中國經(jīng)濟增長拐點問題研究——基于計量經(jīng)濟學和微積分學的實證分析

緱小平

(寧夏財政廳 財政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

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中國經(jīng)濟增長拐點問題研究
——基于計量經(jīng)濟學和微積分學的實證分析

緱小平

(寧夏財政廳 財政政策研究中心，寧夏 銀川 750001)

經(jīng)濟拐點是經(jīng)濟發(fā)展速度由上升轉(zhuǎn)變?yōu)橄陆档臅r間節(jié)點，也是確定經(jīng)濟波動周期的波峰和波谷的依據(jù)，對于判斷經(jīng)濟走勢、制定相應(yīng)政策措施具有重要意義。輿論和學術(shù)界對中國最近一次經(jīng)濟拐點出現(xiàn)的時間有各種不同看法，但都是基于經(jīng)驗判斷。文章以計量經(jīng)濟學和微積分學為研究工具，對2001-2015年中國GDP時間序列和31個省市自治區(qū)的GDP面板數(shù)據(jù)進行分析測試，發(fā)現(xiàn)GDP對于時間變量的發(fā)展規(guī)律可以使用一元三次函數(shù)來表達，通過計量建模、數(shù)學解析，推導出中國最近一次經(jīng)濟拐點出現(xiàn)的時間為2011年，各省市自治區(qū)經(jīng)濟拐點出現(xiàn)的時間各有不同。如果環(huán)境因素不發(fā)生變化，經(jīng)濟增速下降的趨勢將會傳遞到“十三五”時期。

GDP；經(jīng)濟拐點；計量經(jīng)濟學；微積分

一、引言

自1978年實施改革開放到2015年，中國經(jīng)濟經(jīng)歷了37年快速發(fā)展，取得令人矚目的巨變。國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)從1978年的3650億元發(fā)展到2015年的676708億元，增加了184倍，年均名義增長率達到15.2%，剔除價格變動因素，年均實際增長9.7%①[1]。中國經(jīng)濟進入“十二五”以來，繼續(xù)保持中高速發(fā)展，經(jīng)濟總量已經(jīng)躋身世界第二，但受經(jīng)濟下行壓力影響，增長勢頭明顯放緩，實際增長率從2011年的9.5%開始下滑，到2012年和2013年各7.7%、2014年的7.3%，直到2015年的6.9%，經(jīng)濟發(fā)展步入“新常態(tài)”的趨勢已經(jīng)顯現(xiàn)。

輿論和學術(shù)界紛紛探討中國經(jīng)濟增長的拐點是否已經(jīng)出現(xiàn)，經(jīng)濟增長是否已經(jīng)探底，對經(jīng)濟拐點的出現(xiàn)提出不同看法。時任國務(wù)院發(fā)展研究中心副主任的劉世錦在中國發(fā)展高層論壇2013年經(jīng)濟峰會上表示，“歷經(jīng)30多年高速增長之后，中國經(jīng)濟正在轉(zhuǎn)入中速增長區(qū)，增長拐點大概出現(xiàn)在2015年，之后會逐步穩(wěn)定在6%到7%之間”[2]?！度嗣袢請蟆?014年初引述世界銀行報告，標題為“全球經(jīng)濟迎來加快增長拐點，中國經(jīng)濟將持續(xù)強勁增長”[3]，對中國經(jīng)濟增長表達了十分樂觀的態(tài)度。在2015中國經(jīng)濟增長與周期國際高峰論壇上有專家認為，“中國經(jīng)濟正從過去兩位數(shù)的高速增長轉(zhuǎn)為7%左右的中高速增長，但是經(jīng)濟還在探底過程中，經(jīng)濟下行的壓力很大，還未在年均7%左右的中高速增長中穩(wěn)定下來。如果改革發(fā)力、政策得當，7%或者6. 5%左右的增速應(yīng)該能夠維持到2020年，甚至更長一段的時間。”[4]《人民日報》2016年5月9日頭版刊登標題為“開局首季問大勢——權(quán)威人士談當前中國經(jīng)濟”的訪談文章，提出如下觀點：“綜合判斷，我國經(jīng)濟運行不可能是U型，更不可能是V型，而是L型的走勢。這個L型是一個階段，不是一兩年能過去的?！?/p>

