一階非線性遞推關(guān)系問題的結(jié)構(gòu)分析
——函數(shù)觀點(diǎn)下的處理模式探討

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(嵊州中學(xué),浙江 嵊州 312400)

一階非線性遞推關(guān)系問題的結(jié)構(gòu)分析
——函數(shù)觀點(diǎn)下的處理模式探討

●俞海東

(嵊州中學(xué),浙江 嵊州 312400)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列往往是高考和競賽備考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，能否順利解決此類問題是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平高低的關(guān)鍵.文章從數(shù)列遞推式對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，利用函數(shù)圖像研究對應(yīng)關(guān)系的單調(diào)性、取值范圍、周期性等.

遞推函數(shù)關(guān)系；數(shù)列圖像；數(shù)列單調(diào)性；數(shù)列不動點(diǎn)

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其特點(diǎn)有：1)定義域與值域往往是同一個且離散的；2)對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式的圖像傾斜率是否比1大決定數(shù)列的單調(diào)性；3)函數(shù)的不動點(diǎn)決定數(shù)列中的項的變化方向；4)對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式類型決定所求通項的類型.

由此，數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)決定了數(shù)列問題的處理方法，對應(yīng)關(guān)系式有一次式結(jié)構(gòu)、分式結(jié)構(gòu)、二次結(jié)構(gòu)等.接下來筆者將探討此類數(shù)列的一般處理模式：

1 利用數(shù)列的圖像研究數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列是特殊的函數(shù)，作出數(shù)列的圖像對于此類問題的解決幫助很大[1].

圖1

點(diǎn)評將遞推式中所表示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系用圖像直觀地表達(dá)[1]，利用直線y=x對an的自變量轉(zhuǎn)化，容易觀察得到數(shù)列的性質(zhì).

2 利用不動點(diǎn)理論簡化遞推關(guān)系式

模式1已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)，若方程f(x)=x有根x0(此根為函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo))，一般將遞推式變形為：

模型1an+1-x0=f(an)-x0，令bn=an-x0，代入消元得bn，問題轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{bn}.

3)略.

(1984年全國數(shù)學(xué)高考試題第8題)

令f(x)=x，求出不動點(diǎn)x=2，將遞推式變形為

再倒數(shù)變形為

2)證明轉(zhuǎn)化為：若bn≥1，則bn≥2n-1.因為

所以

又b1≥1,從而

bn≥2n-1.

點(diǎn)評根據(jù)一階遞推式得到函數(shù)關(guān)系式，求出不動點(diǎn)之后，對遞推式一般會有兩種變形：1)直接減去不動點(diǎn)；2)減去不動點(diǎn)并進(jìn)行倒數(shù)，以達(dá)到簡化遞推式的目的.

3 利用求函數(shù)值域的方法來研究數(shù)列的項的范圍

模式2已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，求證：an

提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)，用數(shù)學(xué)歸納法證明an

1)求證：an

圖2

2)由題意Sn=a1+a2+a3+…+an,

則

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時，a1=2，a1≥3-1顯然成立.

只需證

即

亦即

化簡得

又k∈N，上式顯然成立.

4 將數(shù)列單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為前面的數(shù)列的項的范圍問題

模式3已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，求證：an

提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)，an

分析要證an+1>an，利用等式消元只需證

即

③由情形①和②可知，結(jié)論成立.

點(diǎn)評an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)且具有導(dǎo)數(shù)，若f′(x)>1，則數(shù)列{an}單調(diào)遞增；若f′(x)<1，則數(shù)列{an}單調(diào)遞減.

5 利用數(shù)列中項為有理點(diǎn)所具有的封閉性

例5設(shè)數(shù)列{an}滿足|an+1-2an|=2，|an|≤2,其中n=1,2,3,…,證明：若a1為有理數(shù)，則從某項后{an}為周期數(shù)列.

(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題第13題)

分析將遞推關(guān)系式中的絕對值打開，得到an+1=2an±2，結(jié)合|an|≤2，得到

上述遞推式中表示的對應(yīng)關(guān)系為

圖3

作出其圖像(如圖3所示)，并作出y=x的圖像.在遞推式中取n=1，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系a2=f(a1)，在x軸上取數(shù)a1對應(yīng)的點(diǎn)A1，過A1作x軸的垂線，與函數(shù)y=f(x)的圖像相交，交點(diǎn)為A2(其縱坐標(biāo)為a2)，過A2作y軸的垂線，與直線y=x相交，交點(diǎn)為B2(其橫坐標(biāo)為a2)，與函數(shù)y=f(x)的圖像交于點(diǎn)A3(其縱坐標(biāo)為a3)；同理，過此點(diǎn)A3作y軸的垂線，與直線y=x相交，交點(diǎn)為B3(其橫坐標(biāo)為a3)，過B3作x軸的垂線，垂足為A4，其橫坐標(biāo)為a4，依次進(jìn)行，可以得到a4，a5,…,an，這些項只能在如圖3所示的一塊平面區(qū)域內(nèi)變動.

6 將數(shù)列前后兩項的代數(shù)式大小問題轉(zhuǎn)化為前面的數(shù)列的項的范圍問題

模式4已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，求證：an+1>F(an)(其中F(an)是對an+1的一個放縮).

提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)，an+1>F(an)?f(an)>F(an),即解不等式f(x)>F(an)，解出x的范圍A，再證明an∈A，問題轉(zhuǎn)化為前面的模式1中的問題.

因為an>0,所以

7 利用兩項之間距離的概念

7.1 利用差值距離

將代數(shù)式an+1-an理解成第n+1項與第n項的距離，由累加法得到

an-a1= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

(a3-a2)+(a2-a1),

即第n項與第1項的距離等于第n項與第1項之間的前后兩項距離之和.

分析已知條件可表達(dá)為

an+1-an≤an+2-an+1，

此式可理解為第n+1項與第n項的距離不大于第n+2項與第n+1項的距離.

圖4 圖5

an+1-an+2≤an-an+1，

…

從而Sk=a1+a2+a3+…+ak>

點(diǎn)評放縮模式：已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，若考慮裂項放縮:

an+1-an=f(an)-an=F(an),

則an-a1= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

(a3-a2)+(a2-a1)=

F(an-1)+F(an-2)+F(an-3)+…+

F(a2)+F(a1),

再根據(jù)y=f(x)的單調(diào)性，結(jié)合項an的范圍進(jìn)行放縮.

7.2 利用比值距離

即由第n項與第1項的比值距離等于第n項與第1項之間的前后兩項比值距離之和.

(1984年全國數(shù)學(xué)高考試題第8題第3)小題)

分析由遞推式

可提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式為

令f(x)=x，求出不動點(diǎn)為x=2，將遞推式變形為

b1

從而

(2b1+2)nb1,

亦即

(1)

且

點(diǎn)評放縮模式：已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，考慮裂項放縮

F(an-1)·…·F(a2)F(a1),

再根據(jù)y=f(x)的單調(diào)性結(jié)合項an的范圍進(jìn)行放縮.

數(shù)列問題作為數(shù)學(xué)高考中的重要內(nèi)容之一，如何用函數(shù)的方法統(tǒng)一高效地幫助考生思考此類問題，是高三復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn)之一.希望拙文能給大家提供一點(diǎn)幫助，不當(dāng)之處，請批評指正.

[1] 俞海東.高中數(shù)學(xué)思維自學(xué)課程[M].上海：華東理工大學(xué)出版社，2017.

2017-07-15

俞海東(1979-)，男，浙江嵊州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)思維.

O12

A

1003-6407(2017)12-26-05