初三幾道模擬試題的命制與思考

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(無(wú)錫外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214031)

初三幾道模擬試題的命制與思考

●張濤

(無(wú)錫外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214031)

文章以初三幾道模擬試題的命制過(guò)程為例，淺談試題的命制歷程和思考感悟，以期引發(fā)同行加強(qiáng)命題的研究，精選符合課標(biāo)要求的試題，深層改編有價(jià)值的題目，注重命題的導(dǎo)向，反復(fù)打磨試題.

模擬試題；命題過(guò)程；命題感悟

《2017年江蘇省無(wú)錫市初中數(shù)學(xué)中考指導(dǎo)意見(jiàn)》明確指出：數(shù)學(xué)學(xué)科中考，具有初中畢業(yè)合格考試和高級(jí)中等學(xué)校選拔性考試兩重性質(zhì)，既是對(duì)學(xué)生在初中階段所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的全面考查，又為高級(jí)中等學(xué)校選拔錄取新生提供依據(jù).因此，考試既要有基礎(chǔ)性，又要有一定的區(qū)分度.而一?？荚囉质侵锌紡?fù)習(xí)階段的第一次模擬演練，具有仿真性、診斷性、導(dǎo)向性等特點(diǎn)，因此命題者必須思考如何遵循課標(biāo)、緊扣教材、貼近中考、合理控制難度，保證區(qū)分度和信度，并進(jìn)行適當(dāng)創(chuàng)新.筆者結(jié)合近期幾道模擬試題的命制經(jīng)歷，談?wù)勗囶}的命制過(guò)程和感悟思考.

1 試題選編

選題一般來(lái)源于教材、教輔、模擬題、中考題，要求題目符合考試范圍和課程標(biāo)準(zhǔn).為了體現(xiàn)考試的公平性原則，部分試題還需要改編或原創(chuàng).

1.1 精選原題

例1若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1 080°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

( )

A.6 B.7 C.8 D.10

說(shuō)明此題來(lái)源于課本習(xí)題，考查多邊形的內(nèi)角和公式，屬于容易題.選擇此題主要有兩個(gè)目的：一是檢測(cè)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)是否過(guò)關(guān)，引導(dǎo)師生重視教材，重視四基；二是激勵(lì)學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生的信心，克服對(duì)考試的恐懼心理.

例2二次函數(shù)y=-(x-1)2+5，當(dāng)m≤x≤n且mn<0時(shí)，y的最小值是2m,最大值是2n,則m+n的值為

( )

說(shuō)明此題是2016年浙江省舟山市的數(shù)學(xué)中考題，主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題、二次函數(shù)的增減性和分類(lèi)討論的思想，考查基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和能力素質(zhì)，對(duì)學(xué)生能力要求較高.從閱卷情況來(lái)看，本題起到了很好的區(qū)分效果.

1.2 推陳出新

( )

說(shuō)明本題是由一道中考模擬題(例4)改編而來(lái)，原題內(nèi)涵豐富，解法多樣，是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題.

圖1 圖2

(2013年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)二模數(shù)學(xué)試題第20題)

深入探究，筆者發(fā)現(xiàn)，例4可進(jìn)行一般化推廣和多種變式，如：

筆者選取了變式2為背景，在適當(dāng)賦值和調(diào)整圖形后，得到了例5，考慮到此題的難度，將它作為選擇題的壓軸題.

例5如圖3，矩形OABC的3個(gè)頂點(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，C(7,0),P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△OAP沿著OP翻折到△OA′P.

2)若點(diǎn)A′恰好落在∠BCO的角平分線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

說(shuō)明本題的問(wèn)題背景取自例6.

圖3 圖4

例6如圖4，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM對(duì)折，得到△ANM．

1)當(dāng)AN平分∠MAB時(shí)，求DM的長(zhǎng)；

2)聯(lián)結(jié)BN，當(dāng)DM=1時(shí)，求△ABN的面積；

3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值．

(2016年福建省福州市數(shù)學(xué)中考試題第26題)

原題在平面幾何的背景下，讓圖形動(dòng)起來(lái)，前2個(gè)小題屬于“特殊性”的考查，第3)小題則是對(duì)“一般性”的考查，3個(gè)小題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔，層層遞進(jìn).筆者對(duì)原題的改編經(jīng)歷了如下的思考：

第2)小題，仍從一個(gè)特定情況進(jìn)行考查，初步選擇了如下7個(gè)位置：如圖3，①點(diǎn)A′恰好落在邊OB上；②點(diǎn)A′恰好落在邊AC上；③點(diǎn)A′恰好落在邊PC上；④點(diǎn)A′恰好落在邊AB的垂直平分線上；⑤點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上；⑥點(diǎn)A′恰好落在∠B的角平分線上；⑦點(diǎn)A′恰好落在∠BCO的角平分線.任選以上一個(gè)作背景，都能考查學(xué)生利用相似三角形、勾股定理解決問(wèn)題的能力，最終筆者選擇⑦作為條件，旨在啟發(fā)學(xué)生思考出現(xiàn)兩個(gè)解的原因，探究點(diǎn)A′的軌跡是以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓弧，∠BCO的角平分線與圓弧有兩個(gè)交點(diǎn)，為解決第3)小題作鋪墊.本質(zhì)上，第1)和第2)小題都是考查邊AP長(zhǎng)度的求法，為了體現(xiàn)設(shè)問(wèn)的多樣性，問(wèn)題分別以“求△OAP的面積”“求點(diǎn)P的坐標(biāo)”的形式呈現(xiàn).