二、文獻述評

目前國內(nèi)針對經(jīng)濟拐點問題專門進行定量研究的文獻尚屬鳳毛麟角，見諸于文獻的多為宏觀經(jīng)濟波動周期的測度和研究。謝太峰、王子博(2013)指出，“國內(nèi)相關(guān)研究逐漸由定性分析向定量研究轉(zhuǎn)變，多集中于經(jīng)濟周期波動特征的研究，對經(jīng)濟周期拐點預(yù)測的研究尚處于起步階段。對于經(jīng)濟周期拐點預(yù)測，還沒有形成一個可行的分析方法，或者說沒有給出一個將經(jīng)濟理論分析和計量經(jīng)濟學實證驗證有機結(jié)合的預(yù)測思路?！盵5]然而，對經(jīng)濟拐點的測度和識別，是經(jīng)濟周期研究中的一個重要環(huán)節(jié)。董進(2006)提出，“如何更好地測度經(jīng)濟波動周期的起止時間也一直是經(jīng)濟學家們研究的主要問題之一。如何界定經(jīng)濟周期以及如何量化一個經(jīng)濟指標的時間序列與經(jīng)濟波動周期本身的協(xié)動，這是經(jīng)濟波動周期領(lǐng)域中兩個最主要的問題?！盵6]研讀國內(nèi)研究經(jīng)濟波動周期的文獻，有以下特征：

1.從研究對象和所覆蓋的時期上看，均以全國的經(jīng)濟波動周期為研究對象，所采集的數(shù)據(jù)為全國數(shù)據(jù)，所涉及的時期多為2011年以前。尚未見分省市自治區(qū)研究的文獻。董進(2006)對中國1952-2005年的數(shù)據(jù)進行分析，使用了2005年全國經(jīng)濟普查后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。謝太峰、王子博(2013)應(yīng)用中國1978-2011年潛在經(jīng)濟增長率等變量，結(jié)合對中國經(jīng)濟周期特征和規(guī)律的經(jīng)驗判斷形成預(yù)測思路。鄭挺國、王霞(2013)使用1992-2011年中國季度GDP同比增長率識別了同期經(jīng)濟周期變化[7]。

2.從研究方法看，學者們用多種方法對經(jīng)濟周期的測度進行嘗試。董進(2006)運用線性趨勢法、H-P濾波法、B-P濾波法和生產(chǎn)函數(shù)法分別對中國經(jīng)濟波動周期的起止時間進行了比較。謝太峰、王子博(2013)使用Kalman濾波法，將經(jīng)濟周期特征和規(guī)律的經(jīng)驗判斷與潛在經(jīng)濟增長率趨勢變化相結(jié)合進行拐點預(yù)測，得出中國經(jīng)濟以2009年為拐點、從2010年起進入新一輪周期的擴張期的論斷。鄭挺國、王霞(2013)通過構(gòu)建混頻數(shù)據(jù)區(qū)制轉(zhuǎn)移動態(tài)因子模型，從實時分析的角度考察了該模型在中國經(jīng)濟周期研究中的適用性。

三、曲線凸性和拐點的概念及判別方法

圖1 函數(shù)曲線凸性及拐點示意圖

所謂拐點最初是一個數(shù)學概念，特指函數(shù)曲線由下凸向上凸轉(zhuǎn)變的結(jié)點，或上凸向下凸轉(zhuǎn)變的結(jié)點。如果將函數(shù)曲線定義為物體運動所經(jīng)過的路程隨時間變化的軌跡，下凸函數(shù)曲線的特點是速度呈上升趨勢，而上凸函數(shù)曲線的特點是速度呈下降趨勢，雖然該物體還在向前運行。如果該物體一直在運行，則運行曲線是一個連續(xù)函數(shù)，那么由下凸向上凸轉(zhuǎn)變的分界點即為拐點。

