以“本”為據(jù) 以“思”促教
——高三數(shù)學解題教學的實踐與思考

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(浙江師范大學附屬蕭山第二高級中學，浙江 杭州 311251)

●朱 哲

(浙江師范大學教師教育學院,浙江 金華 321004)

以“本”為據(jù)以“思”促教
——高三數(shù)學解題教學的實踐與思考

●范迪飛

(浙江師范大學附屬蕭山第二高級中學，浙江 杭州 311251)

●朱哲

(浙江師范大學教師教育學院,浙江 金華 321004)

文章從高三數(shù)學解題教學出發(fā)，結合課堂的教學情況和學生的學情，進行實踐與思考，提煉出“抓住習題本質、課本知識挖掘、思維導圖運用”這3個提高解題教學有效性的方法，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力.

解題教學；課本挖掘；思維導圖

解題教學貫穿高三復習的始終，從某種意義上說，解題教學的高效與否很大程度上決定了高三數(shù)學復習的成敗.怎樣的解題教學能夠幫助學生夯實數(shù)學功底，提升數(shù)學素養(yǎng)呢？筆者結合自己的教學實踐提出如下3點看法.

1 抓住本質，突破提高

高三學生在解題時常常望題生怯，只看到題目的表面而無法抓住問題的本質，此時教師就要引導學生透過問題看本質，突破解題的盲區(qū).以下是筆者針對一類絕對值函數(shù)最值問題的教學過程：

(2017年浙江省臺州市高三第一次質量檢測數(shù)學試題第17題)

筆者所在學校將該題用于高三第二輪復習中的一次階段考試，但得分率不高.與學生交流后發(fā)現(xiàn)學生的問題主要有以下4個方面：

1)無法呈現(xiàn)函數(shù)圖像，不知道如何表示函數(shù)的最大值M(a,b)；

2)不知道是否需要去掉函數(shù)的絕對值，如何去；

3)嘗試用絕對值不等式，但后續(xù)無法進行；

4)無法理解M(a,b)其實是一個范圍.

此題的解法有好幾種，考慮到絕大部分學生糾結于此題的絕對值，因此筆者在課堂中從絕對值的幾何本質入手.

圖1

為了加強學生對函數(shù)縱向距離的理解，筆者在課堂上又設計了如下兩個變式：

分析有了例1的鋪墊，學生很快能分析出變式1的解題思路.如圖2，根據(jù)導數(shù)的相關知識得出直線AC的方程為

圖2

過點B且與lAC平行的切線方程為

(其中θ為直線AC的傾斜角).

(2017年浙江省數(shù)學高考試題第17題)

圖3

因此在教學中針對學生出錯或沒有思路的現(xiàn)象，教師可以從學生的困惑入手，引導學生看到問題背后的本質，突破問題的難點，讓學生真正在數(shù)學思維上得以提高.

2 挖掘文本，舉一反三

教材涵蓋大量的例題和探究性活動，每道題目都可以引導學生發(fā)現(xiàn)相關的知識點和性質.以下是筆者在復習圓錐曲線時，結合課本例題講解的“e2-1的性質”：

(浙江省2017屆高三數(shù)學統(tǒng)考模擬卷第21題)

筆者分析試卷時發(fā)現(xiàn)：學生通過聯(lián)立直線AP與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理和垂直的兩向量數(shù)量積為0進行證明，得分率較高.不過筆者在課堂中仍提出了不同的解題方法.

《數(shù)學(選修2-1)》中就向學生呈現(xiàn)了解答此題的方法，因此筆者重新將課本中的例題提出：

分析易得點M的軌跡方程為

筆者再次引導學生發(fā)現(xiàn)點A,B不僅僅是橢圓的左、右頂點，而是關于原點對稱的兩個點.因此，學生由特殊轉換到一般，對這一現(xiàn)象進行了猜想與論證，具體如下：

設點M(x,y)，點A和B關于原點對稱，其坐標分別為A(m,n),B(-m,-n)，則

從而

根據(jù)上述推導可以得出：

結合推論1，例3便有了新的證明方法：

故

OP⊥BC.

圖4

根據(jù)上述推導可以得出：

而這些推論在高考中也有較多的應用，筆者在教學中也再次進行運用.

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第15題)

即

由于雙曲線與橢圓在圖形上有著相同的對稱性，學生提出問題，是否雙曲線中也有類似的性質？于是筆者又趁熱打鐵與學生一同探討，得出雙曲線中的“e2-1的性質”：

這些教學案例僅僅只是教材中一道例題的發(fā)掘延伸與應用，筆者認為教師應該在平時的解題教學中充分研讀、挖掘課本，做到舉一反三，真正在解題教學中拓寬學生的思路，達到解題教學的高效性，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

3 自我監(jiān)控，查漏補缺

數(shù)學學科的自我監(jiān)控能力，是指學生為了保證數(shù)學學習的高效與成功，而在整個數(shù)學學習過程中，將數(shù)學學習活動作為意識對象，對其進行積極主動的計劃、檢驗、調節(jié)和管理，從而實現(xiàn)學習目標的能力[1].數(shù)學自我監(jiān)控能力較高的學生善于對數(shù)學思維過程和結果進行反思，從而較快掌握數(shù)學思維和解題策略.因此教學中需要加強對學生這一能力的培養(yǎng)，而思維導圖便是一種有效的途徑.

思維導圖是一種利用圖形來表達發(fā)散性思維的思維工具，它以中心詞為出發(fā)點，充分利用箭頭、直線、曲線和特殊符號等圖示表達不同內容的從屬關系[2].筆者認為若能在解題教學中從學生分析題目的思維導圖入手，則教師就能準確找到學生解題困難的原因，保證解題教學的高效性.

以下是筆者通過分析學生的思維導圖進行教學的案例：

(2016年浙江省杭州市第一次教學質量檢測數(shù)學理科試題第15題)

圖5

( )

(2017年浙江省杭州市第一次教學質量檢測數(shù)學試題第7題)

思維導圖的運用是一種有效的教學策略，它可以幫助學生做到數(shù)學思維的自我監(jiān)控，看清自我思維的漏洞，從而在自主學習中逐步形成嚴密的數(shù)學思維，在解題中真正達到思維訓練與提高的目的.

4 結束語

弗里德曼在分析學生解決了大量的題目但還“不開竅”這一現(xiàn)象時指出：這些學生沒有在應有的程度上分析所解的習題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得出答案.這指出了一條途徑：通過解題過程的分析和解后反思來積累經驗與類型[3].因此筆者認為高三的解題教學應該注重學生的解題思維，幫助學生分析問題的本質.同時應該注重教材，挖掘其中的知識點，在解題中進行知識點的發(fā)現(xiàn)、歸納和積累.這樣可以有效地提高高三數(shù)學復習的效率，讓學生在讀題、析題、解題、悟題的過程中提升自己的數(shù)學思維素養(yǎng)，這也是高三解題教學所追求的境界.

[1] 陸峰.高層次數(shù)學思維與數(shù)學自我監(jiān)控能力關系的研究[D].南京：南京師范大學，2004.

[2] 計雪娟.思維導圖在高中數(shù)學教學中的應用設計研究[D].長春：長春師范大學，2015.

[3] 朱麗強.讓學生的思維在解題研究中飛翔——高三數(shù)學解題教學的實踐與思考[J].中學數(shù)學，2013(3):48-50.

2017-09-16

范迪飛(1992-)，女，浙江蕭山人，中學二級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)12-09-04