基于ISM法繪制概念圖進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)

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(首都師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，北京 100048)

基于ISM法繪制概念圖進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)

●曹月

(首都師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，北京 100048)

概念圖被譽(yù)為21世紀(jì)教育新模式的信息技術(shù)與腦科學(xué)，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有著重要作用.ISM法可以科學(xué)地計算出每個概念在概念圖中所處的層級，運用ISM法繪制概念圖能夠有效地解決概念圖設(shè)計過程出現(xiàn)的一些問題.文章將ISM法與概念圖的設(shè)計流程進(jìn)行整合，按照ISM法繪制概念圖的步驟，以平面向量基本概念內(nèi)容為例設(shè)計概念圖，并對此內(nèi)容的教學(xué)提出了3條建議.

ISM法；概念圖；數(shù)學(xué)概念教學(xué)；平面向量

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教與學(xué)中有著重要的地位，可以說整個數(shù)學(xué)體系都是建立在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)之上.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)[1].因此，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是學(xué)生牢固掌握和靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的基礎(chǔ)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的影響.基于此，教師在教學(xué)中要采取有效的教學(xué)策略引發(fā)學(xué)生思考、促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，幫助學(xué)生深刻把握這些概念的本質(zhì).關(guān)于概念教學(xué)的可操作性研究成果有APOS理論模型、概念圖指導(dǎo)概念教學(xué)與概念同化等模式.其中概念圖被譽(yù)為21世紀(jì)教育新模式的信息技術(shù)和腦科學(xué)[2]，筆者以人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》第2.1節(jié)“平面向量的實際背景及基本概念”為例，就概念圖指導(dǎo)概念教學(xué)中存在的問題以及如何有效地發(fā)揮概念圖的功能進(jìn)行教學(xué)分析.

1 運用概念圖進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)

概念圖是由美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克教授等人在19世紀(jì)60年代提出來的一種用來組織和表征知識的工具，它可以將有關(guān)某一主題的不同層級的概念置于方框中，用線條將相關(guān)概念進(jìn)行連接，在線條附近標(biāo)注連接詞以表明概念之間是如何聯(lián)系的.概念圖可以將學(xué)生頭腦中現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以一種可視化的形式清晰地呈現(xiàn)出來，教師可以借此了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，從而調(diào)整自己的教學(xué)內(nèi)容使學(xué)生建構(gòu)科學(xué)完整的知識網(wǎng)絡(luò).

概念圖是由諾瓦克教授根據(jù)奧蘇貝爾的概念同化理論而開發(fā)的一種認(rèn)知工具，它是為了解決“在教學(xué)過程中學(xué)生能夠按步驟完成相應(yīng)的任務(wù)，但是不能給出合理原因”這一問題，從而將機(jī)械學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為有意義學(xué)習(xí)，豐富、發(fā)展了奧蘇貝爾的概念同化理論.概念圖可以將知識進(jìn)行高度濃縮，學(xué)生在制作概念圖的過程中，可以弄清楚新概念和原有概念之間的關(guān)聯(lián)程度，促進(jìn)學(xué)生積極思考，發(fā)展學(xué)生的概念性理解，激勵學(xué)生主動建構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)；另外在制作概念圖的過程中學(xué)生可以明白哪些概念是不清晰的、哪些是完全理解的，從而使模糊的概念變得清晰，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知和自主性.此外，學(xué)生運用概念圖進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還可以培養(yǎng)其猜想、推理等數(shù)學(xué)思維能力，概念圖教學(xué)對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的現(xiàn)實意義.

概念性理解是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo).數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任一數(shù)學(xué)概念都由若干數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成；只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念[3].數(shù)學(xué)概念教學(xué)最終要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，有效的概念教學(xué)應(yīng)該能夠幫助學(xué)生將新學(xué)概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念聯(lián)系起來[4]，建構(gòu)概念體系.概念圖不僅可以對某一概念進(jìn)行解釋，還可以將零散的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，建立概念之間的聯(lián)系，使之成為聯(lián)系的整體.因此，概念圖在概念教學(xué)中有著重要的作用.

2 基于ISM法繪制概念圖進(jìn)行概念教學(xué)

ISM(Interpretive Structural Modeling)法又稱解釋結(jié)構(gòu)模型，是由美國Bottene研究所為研究復(fù)雜的社會問題而開發(fā)的一種方法[5].它可以將社會系統(tǒng)中復(fù)雜的問題分為許多子問題，利用人們的直覺經(jīng)驗結(jié)合計算機(jī)軟件系統(tǒng)地確定這些子問題的順序，進(jìn)而將這些子問題組織成一個邏輯嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)模型，它也可以將復(fù)雜的要素分解成清晰的層次結(jié)構(gòu)，在許多方面有著廣泛的應(yīng)用.目前，ISM法已成為較為成熟的教材設(shè)計、分析以及課程編排輔助手段.