四、研究方法

(一)經(jīng)濟函數(shù)概念的建立

GDP是衡量一國或一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展成果的主要指標，可以看作經(jīng)濟運行的“里程”。比如寧夏GDP在2010年(X0)為1689.7億元，到2015年(X5)發(fā)展到2900.0億元，其間經(jīng)過的“里程”為1210.3億元，也可以表示為時間Xi(i=1,2, …,n)的函數(shù)，這類函數(shù)在經(jīng)濟學上被稱為增長模型[9]。根據(jù)研究需要，時間變量的單位可以定義為年、月、季度等。如此，可以將導數(shù)的概念引入GDP，用來表示GDP增長速度和加速度。由此可見，如果能夠建立GDP對于時間變量的函數(shù)模型，則完全可以使用數(shù)學分析方法來研究GDP發(fā)展變化的性質(zhì)和規(guī)律。

(二)研究路徑

圖2 研究路徑圖

研究的關(guān)鍵在于建立模型。“模型是對現(xiàn)實的簡化呈示。模型之所以重要是由于它們的簡潔可以使經(jīng)濟學家們每次只集中討論一種變量的作用效果。也就是說，它可以使我們在保持其他因素不變的情況下來研究一種因素的變化如何影響到整體的經(jīng)濟后果。[10]”從數(shù)學角度來看，事物增長規(guī)律通?？梢杂萌N函數(shù)形式來表達：冪函數(shù)(形如Y=CXa)，對數(shù)函數(shù)(形如Y=Cln(X)和指數(shù)函數(shù)(形如Y=cex，以上表達式中的C, a均為常數(shù)項)。以增長速度從高到低排序依次為指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。計量經(jīng)濟學為經(jīng)濟模型的建立和檢驗提供了強有力的工具。基本研究程序分三步走，第一，采集中國2001-2015年三個五年計劃期的GDP歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個時間序列數(shù)據(jù)集，用EViews計量經(jīng)濟學軟件包繪出GDP相對于年份時間序列的描點圖，觀察其增長特征，判斷能夠代表增長特征的函數(shù)形式，并在反復(fù)模擬試算的基礎(chǔ)上確定最優(yōu)函數(shù)模型。第二，采集中國31個省市自治區(qū)2001-2015年的GDP歷史數(shù)據(jù)，構(gòu)成面板數(shù)據(jù)集(短面板)，采用確定的函數(shù)模型，通過EViews軟件包，使用面板數(shù)據(jù)回歸法進行運算，求出模型參數(shù)的估值，并將參數(shù)估值代入模型，建立中國GDP共性增長函數(shù)和31個省市自治區(qū)各自增長函數(shù)。第三，對增長函數(shù)進行數(shù)學分析，解出2001-2020年時間段內(nèi)中國和各省市自治區(qū)的經(jīng)濟拐點。

簡而言之，本文以計量經(jīng)濟學和微積分學為研究工具，建立一個理論模型，采集兩套數(shù)據(jù)，使用三種回歸方法，得到兩個綜合模型表達式和31個分省模型表達式；通過數(shù)學解析，解出兩個全國綜合性經(jīng)濟拐點和31個分省經(jīng)濟拐點。研究路徑如圖2所示。

五、時間序列回歸法——中國經(jīng)濟增長模型的設(shè)定和解析

(一)數(shù)據(jù)描述和來源

作者采集了2001-2015年中國GDP數(shù)據(jù)，共15個樣本，借助微軟EXCEL電子表格進行預(yù)處理，以備導入EViews計量經(jīng)濟學軟件包。2001-2014年數(shù)據(jù)摘自《中國統(tǒng)計年鑒2015》，2015年引自2016年1月19日國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的2015年經(jīng)濟數(shù)據(jù)(見表1)。GDP數(shù)據(jù)均為當年現(xiàn)值(名義值)，未經(jīng)價格調(diào)整。表中2001-2015年GDP名義增長率以現(xiàn)值直接計算得出，是為了方便對比，不參與模型運算。

表1 中國國內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)

(二)回歸模型設(shè)定和運算結(jié)果

對GDP按年份時間順序繪制描點圖(見圖3)，可以觀察到，2001-2008年形成的曲線明顯向下凸，2009-2015年形成的曲線略向上凸，初步判斷為冪函數(shù)形式。經(jīng)反復(fù)模擬試算和優(yōu)化比對，最終將回歸模型設(shè)定如下：

圖3 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值描點圖

(1)

