簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算量的兩個(gè)視角

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(姜堰第二中學(xué)，江蘇 泰州 225500)

簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算量的兩個(gè)視角

●朱傳美

(姜堰第二中學(xué)，江蘇 泰州 225500)

如何簡(jiǎn)化解析幾何的運(yùn)算量一直是解析幾何研究的重點(diǎn).此類(lèi)文獻(xiàn)常見(jiàn)于各類(lèi)期刊，其中第一篇參考文獻(xiàn)中的處理方法就有近20種，對(duì)高三的復(fù)習(xí)具有非常高的參考價(jià)值.方法雖多，但不能揭示問(wèn)題之根本，學(xué)生只會(huì)生搬硬套.鑒于解析幾何的代數(shù)與幾何雙重身份，文章提出兩個(gè)視角：幾何視角和代數(shù)視角，能較好地解決上述困惑.

簡(jiǎn)化運(yùn)算；幾何視角；代數(shù)視角

文獻(xiàn)[1-3]均就簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算量的策略進(jìn)行了系統(tǒng)地歸納和例解，3位教師針對(duì)各自文中所列舉的不同情形進(jìn)行了精辟的文字概括，如文獻(xiàn)[1]給出了5種策略：設(shè)而不求、巧用幾何性質(zhì)、合理翻譯條件、利用常見(jiàn)結(jié)論、爭(zhēng)取整體替代，各種處理方法加起來(lái)近20種，對(duì)高三的復(fù)習(xí)具有非常高的參考價(jià)值.這么多方法的掌握甚至熟練運(yùn)用，對(duì)教師來(lái)說(shuō)還能行，而對(duì)于學(xué)生就顯得困難多了.

方法雖多，若不能揭示問(wèn)題之根本，則學(xué)生只會(huì)生搬硬套，只知其然，不知其所以然，遇到新題目，還是不能處理.眾所周知：解析幾何的根本是用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題，因此解析幾何兼有代數(shù)與幾何的雙重身份，鑒于此，我們認(rèn)為：簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算量有兩個(gè)視角，即幾何視角和代數(shù)視角.

1 幾何視角

幾何視角即從幾何的角度處理解析幾何問(wèn)題.因?yàn)槠矫娼馕鰩缀问紫仁菐缀?，所以在處理解析幾何?wèn)題時(shí)，首選幾何視角，通過(guò)幾何視角，能夠挖出題中蘊(yùn)含的軌跡或幾何性質(zhì)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

1.1 幾何視角挖掘所蘊(yùn)含的軌跡

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，點(diǎn)P在⊙C:(x-a)2+y2=2上運(yùn)動(dòng)，若∠MPN恒為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

分析此題雖然是一道填空題，但若條件“∠MPN恒為銳角”處理不好，將帶來(lái)繁瑣的運(yùn)算.我們知道∠MPN恒為銳角即0°<∠MPN<90°，而當(dāng)∠MPN=90°，即MP⊥NP時(shí)，點(diǎn)P在以MN為直徑的圓上，從而挖出蘊(yùn)含的軌跡，達(dá)成問(wèn)題的優(yōu)化解決.

亦即

解得

1.2 幾何視角挖掘所蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)

圖1

1)求橢圓E的方程；

2)過(guò)點(diǎn)F1,F2分別作兩條平行直線F1C和F2B交橢圓E于點(diǎn)C,B(點(diǎn)C,B均在x軸上方)，且F1C+F2B等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求直線F1C的方程.

分析第2)小題中F1C+F2B=2b是難點(diǎn)，因?yàn)榫€段F1C,F2B在不同的直線上，若各自與橢圓聯(lián)立方程組求出線段F1C,F2B的長(zhǎng)，則將帶來(lái)很大的運(yùn)算量，這需要我們從幾何角度來(lái)挖掘幾何性質(zhì)，以避開(kāi)繁瑣運(yùn)算，達(dá)成問(wèn)題的優(yōu)化解決.

2)延長(zhǎng)CF1交橢圓E于點(diǎn)A,因?yàn)橹本€F1A,F2B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，F(xiàn)1A=F2B,且

CA=CF1+F1A=CF1+F2B=2b=2.