第3)小題，與原題風(fēng)格保持一致，考查最值問(wèn)題，學(xué)生可以從點(diǎn)A′的軌跡出發(fā)進(jìn)行解答.原題考查相切的特殊位置，筆者則從“垂線段最短”的角度考查最小值問(wèn)題，將圖形架構(gòu)到坐標(biāo)系中，從而給出直線的解析式.

1.3 打磨原創(chuàng)

說(shuō)明為了保證試卷的區(qū)分度與信度，筆者打算編制一道壓軸的填空題.首先，筆者確定了題目基調(diào)：以函數(shù)為背景，有特殊角，能考查方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).于是，試題的原始方案應(yīng)運(yùn)而生.

初稿A,B是y=-2x+4圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，A(1，2)，O為原點(diǎn)，若∠AOB=45°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是______.

從命題意圖上看，初稿基本可取.初稿的答案有兩個(gè)，需要討論點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方、點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方兩種情況.由于兩種情況中點(diǎn)B坐標(biāo)的求法完全相同，本題的考查重點(diǎn)并不是分類(lèi)討論，且全卷中已有兩處考查到分類(lèi)討論的思想，因此又將題目進(jìn)行了兩次改編，得到例7.定稿中角度改為135°，增加了對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的考查.在試做過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)從不同角度切入都可以解決問(wèn)題.比如：

從而

設(shè)B′(3m,m),則

解得

圖5 圖6

當(dāng)然，這里也可以通過(guò)格點(diǎn)圖來(lái)求tanβ(如圖6所示).

解得

圖7 圖8

解得

事實(shí)上，此題還可以通過(guò)構(gòu)造一線三等角、母子型相似等方法求解，限于篇幅，不再贅述.需要指出的是，不同的解題思路，不同的切入角度，體現(xiàn)了不同的思維層次，帶來(lái)了不同的解法，有繁有簡(jiǎn).因此，該題在一定程度上也是對(duì)不同思維分析推斷方法的考查[1].可以說(shuō)，本題入口較寬，方法多樣，有一定的探索性，基本達(dá)到了命題意圖和考查目標(biāo).當(dāng)然，筆者還希望通過(guò)本題傳遞這樣的教學(xué)導(dǎo)向：在教學(xué)過(guò)程中，要多給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成過(guò)程，參與到尋求解題思路、優(yōu)化解題方法的過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積累解題經(jīng)驗(yàn)，注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí).

例8三月春盛，十里桃花，白真與折顏圍棋對(duì)弈，假如白真、折顏每局比賽輸贏的機(jī)會(huì)相同，且白真已經(jīng)贏得了第1局，假定比賽中不出現(xiàn)平局.

1)若兩人之間共進(jìn)行3局比賽，3局比賽須全部比完，贏滿2局的人即獲勝，請(qǐng)用樹(shù)狀圖分析折顏?zhàn)罱K獲勝的概率；

2)若兩人共進(jìn)行7局比賽，7局比賽須全部比完，贏滿4局的人即獲勝，請(qǐng)直接寫(xiě)出折顏?zhàn)罱K獲勝的概率.

說(shuō)明此題的初稿如下：小張和小錢(qián)兩人進(jìn)行圍棋比賽，假如兩人每局比賽輸贏的機(jī)會(huì)相同，且小張已經(jīng)贏得了第1局，兩人之間共進(jìn)行5局比賽，5局比賽須全部比完，贏滿3局的人即獲勝，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表分析小張最終獲勝的概率.

初稿以圍棋比賽為背景，主要考查利用枚舉法(列表、畫(huà)樹(shù)狀圖)來(lái)計(jì)算概率，但有如下幾個(gè)問(wèn)題：首先，符合題意的樹(shù)狀圖有4層，而考試中，一般不考查超過(guò)3層的樹(shù)狀圖；其次，考生可能產(chǎn)生這樣的疑慮：圍棋比賽中是否需要考慮平局的情況；最后，題目略顯單薄，缺乏新意.

回顧近幾年的江蘇省無(wú)錫市數(shù)學(xué)中考卷，筆者發(fā)現(xiàn)概率命題已經(jīng)形成一些穩(wěn)定的風(fēng)格：背景多樣，構(gòu)思精巧，富有創(chuàng)意，在考查利用枚舉法(列表、畫(huà)樹(shù)狀圖)來(lái)計(jì)算概率的同時(shí)，也經(jīng)常會(huì)在第2)小題中設(shè)計(jì)一些創(chuàng)新題，需要學(xué)生理解情境，深入思考，靈活求解.