上列模型是由冪函數(shù)組成的一元三次方程(又稱為多項式)，其中，GDP代表國內(nèi)生產(chǎn)總值，X代表年份時間變量(2001年=1, 2002年=2，…， 2015年=15)，C1，C2，C3，C4為待估系數(shù)，μ為隨機誤差項，代表所有環(huán)境干擾因素，如政策變化、結(jié)構(gòu)變動、統(tǒng)計誤差等。

式(1)對于解釋變量(X)而言不是線性函數(shù)，但對于解釋變量前的系數(shù)來說是線性的?！啊€性回歸’一詞總是指對參數(shù)C為線性的一種回歸(即參數(shù)只是以它的一次方出現(xiàn))；解釋變量X則可以是或不是線性的”[11]。所以式(1)可以應(yīng)用時間序列計量經(jīng)濟學中的普通最小二乘法進行線性回歸。將式(1)輸入EViews軟件包相應(yīng)模塊，以便估算出模型中的待估系數(shù)并給出統(tǒng)計檢驗指標。運算結(jié)果如下(原輸出結(jié)果指標較多，此處選列主要指標)：

表2 時間序列模型回歸結(jié)果摘要

(三)回歸模型擬合優(yōu)度和有效性檢驗

從以上摘要報告可以看出，模型擬合優(yōu)度R2為0.999，表明擬合程度優(yōu)良，換言之，因變量GDP變化的99.9%能夠用等式右邊的冪函數(shù)組合來解釋。所有系數(shù)估值所對應(yīng)的t統(tǒng)計量的絕對值都大于2，伴隨概率P值都小于5%的顯著性水平，表明這些系數(shù)估值在統(tǒng)計上是顯著的，其有效性以此得到驗證。

從模型總體看，F(xiàn)統(tǒng)計量為2461.90，是個相當大的數(shù)字，所對應(yīng)的P值為零，遠遠小于1%的顯著性水平，表明模型總體有效；德賓-沃森(D.W.)統(tǒng)計量為1.605，在5%的顯著性水平上，D.W.檢驗的臨界值上限(Du，樣本數(shù)15，解釋變量1)為1.361，據(jù)此查明模型不存在序列相關(guān)。對模型殘差實施正態(tài)性檢驗，殘差服從正態(tài)分布。異方差檢驗證明模型不存在異方差。因為模型只有一個解釋變量，故不存在多重共線性。以上檢驗[12]表明，所設(shè)模型滿足經(jīng)典計量經(jīng)濟學的假設(shè)條件，模型的系數(shù)估值及方程式總體有效，可以用來進行趨勢分析和預(yù)測。

(四)對回歸模型的數(shù)學分析和解釋

將表2所列系數(shù)估值代入回歸模型(式(1)，保留兩位小數(shù))，形式如下：

GDP=-185.91X3+6234.06X2-14407.50X+124415.60

(2)

以上模型為2001-2015年中國GDP對年份時間序列X的函數(shù)表達式。用EViews對GDP實際發(fā)生數(shù)和函數(shù)表達式回歸值繪制曲線圖如圖4。

從圖4可以觀察到，除個別年份外，通過所設(shè)GDP模型函數(shù)得出的回歸值與GDP實際發(fā)生數(shù)擬合緊密，正如前文所述擬合優(yōu)度達到99.9%，故模型函數(shù)能夠表達2001-2015年期間中國GDP的發(fā)展規(guī)律，可以以此模型為基礎(chǔ)進行數(shù)學解析。對式(2)求二階導數(shù)，結(jié)果如下：

(3)

如本文第三部分所述，原函數(shù)的二階導數(shù)等于零的點，就是該函數(shù)曲線的拐點。由此得出，中國2001-2015年期間GDP拐點出現(xiàn)的時間在2011年。也就是說，2001-2011年期間GDP函數(shù)向下凸，2011-2015年期間GDP函數(shù)曲線向上凸。這意味著以2011年為分界點，2001-2011年期間GDP增速呈現(xiàn)逐年增加趨勢，而2011-2015年期間GDP增速處于逐年降低狀態(tài)。表1所列GDP名義增長率變化趨勢印證了此推導結(jié)論。

