一類復微分方程無窮級解的角域測度及Borel方向

王金蓮，閔小花，易才鳳

(1.江西師范大學學報雜志社，江西 南昌 330022；2.江西師范大學數(shù)學與信息科學學院，江西 南昌 330022)

一類復微分方程無窮級解的角域測度及Borel方向

王金蓮1，閔小花2，易才鳳2

(1.江西師范大學學報雜志社，江西 南昌 330022；2.江西師范大學數(shù)學與信息科學學院，江西 南昌 330022)

運用亞純函數(shù)的Nevanlinna理論及整函數(shù)的相關理論，研究了復方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0的無窮級解的角域測度及Borel方向.

微分方程；無窮級；測度；虧值；Borel方向

0 引言和主要結果

本文采用亞純函數(shù)Nevanlinna值分布理論的標準記號.[1-2]記亞純函數(shù)f(z)在整個復平面上的增長級為ρ(f)，此外，令0<β-α≤2π，記

Ω(α，β)={z|α0}，

其增長級為

另外，應用文獻[3]給出的如下定義：假設f(z)是ρ(0<ρ<∞)級整函數(shù)，對于某個固定的θ，若ρ(θ)=ρ，則稱Lθ：argz=θ為f(z)的1條ρ級射線，且ρ級射線充滿的角域稱為f(z)的ρ級射線角域(由文獻[3]可知f(z)的ρ級射線角域不會退化為1條射線).

G.G.Gunderson等人指出：若A(z)和B(z)為有限級整函數(shù)且滿足ρ(A)<ρ(B)，則2階微分方程

f″+Af′+Bf=0

(1)

的每個非零解f均為無窮級.在此基礎上，周志進等[4]考慮了當方程(1)的所有非零解f均為無窮級時，以原點為始點的無窮級射線角域問題，得到了：

定理A假設A(z)和B(z)是有限級整函數(shù)且ρ(A)<ρ(B)(1/2≤ρ(B)<∞)，則使得方程(1)的每個非零解f為無窮級的θ，滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(B)，其中θ是由原點出發(fā)的射線的輻角，即滿足argz=θ(0≤θ<2π).

定理B假設A(z)和B(z)是有限級整函數(shù)且ρ(A)<ρ(B)，其中B(z)具有有限條Borel方向和q個有窮虧值.則使得方程(1)的每個非零解f為無窮級的θ滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(B).

關于高階微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0，

(2)

陳宗煊等[5]證明了結果：若Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是整函數(shù)且ρ(Ai)<ρ(A0)，則方程(2)的所有非零解f均為無窮級.關于方程(2)的無窮級解的討論還有不少結果，如文獻[6-12]等.本文研究的問題是：當方程(2)的每個非零解f為無窮級時，以原點為始點無窮級射線的角域測度究竟有多大.另外，受文獻[13-14]關于方程(1)的無窮級解的Borel方向研究的啟發(fā)，還討論了無窮級解的Borel方向，證明了下面2個定理.

定理1假設Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限級整函數(shù)，且

ρ(Ai)<ρ(A0)(1/2<ρ(A0)<∞；i=1，2，…，k-1)，

則使得方程(2)的每個非零解f為無窮級的θ(0≤θ<2π)滿足

mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(A0)，

并且對任意的θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原點發(fā)出的射線Lθ0：argz=θ0均為f的無窮級Borel方向.

另外，當條件改為ρ(Ai)<ρ(A0)(0<ρ(A0)≤1/2;i=1，2，…，k-1)，或者Ai(z)(i=1，…，k-1)是多項式，A0(z)是零級超越整函數(shù)時，則方程(2)的每個非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長級ρθ(f)=∞，并且復平面內由原點發(fā)出的射線均為f的無窮級Borel方向.

定理2假設Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限級整函數(shù)，

ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1;1/2<ρ(A0)<∞)，

并且A0(z)具有p(0

1 幾個引理

引理1[3]若f(z)是級為ρ(1/2≤ρ<∞)的整函數(shù)，那么f(z)至少存在1個ρ級射線角域，并且每個ρ級射線角域的開度不小于π/ρ.

注1若ρ=0.5，則至多除去一條例外，復平面內由原點發(fā)出的射線均是f(z)的ρ級射線.

的θ具有正測度，則方程(2)的每個非零解f滿足ρα β(f)=∞.

引理3[7]設f(z)是復平面上的無窮級亞純函數(shù).則由原點出發(fā)的射線argz=θ為f(z)的1條無窮級Borel方向的充要條件是?ε>0，都有ρθ-ε，θ+ε(f)=∞.

