的風(fēng)景 更高的要求——2016年浙江數(shù)學(xué)高考立體幾何題評析[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(10)：26-31．

[2] 朱偉義，曹鳳山.大道至簡 悟者天成——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題簡析及有關(guān)高考復(fù)習(xí)的思考[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(8)：36-39.

[3] 陳子志.體會高考國家統(tǒng)一命題的基本原則與評分參考標(biāo)準(zhǔn)[DB/CD].http://www.china.com.cn/education/2016-01/14/content_37576927.htm,2016-01-14.

2017-09-29

葉啟墾(1976-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.2

A

1003-6407(2017)12-35-04