圖4 我國GDP實際發(fā)生數(shù)與回歸函數(shù)曲線擬合圖

可以觀察到，2008年國際金融危機發(fā)生，繼之而來的2009年出現(xiàn)GDP增速急速下降的形勢，由于中國大規(guī)模投資振興計劃的實施，2010、2011兩年經(jīng)濟增速回升，隨著邊際投資效益的遞減，2012年之后增速再次下滑?？梢酝茰y出，金融危機后的2009年本應(yīng)是中國經(jīng)濟的拐點，但經(jīng)濟振興計劃的作用將拐點推后了兩年。觀察曲線發(fā)展趨勢，如果“十三五”時期各種環(huán)境因素(如改革創(chuàng)新力度、管理體制、財政經(jīng)濟政策、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)等)不發(fā)生重大變化，則增長規(guī)律就不會受到擾動，這種趨勢還會傳遞下去。

六、面板數(shù)據(jù)回歸法——綜合及分省模型的設(shè)定和解析

(一)數(shù)據(jù)描述和來源

采集31個省市自治區(qū)2001-2015年GDP數(shù)據(jù)構(gòu)成面板數(shù)據(jù)集，共465個樣本觀測值。GDP單位為億元，均為當年值，未經(jīng)價格調(diào)整。其中2001-2004年摘自《中國統(tǒng)計年鑒2006》，年鑒中2001-2003年數(shù)據(jù)為經(jīng)濟普查后修訂的數(shù)據(jù)；2005-2009年摘自《中國統(tǒng)計年鑒2010》，年鑒中2005-2008年數(shù)據(jù)為第二次經(jīng)濟普查后修訂的數(shù)據(jù)；2010-2014年摘自《中國統(tǒng)計年鑒2015》；2015年引自中國經(jīng)濟網(wǎng)(www.ce.cn)2016年1月28日整理發(fā)布的31個省市自治區(qū)2015年GDP排行榜。2015年數(shù)據(jù)是各省市自治區(qū)公布的初步統(tǒng)計數(shù)，雖然與最終核實數(shù)據(jù)會有一定的出入，但預(yù)計誤差很小，對回歸結(jié)果不會帶來顯著影響。因為數(shù)據(jù)量較大，為節(jié)省篇幅，此處不再單獨羅列。需要注意的是，統(tǒng)計年鑒中所載同一年度各省市自治區(qū)GDP之和并不等于中國GDP總量。

(二)綜合面板數(shù)據(jù)回歸——綜合經(jīng)濟增長模型

做此回歸的目的是為了將31個省市自治區(qū)的GDP面板數(shù)據(jù)進行綜合回歸，得到共同的變量系數(shù)，從而求出全國綜合經(jīng)濟拐點，以便與第四部分時間序列回歸法得到的全國經(jīng)濟拐點進行相互印證。仍使用本文第三部分模型(1)作為面板數(shù)據(jù)模型，采用固定效應(yīng)最小二乘虛擬變量回歸方法，將31個省市自治區(qū)的面板數(shù)據(jù)輸入EViews軟件包進行運算，回歸結(jié)果摘要如表3。

表3 固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型回歸結(jié)果摘要

從上表可以看出，模型擬合優(yōu)度R2為0.96，表明擬合優(yōu)良；所有系數(shù)的t統(tǒng)計量在5%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計顯著；F統(tǒng)計量在1%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計顯著，表明模型整體有效。從上表所列結(jié)果，可以得到如下綜合模型表達式(系數(shù)保留兩位小數(shù))：

GDP=-5.81X3+197.41X2-406.21X+4385.13

(4)

對式(4)求二階導數(shù)，結(jié)果如下：

(5)

(三)變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸——分省經(jīng)濟增長模型

上文綜合面板數(shù)據(jù)回歸使用固定不變的變量系數(shù)，可以得到綜合回歸模型系數(shù)，但忽略了31個省市自治區(qū)各自的經(jīng)濟發(fā)展特性，無法得到各自的經(jīng)濟拐點。通過變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸方法，可以求得各省市自治區(qū)各自的變量系數(shù)，從而反映它們各自的經(jīng)濟發(fā)展特征，解出每個橫截面單位的經(jīng)濟拐點。繼續(xù)使用上節(jié)面板數(shù)據(jù)集和模型(1)進行回歸運算。分省經(jīng)濟增長模型之所以使用共同模型，是基于“區(qū)域趨同理論”假設(shè)，即“以正的速率創(chuàng)新的所有國家都將收斂到相同的增長率。[13]”采用變系數(shù)面板數(shù)據(jù)回歸方法，EViews軟件包輸出結(jié)果如表4。