引理4[13]設f(z)為ρ(0<ρ<1/2)級整函數(shù)，則復平面內由原點發(fā)出的射線均為f(z)的ρ級射線.

成立的φ(0≤φ<2π)值構成的集合Ejv的測度mesEjv>K(δ，q，ρ)>0，這里K(δ，q，ρ)是僅依賴于δ，q，ρ的正數(shù).

log|f(Rjeiφ)-a0|<-ηU(Rj)

的φ(0≤φ<2π)構成的集合Ej的測度大于正數(shù)K′(不依賴于j)，則對于充分小的正數(shù)α和大于1的正數(shù)Q(Q<1/4α)，當j充分大時，在區(qū)域Dj：(Rj/Q≤|z|≤QRj)∩(φ1+10α≤argz≤φ2-10α)上，有

mesE{φ|φ1<φ<φ2，log|f(Rjeiφ)-a1|<-ηU(Rj)}>K′，

mesE{φ|φ3<φ<φ4，log|f(Rjeiφ)-a2|<-ηU(Rj)}>K′

成立，則φ3-φ2≥π/ρ，(φ1+2π)-φ4≥π/ρ.

引理8[3]若f(z)為ρ(0<ρ<∞)級整函數(shù)，Lθ：argz=θ是f(z)的任意ρ級射線角域的1條邊界，則Lθ必為f(z)的1條ρ級Borel方向.

引理9[3]有窮正級整函數(shù)f(z)的ρ級Borel方向必位于f(z)的ρ級射線角域內部或邊界上.

引理10[3]設整函數(shù)f(z)的級ρ>1/2，并且f(z)的某一ρ級射線角域G內沒有ρ級Borel方向，則G的開度必為π/ρ.

2 定理的證明

由于ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，則?K>0及?θ∈(α，β)，有

另外，若0<ρ(A0)≤1/2，則由注1及引理4，并運用類似于上面的證法以及整函數(shù)沿徑向上的增長級的定義，即可知方程(2)的每個非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長級ρθ(f)=∞.

若Ai(z)(i=1，…，k-1)是多項式，A0(z)是零級超越整函數(shù)，也用類似于上面的證法可得方程(2)的每個非零解f沿徑向Lθ：argz=θ(?θ∈[0，2π))的增長級ρθ(f)=∞.

由引理3知在以上2種情形下，復平面內由原點發(fā)出的射線均為f的無窮級Borel方向.

對A0(z)，取α使得0<α

再次運用引理6， 則在弧段{Rjeiφ|φm2+10α≤φ≤φm2+1-10α}上有

且根據(jù)引理7知G1與G2不會相鄰.類似于上面的證明， 在G1∪G2內， 下列集合

從而由最大模原理可知A0(z)在每個角域Gv內有界，再由引理7知，由上述q個角域Gv的邊界所構成的另外的q個角域Ωv(v=1，2，…，q)的開度都不小于π/ρ(A0).由引理8和引理9，這q個角域Ωv(v=1，2，…，q)都是A0(z)的ρ(A0)級射線角域.再由ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，則在A0(z)的每個ρ(A0)級射線角域Ωv(v=1，2，…，q)內類似于定理1的證明并運用引理2，即可證明使得方程(2)的每個非零解f為無窮級的θ，滿足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(A0).特別地，當p=2q時，由引理10可知這q個角域Ωv(v=1，2，…，q)的開度都等于π/ρ(A0)，所以在這種情形下上式取等號.

最后，由引理3可知，?θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原點發(fā)出的射線Lθ0：argz=θ0均為f的無窮級Borel方向.

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TheangularmeasureandBoreldirectionofinfiniteordersolutionsofaclasscomplexdifferentialequations

WANG Jin-lian1，MIN Xiao-hua2，YI Cai-feng2

(1.Periodical Office of Journal，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China；2.College of Mathematics and Informatics，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China)

It was investigated that the angular measure and Borel direction of infinite order solutions of linear differential equationsf(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0 by using the Nevanlinna theory and the correlation theory of entire function.

differential equation；infinite order；measure；deficient value；Borel direction

1000-1832(2017)04-0020-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.005

2016-09-28

國家自然科學基金資助項目(11171170).

王金蓮(1963—)，編審，主要從事復分析和編輯學研究.

O 174學科代碼110·34

A

(責任編輯：李亞軍)