概念圖對于概念教學(xué)有著重要的現(xiàn)實意義，許多研究者已經(jīng)設(shè)計了實驗，運用實證研究的方法證明了概念圖對于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用.但是概念圖的制作并沒有嚴(yán)格統(tǒng)一規(guī)范的程序，往往是基于個人經(jīng)驗的主觀判斷，缺乏客觀數(shù)據(jù)的支持，這樣就會導(dǎo)致一些問題，比如概念層級出錯，概念網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜，難以發(fā)揮其圖式表征的優(yōu)勢.而ISM法可以利用計算機(jī)軟件較科學(xué)地計算出每個概念在概念圖中所處的層級，因此，本研究擬使用ISM法指導(dǎo)概念圖的制作，完善概念圖制作過程中存在的問題.

運用ISM法制作概念圖的步驟如下：1)選取某一主題；2)抽取核心概念并編號；3)確定概念間的形成關(guān)系；4)繪制概念圖；5)評價、完善概念圖.運用ISM法制作概念圖與運用ISM法繪制層級有向圖進(jìn)行教材分析的步驟類似，只是在繪制出層級有向圖的基礎(chǔ)上，需要在兩個概念的連線旁用文字添加它們之間的關(guān)系，我們把用文字清晰地注明兩個概念之間關(guān)系的層級有向圖叫做概念圖.平面向量包含許多核心概念，它是高中數(shù)學(xué)重要和基本的概念之一.有學(xué)者曾將概念圖策略用于數(shù)學(xué)新授課、復(fù)習(xí)課、探究課等不同課型中.因此，本研究將以平面向量基本概念內(nèi)容為例，運用ISM法進(jìn)行“基于概念圖的平面向量”一節(jié)的新授課教學(xué)設(shè)計.

3 運用ISM法設(shè)計平面向量內(nèi)容的概念圖

現(xiàn)以“平面向量實際背景及基本概念”內(nèi)容為例，就上述步驟進(jìn)行詳細(xì)地分析.

3.1 選取某一主題

教師需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略.一般來說，概念圖教學(xué)策略適合于概念性知識的講解.因此，教師可以選擇概念性知識比較多的某一節(jié)課，或者圍繞某一主題在新授課、復(fù)習(xí)課等課型中運用概念圖指導(dǎo)教學(xué).

例如，“平面向量實際背景及基本概念”是平面向量第一節(jié)的內(nèi)容，作為平面向量這一單元的起始課，本節(jié)課包含很多數(shù)學(xué)概念，這些概念是向量知識體系的基礎(chǔ)，對其他知識的學(xué)習(xí)起著奠基性作用.

3.2 抽取核心概念并編號

數(shù)學(xué)概念最重要的特征就是它們都能被容納在結(jié)構(gòu)組織良好的概念體系當(dāng)中，在一個概念體系中，有些概念處于核心的地位，其他概念與它有著密切的聯(lián)系，或由它形成，我們把這些概念成為核心概念[6].從學(xué)科的角度看，核心數(shù)學(xué)概念一般具有以下特征：在數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域中處于基礎(chǔ)地位，能承上啟下，與其他知識有廣泛的聯(lián)系.可見，核心數(shù)學(xué)概念具有一般概念所不具備的基礎(chǔ)性和生長性.因此，對于核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須實現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過程，樹立整體觀.

根據(jù)以上對核心數(shù)學(xué)概念的定義，抽取的平面向量一節(jié)的核心概念如下：H1向量，H2有向線段，H3起點，H4方向，H5長度，H6零向量，H7單位向量，H8平行向量，H9相等向量，H10共線向量.

3.3 確定概念間的形成關(guān)系

針對抽取出的核心概念確定概念間的形成關(guān)系.一般來說，如果在定義某個概念時用到了它的下位概念，如果缺少下位概念，那么這個概念就無法定義，我們就說這兩個概念具有形成關(guān)系.利用這種方法，依次判斷以上選取的核心概念間是否具有形成關(guān)系.如果兩個概念間具有形成關(guān)系，則上位概念在上，下位概念在下，二者之間用帶有箭頭的直線連接，且箭頭指向上位概念.