從輸出結(jié)果看，模型擬合優(yōu)度R2為0.999，說明擬合優(yōu)度優(yōu)良；除了貴州X3的系數(shù)外，其他30個省市自治區(qū)的所有系數(shù)在1%的顯著性水平上都表現(xiàn)為統(tǒng)計顯著，說明貴州省的GDP增長規(guī)律不適合使用共同一元三次函數(shù)模型，應(yīng)單獨設(shè)立貴州GDP模型；F統(tǒng)計量在1%的顯著性水平上表現(xiàn)為統(tǒng)計顯著，表明模型整體有效。限于篇幅，上表僅選列了內(nèi)蒙古、貴州和寧夏三個橫截面單位的系數(shù)估值(各省市自治區(qū)系數(shù)估值列于表5)及其對應(yīng)的統(tǒng)計量，其中X的系數(shù)估值(-264.2924)為所有單位所共有，X3和X2的系數(shù)估值為各單位所特有。截距C的估值由兩部分組成，第一部分為所有單位所共有(3623.721)，第二部分(固定效應(yīng)系數(shù))為各單位所特有，兩部分之和即為該單位的完整截距估值。依據(jù)輸出參數(shù)，將各單位對應(yīng)系數(shù)估值代入式(1)，即可得到各個單位獨立模型表達式，比如寧夏GDP模型可做如下表達(系數(shù)保留兩位小數(shù))：

GDPNINGXIA=-10X3+552X2-2649X+(3623.72-2917.88)

(6)

對式(6)求二階導數(shù)，結(jié)果如下：

(7)

表4 變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型回歸結(jié)果摘要

表5 各省市自治區(qū)面板模型輸出結(jié)果、導數(shù)分析及拐點

續(xù)表5

定量定義 及表達式地區(qū) 原函數(shù)模型的變量系數(shù)估值(1)原函數(shù)二階導數(shù)變量系數(shù)(2)二階導數(shù)的解(3)對(3)取整數(shù)(4)GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4(GDP)″=C5X+C6拐點C1C2C3C4C5C6XX江蘇-11.86471.07-264.299178.79-71.15942.1513.2413浙江-11.20344.34-264.297342.31-67.20688.6910.2510安徽-3.18152.43-264.293247.04-19.11304.8615.9515福建-3.45168.16-264.294163.53-20.71336.3216.2416江西-3.34133.20-264.292388.22-20.05266.3913.2813山東-15.15486.83-264.299056.58-90.90973.6510.7110河南-9.39300.55-264.295362.02-56.33601.1010.6710湖北-3.03181.12-264.293776.35-18.18362.2319.9319湖南-3.78190.45-264.293678.92-22.68380.9016.7916廣東-16.84538.26-264.2912242.46-101.051076.5110.6510廣西-3.36133.66-264.292404.79-20.19267.3113.2413海南-1.6654.88-264.29963.14-9.97109.7711.0111重慶-1.81106.42-264.292072.21-10.88212.8319.5619四川-4.81209.71-264.294145.78-28.86419.4114.5314貴州-0.4463.69-264.291615.04-2.62127.3848.6048云南-1.8697.13-264.292472.58-11.19194.2617.3717西藏-1.4140.15-264.29617.91-8.4780.309.489陜西-3.56146.77-264.292004.68-21.35293.5313.7513甘肅-2.5180.34-264.291462.39-15.08160.6910.6610青海-1.7150.75-264.29712.91-10.24101.519.929寧夏-1.9055.92-264.29705.84-11.39111.849.829新疆-2.3688.29-264.291845.72-14.15176.5812.4812

注：表中X代表年份時間變量，2001=1, 2002=2，…，2020=20，即定義域為[1,20].