得

從而

(1)

又CA=CF1+F1A=a+ex2+a+ex1=

(2)

幾何視角能從幾何角度挖掘題目所蘊(yùn)含的軌跡或幾何性質(zhì)，從而揭示問(wèn)題本質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算；通過(guò)幾何性質(zhì)可以進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化運(yùn)算，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的優(yōu)化解決，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

2 代數(shù)視角

平面解析幾何的精髓是用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題.代數(shù)視角即從代數(shù)的角度處理解析幾何問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)視角，能夠挖出題中蘊(yùn)含的軌跡方程或代數(shù)關(guān)系，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

2.1 代數(shù)視角挖掘所蘊(yùn)含的軌跡方程

圖2

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

分析此題為2017年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第17題，重點(diǎn)考查圓錐曲線的運(yùn)算處理能力.第2)小題是核心，一些考生由于找不到好的簡(jiǎn)化運(yùn)算的途徑而陷于困境，那我們能否通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，走出運(yùn)算的困境，從而達(dá)成減少運(yùn)算量的目的.

2)因?yàn)镕1P⊥F1Q,F2P⊥F2Q,所以

∠PF1Q=∠PF2Q=90°,

即

∠PF1Q+∠PF2Q=180°,

從而點(diǎn)F1,F2,P,Q在以PQ為直徑的圓上.設(shè)圓心為C,則C為線段PQ的中點(diǎn)且在線段F1F2的中垂線(y軸)上，可設(shè)C(0,t),P(x1,y1)(其中x1>0,y1>0)，則Q(-x1,2t-y1).又點(diǎn)P,Q均在橢圓上,從而

當(dāng)-y1=2t-y1，即t=0時(shí)，代入上述方程組，得

此方程組無(wú)解.

當(dāng)y1=2t-y1，即t=y1時(shí)，代入上述方程組，得

解得

評(píng)析本解法旨在通過(guò)代數(shù)運(yùn)算找到點(diǎn)P所滿足的新的軌跡，而點(diǎn)P的坐標(biāo)即為新的軌跡方程與點(diǎn)P所在的原橢圓方程的交點(diǎn).通過(guò)上述解法可知：符合題意的點(diǎn)P的新的軌跡方程為：x2-y2=1.

2.2 代數(shù)視角挖掘所蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系

圖3

例4如圖3，某學(xué)校在平面圖為矩形的操場(chǎng)ABCD內(nèi)進(jìn)行體操表演，其中AB=40,BC=16,O為AB上一點(diǎn)，且BO=8，線段OC,OD,MN為表演隊(duì)列所在位置(點(diǎn)M,N分別在線段OD,OC上)，點(diǎn)P為領(lǐng)隊(duì)位置，且點(diǎn)P到BC,CD的距離均為12，記OM=d，我們知道當(dāng)△OMN面積最小時(shí)觀賞效果最好.

1)當(dāng)d為何值時(shí)，P為隊(duì)列MN的中點(diǎn)？

2)怎樣安排M的位置才能使觀賞效果最好？求出此時(shí)d的值.

分析顯然，建立坐標(biāo)系能較好地解決此題，第2)小題若通過(guò)直線與直線聯(lián)立方程組直接求得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再表示出S△OMN，則將帶來(lái)一定的運(yùn)算量；若能挖掘出點(diǎn)M,N,P坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系，則能簡(jiǎn)化運(yùn)算，達(dá)成問(wèn)題的優(yōu)化解決.

故

2)因?yàn)辄c(diǎn)M,N,P共線，所以

即

從而

得

代數(shù)視角能從代數(shù)角度挖掘題目所蘊(yùn)含的軌跡方程或代數(shù)關(guān)系，通過(guò)軌跡方程可以揭示問(wèn)題本質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算；通過(guò)代數(shù)關(guān)系實(shí)現(xiàn)已知與待求的溝通，簡(jiǎn)化運(yùn)算，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的優(yōu)化解決，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

我們認(rèn)為：揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)才是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的上上之策，解析幾何同時(shí)具有幾何和代數(shù)的雙重身份，必然從幾何與代數(shù)這兩個(gè)視角考慮問(wèn)題，解決問(wèn)題.

[1] 謝寧.減少解析幾何運(yùn)算量的若干策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下旬)，2016(1/2)：88-99.

[2] 王萍.巧構(gòu)妙用，簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(1/2)：48-50.

[3] 林明成.簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算的十二法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010(9)：38-41.

2017-10-09

江蘇省泰州市“十三五”教育科研規(guī)劃2017年度立項(xiàng)課題(tjkyblx2017/033)

朱傳美(1976-)，男，江蘇興化人,中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)12-13-03