于是，筆者保留了圍棋比賽的情境，在題干中加上“假定比賽中不出現(xiàn)平局”，使題目更加嚴(yán)謹(jǐn).重新設(shè)計(jì)了兩個(gè)小題：第1)小題考查學(xué)生利用兩層的樹(shù)狀圖計(jì)算概率；第2)小題要求學(xué)生考慮7局4勝的賽制下的獲勝概率.顯然，若學(xué)生仍利用樹(shù)狀圖分析第2)小題，則會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力，一不小心就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果.這就要求學(xué)生能對(duì)獲勝的情況進(jìn)行合理分類(lèi)，并且明確：在等可能條件下，事件A發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)與所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)之比.最后，將初稿中的人物改成了深受學(xué)生喜愛(ài)的影視人物，以增強(qiáng)試題的趣味性，緩解學(xué)生考試緊張的情緒.

2 思考感悟

回顧一模試卷的命制過(guò)程，筆者有幾點(diǎn)感悟，與大家分享.

2.1 精選試題，應(yīng)符合課標(biāo)要求

現(xiàn)在的教輔資料豐富，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)達(dá)，獲得試題資源變得越來(lái)越容易，但題目質(zhì)量參差不齊.因此，命題者需要仔細(xì)甄別，精選出其中的好題.一般來(lái)說(shuō)，選題應(yīng)主要來(lái)自教材習(xí)題、中考題、中考模擬題，以確保題目質(zhì)量.選題必須符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，貼近本地中考試題的命題特點(diǎn).選題數(shù)量應(yīng)比最終確定的試題數(shù)量多一些，以備結(jié)合考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)表進(jìn)行篩選.

2.2 深層改編，應(yīng)體現(xiàn)診斷價(jià)值

選取好題進(jìn)行改編是命題的常用手段.如果僅僅簡(jiǎn)單地改變?cè)}中的數(shù)據(jù)、背景等，雖然確保了試題的命制方向不會(huì)出現(xiàn)大的偏差，但會(huì)造成試題陳舊、考查角度單一等問(wèn)題，在一定程度上喪失了對(duì)知識(shí)技能掌握程度的診斷.因此，命題時(shí)應(yīng)盡可能地深入改編，多角度、深層次地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握程度，體現(xiàn)出一?？荚嚨脑\斷功能.

2.3 注重導(dǎo)向，應(yīng)彰顯原創(chuàng)精神

試題若只是挑選或改編原題，則成了“拿來(lái)主義”，因此作為試卷亮點(diǎn)的原創(chuàng)題是必不可少的.事實(shí)上，原創(chuàng)題也是命題者價(jià)值取向的完整體現(xiàn).命制原創(chuàng)題需要認(rèn)真構(gòu)思試題的教學(xué)導(dǎo)向，是導(dǎo)向重視某個(gè)核心概念的教學(xué)，還是導(dǎo)向形成建構(gòu)主義教學(xué)觀或是導(dǎo)向培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等等.這對(duì)后續(xù)教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)都會(huì)產(chǎn)生重要的影響.

2.4 反復(fù)打磨，應(yīng)追求簡(jiǎn)潔自然

從上文的命題過(guò)程可以看出，筆者經(jīng)歷了充分的思考，對(duì)試題進(jìn)行了反復(fù)的打磨和優(yōu)化.首先，命題者需對(duì)試卷反復(fù)審核，字斟句酌，以避免爭(zhēng)議，杜絕科學(xué)性的錯(cuò)誤；其次，試題的打磨應(yīng)追求簡(jiǎn)潔明了，曉達(dá)通暢.本次一模卷共28題，但只有約1 800個(gè)字符，其簡(jiǎn)潔性可見(jiàn)一斑.章建躍教授曾指出：好的題目應(yīng)該簡(jiǎn)潔好懂，自然生長(zhǎng).因此，在命制綜合題時(shí)，還要思考如何使各個(gè)小題之間富于關(guān)聯(lián)，自然生長(zhǎng)，問(wèn)題之間不能毫無(wú)聯(lián)系，東拼西湊.

總之，命制好的試題，需要命題者平時(shí)注重積累，苦心經(jīng)營(yíng)，對(duì)試題精益求精，不斷雕琢.最后，引用屈原《離騷》中的一句話與命題愛(ài)好者們共勉：路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索.

[1] 周偉揚(yáng).初中學(xué)業(yè)考數(shù)學(xué)試卷命制的著眼點(diǎn)——以2013年紹興市初中學(xué)業(yè)考數(shù)學(xué)卷為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(9):47-48.

2017-10-18

張 濤(1992-)，男，江蘇泰州人，中學(xué)二級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)12-39-04