根據(jù)概念間形成關(guān)系的定義，以上10個核心數(shù)學(xué)概念間的形成關(guān)系如圖1所示：

圖1

3.4 制作層級有向圖

制作概念間的層級有向圖，需要根據(jù)核心要素間的形成關(guān)系求出可達(dá)矩陣，再由可達(dá)矩陣分析每個要素所處的層級位置并制作層級有向圖.具體過程如下：首先，將要素間的形成關(guān)系圖表示為雙向細(xì)目表的形式(表中的每個元素只能是0或1：0表示兩個概念間不具有直接關(guān)系，也就是兩個概念之間沒有用箭頭連接；如果兩個概念具有直接關(guān)系則用數(shù)字1表示)；其次，將雙向細(xì)目表表示成鄰接矩陣，并通過MATLAB軟件編程將鄰接矩陣轉(zhuǎn)換成可達(dá)矩陣；最后，根據(jù)可達(dá)矩陣求出每個要素所處的層級，并由每個要素所處的層級從低層級到高層級逐步制作要素層級有向圖如圖2所示：

圖2

3.5 繪制概念圖

根據(jù)每個概念所處的層級排列每個核心概念，再把具有形成關(guān)系的概念用一條帶有箭頭的直線連接，并在直線旁輔以連接詞表示概念之間的關(guān)系，連接詞要簡明、準(zhǔn)確，同時也要便于學(xué)生理解.根據(jù)以上繪制的概念間的層級結(jié)構(gòu)，制作概念圖.教師還可以根據(jù)教材內(nèi)容，對于概念間除形成關(guān)系以外的其他關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充以完善概念圖的設(shè)計，繪制好的概念圖如圖3所示:

圖3

3.6 評價、反思概念圖

繪制的概念圖能否準(zhǔn)確地反映概念間的上下位邏輯關(guān)系，是否便于教師教學(xué)和學(xué)生理解建構(gòu)，教師需要對此進(jìn)行評價、反思，必要時還可進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦薷?

4 教學(xué)建議

作為平面向量一章的章節(jié)起始課及概念型課，教師在教學(xué)中需要把握以下幾點：

4.1 借助生活實例，揭示向量豐富的實際背景

概念的獲得一般有兩種方式——概念形成和概念同化.這兩種方式各有特點：前者側(cè)重于從感性材料上升到表象，再經(jīng)過抽象、歸納、概括出概念的本質(zhì)特征，據(jù)此明確相應(yīng)的外延；而后者則多從已有的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，運用概念限制或概念概括的方法，分析推演出所概括的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征[7].向量具有豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中隨處可見像位移、速度、力等既有大小又有方向的量，向量就是從這些實際背景中抽象出來的概念.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)時可通過借助大量的實例讓學(xué)生感受到“既有大小又有方向”的量是客觀存在的，引導(dǎo)學(xué)生抽象歸納出研究對象的本質(zhì)特征，形成“向量”這一概念.當(dāng)學(xué)生認(rèn)識向量概念之后，教師可進(jìn)一步提問如何表示這一概念，教師可給學(xué)生提供充分思考討論的空間并給予適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，借此引入有向線段的概念.

4.2 基于學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，滲透類比思想

奧蘇貝爾將學(xué)習(xí)分為有意義學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí).他認(rèn)為有意義學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識與頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來的學(xué)習(xí)方式.本節(jié)課的內(nèi)容與學(xué)生已有的知識具有很大的關(guān)聯(lián)性，數(shù)量與向量、0與零向量、1與單位向量、平行線與平行向量等知識相互聯(lián)系.因此，對于零向量、單位向量、平行向量概念的教學(xué)，教師可以用數(shù)量加方向來刻畫向量，使學(xué)生認(rèn)識到兩者的區(qū)別，明確向量的本質(zhì)(大小和方向).用實數(shù)中的特殊數(shù)0與1和幾何中的平行線類比得到零向量與單位向量、平行向量的概念.學(xué)生已有的知識可作為新知識的生長點，運用類比的思想進(jìn)行思考，激活學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自然而然地得出新概念.

4.3 構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)概念理解

概念圖不論是對于教師的教學(xué)還是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)都有著重要的指導(dǎo)作用.教師可以根據(jù)每個概念在概念圖中所處的層級向?qū)W生講解概念，也可以將繪制好的概念圖呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生理清概念間的上下位邏輯關(guān)系，準(zhǔn)確地建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).教師在引導(dǎo)學(xué)生形成概念后，可以在總結(jié)環(huán)節(jié)將繪制好的概念圖呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待數(shù)學(xué)概念，深化對概念本質(zhì)的理解，構(gòu)建自己的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).

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2017-10-28

曹 月(1994-)，女，山西晉中人，碩士研究生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2017)12-01-03