從表5可以觀察到，經(jīng)濟拐點最早出現(xiàn)的是山西省(2008年)，最晚出現(xiàn)的有湖北省和重慶市(2019年)。貴州省拐點超出了模型定義域，說明本文所設(shè)立的模型不適合描述貴州省經(jīng)濟增長規(guī)律。

七、結(jié)論

(一)經(jīng)濟增長模型

通過反復(fù)試算驗證建立的2001-2015年中國經(jīng)濟增長模型為一元三次函數(shù)，表達式為GDP=C1X3+C2X2+C3X+C4+μ。根據(jù)區(qū)域趨同理論假設(shè)，此模型也可以代表中國30個省市自治區(qū)(不包括貴州省)同時期經(jīng)濟增長規(guī)律?？梢灶A(yù)見，時期不同，樣本容量不同，得到的增長模型表達式將會有所不同。如果按此方法對中國各個時期的GDP數(shù)據(jù)分段設(shè)立模型并解析，將會找到經(jīng)濟波動周期的若干個拐點(時間界限)。本文所使用的經(jīng)濟拐點研究方法，現(xiàn)有文獻中尚未見論及。根據(jù)這種研究方法的特點，可將其概括為“多項式擬合函數(shù)求導法”。

(二)模型表達式和數(shù)學解析結(jié)論

建立了能夠代表經(jīng)濟增長規(guī)律的模型表達式，采集2001-2015年時間序列和面板兩套數(shù)據(jù)集，使用計量經(jīng)濟學軟件分別進行時間序列、綜合面板和變系數(shù)面板三種回歸運算，計算出模型變量所對應(yīng)的系數(shù)估值，得到兩個綜合模型表達式(時間序列模型和面板數(shù)據(jù)模型)和31個分省模型表達式。通過計算模型函數(shù)的二階導數(shù)，解出兩個全國綜合性經(jīng)濟拐點和31個分省經(jīng)濟拐點。兩個綜合模型將中國經(jīng)濟拐點出現(xiàn)的時間均指向2011年，30個省市自治區(qū)拐點出現(xiàn)的區(qū)間在2008-2019年間，貴州省經(jīng)濟拐點不在定義域內(nèi)。通過二階導數(shù)表達式可以驗證，在這些拐點之前的年份，擬合函數(shù)的二階導數(shù)均大于零，說明經(jīng)濟增速呈上升趨勢；而在拐點之后的年份，擬合函數(shù)的二階導數(shù)均小于零，意味著經(jīng)濟增速呈現(xiàn)下降趨勢。

(三)模型的預(yù)測功能

本文建立的經(jīng)濟增長模型較好的擬合了2001-2015年三個五年計劃期的GDP數(shù)據(jù)，擬合優(yōu)度指標R2在96%以上，代表了GDP中短期增長規(guī)律，可以用于預(yù)測未來5年的GDP發(fā)展水平。

[注 釋]

② 二階導數(shù)變量系數(shù)C5=C1×6，C6=C2×2; 二階導數(shù)的解X=(-C6)/C5.

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[責任編輯：安 錦]

Study on the Issue of China’s Economic Inflection Point— An Empirical Analysis on the Basis of Econometrics and Calculus

GOU Xiao-ping

(Ningxia Fiscal Research Center,Ningxia Department of Finance,Yinchuan 750001,China)

Economic inflection point contains significant information of economic development, which is a turning point indicating economic growth changing from upward trend to downward trend. Numerous discussions concerning China’s economic inflection point have been holding among Chinese academic circle and news media, however, conclusions reached vary dramatically. This paper, applying Econometrics and Calculus as basic instruments, has studied China’s GDP pattern on national and provincial level respectively from year 2001 to 2015. An econometric model, which is a univariate cubic equation, tracking China’s economic development vs. time sequence, has been established after a number of trials and tests. According to criterion of convexity of a function, a second derivative is applied to the model; the mathematic analyses reveal the point of inflection of China’s economy between years 2001 to 2015. The result proves that year 2011 is the turning point on which China’s economic growth trending from upward to downward, and that 31 provinces’ economic inflection points vary. If environmental factors which have been influencing China’s economy remain unchanged, the downward trend will pass on to coming 13th “Five-Year-Plan” period.

GDP; economic inflection point; econometrics; calculus

2016-09-08

緱小平(1964-)，男，甘肅天水人，寧夏財政廳財政政策研究中心調(diào)研員，碩士，從事財政政策研究.

F064.1

A

2095-5863(2017)01-0008-10