“最短路徑問題”課堂教學策略探究

江蘇省南京市梅園中學 趙 霞

“最短路徑問題”課堂教學策略探究

江蘇省南京市梅園中學 趙 霞

一、學情問題分析

1.教學內(nèi)容方面

本節(jié)課的教學內(nèi)容是利用軸對稱研究最短路徑問題——將軍飲馬問題。最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等圖形變換進行研究。

本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”、（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。

2.教學對象方面

（1）認知基礎：在七年級已經(jīng)研究過“兩點之間,線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題以及有關平移的基本知識，在本章的前面，學生也初步掌握了作點關于某直線的對稱點，所有這些內(nèi)容構成了本節(jié)課的認知基礎。

（2）活動經(jīng)驗：通過初中階段一年多的學習，學生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構建的意識，獲得了初步的數(shù)學思維轉化這一數(shù)學活動的經(jīng)驗，具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力。

（3）困難預測：學生在解決“線段和最短”這一問題時缺乏經(jīng)驗，特別是面對具有實際背景的最值問題時更會感到陌生，無從下手。解答“當點A，B在直線l的同側時，如何在直線l上找到點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉化為“直線l的異側的兩點，與l上的點的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉化、怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難。在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法一些學生想不到。

3.教學環(huán)境方面

現(xiàn)在我們?nèi)兴薪淌叶及惭b了電子白板。電子白板良好的交互性以及圖形處理的優(yōu)勢，有利于本節(jié)課中學生的觀察、思考、操作、反思，所以本節(jié)課的備課和授課全部在電子白板上進行。

二、教學目標與重難點分析

教學目標：1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想。2.能將實際問題抽象為數(shù)學問題來解決，體會數(shù)學知識的應用價值。

教學重、難點：經(jīng)歷利用軸對稱，將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題的過程。

三、教學過程實錄（部分）

（一）問題引入

（教師活動） 構建模型：

1.看到課題，回憶學過哪些最短路徑問題？

2.小試身手：如圖，已知點A，B分別是直線l異側的兩個點，如何在直線l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離之和最短？

（學生活動） 學生口答：

（1）兩點之間，線段最短。

（2）直線外一點與直線上各點所連線段中，垂線段最短。

（設計意圖）以學生已經(jīng)學過的知識為起點，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。

（二）合作探究，感悟方法

1.提出問題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地。到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？

白板顯示：

（學生活動）閱讀故事，獨立思考老師提出的問題，嘗試將這個實際問題抽象成數(shù)學問題。

（設計意圖） 由學生代表敘述抽象的過程：將“地點”和“河”分別抽象成“點”和“直線”，把這個最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

將實際問題抽象成數(shù)學問題是解決實際問題的第一步，這個過程的經(jīng)歷和體會，對于其他實際問題的解決同樣具有深遠意義。

2.解決數(shù)學問題

（教師活動）如圖，已知點A，B在直線l的同側。請在直線l上找一點P，使得點P到點A、 B的距離之和最小。

問：（1）能否在直線l下方找到一點B′，滿足對于直線上的任意一點P，都有PB=PB′?（組織學生回憶軸對稱的性質(zhì)）

（2）怎樣畫出點B關于直線l的對稱點B′？

（學生活動）圍繞問題（1）先獨立思考1分鐘，然后小組內(nèi)交流，獨立思考問題（2）后，根據(jù)視頻嘗試敘述對稱點的畫圖過程，在紙上獨立完成畫圖和必要的文字說明。

（設計意圖）通過問題的引導、臺階的搭建，幫助學生逐步將同側問題轉化為異側問題，滲透轉化思想。

3.反思、總結

（教師活動）引導學生獨立反思、總結解決這個問題的思想方法，白板顯示轉化過程和解題關鍵的提煉。

（學生活動）獨立反思、總結解決這個問題的思想方法，并集體交流，補充完整。

（設計意圖）通過引導學生自主反思和總結，使學生養(yǎng)成及時反思的習慣。

4.自主證明

（教師活動）你能用所學的知識證明PA+PB最短嗎？

追問：為什么要在直線l上任取點C（不與點P重合）？

（學生活動）在老師的引導下獨立完成證明過程，并思考老師的追問，然后集體交流。

（設計意圖）讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。

（三）變式訓練

（教師活動）方法遷移：如圖，將射線OD繞點O逆時針旋轉90度。在射線OC、OD上分別確定點P、Q，使線段AP、PQ、BQ的和最小。

（學生活動）獨立思考1分鐘，然后組內(nèi)交流、討論,合作解決。

（設計意圖）適當?shù)淖兪接兄趯W生鞏固方法和進一步內(nèi)化方法。

（四）類比探究

（教師活動）觸類旁通：如圖，P為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。

（學生活動）獨立思考，先將實際問題抽象成數(shù)學問題，再嘗試獨立解決，然后小組內(nèi)討論。

（設計意圖） 讓學生自主經(jīng)歷一個實際問題的解決過程，形成方法的融會貫通。

（五）反思總結

（教師活動）領悟本質(zhì)：組織學生在回放中反思總結。（學生活動）獨立反思，然后交流。

（設計意圖） 進一步體會轉化思想和把握解題關鍵。

四、教學反思與感悟

日本著名數(shù)學教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學，出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學的精神，數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！北竟?jié)課的教學中，不只是讓學生接受一個概念或一種方法，不只是注重數(shù)學形式層面的教學，而是更重視數(shù)學發(fā)現(xiàn)層面的教學，即讓學生在經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學問題和利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題的過程中，去感受建模、轉化的數(shù)學思想。

1.數(shù)學問題生活化

本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，不僅增加了內(nèi)容的趣味性、激發(fā)了學生的求知欲，而且能夠在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學的應用價值。

2.思維方式數(shù)學化

引導學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學問題、將同側問題轉化為異側問題的過程，充分感受建模和轉化思想，逐步形成數(shù)學化的思維方式。

3.啟發(fā)引導問題化

問題設計不是越多越好，杜絕淺層次、指向不明的問題。設計的問題要讓學生真正有所思考，并且可以經(jīng)過思考得到結論。本節(jié)課中，通過一系列緊扣教學目標的問題：“你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？”“能否在直線l下方找到一點B′，滿足對于直線上的任意一點P，都有PB=PB′？“怎樣畫出點B關于直線l的對稱點B′？”“為什么要在直線l上任取點C（不與點P重合）？”逐步引導、啟發(fā)學生找到解決問題的途徑和方法，也有助于學生有序思維的發(fā)展和分析、解決問題能力的提高。

4.內(nèi)容呈現(xiàn)直觀化

借助電子白板，將教學內(nèi)容直觀呈現(xiàn)，同時利用動畫、視頻揭示圖形的演變過程、思維的發(fā)展過程、問題的解決過程、對稱點的作圖過程，使學生大腦里形成清晰的畫面，有助于進一步地理解和內(nèi)化知識。

5.習慣養(yǎng)成常態(tài)化

及時反思是有效學習的重要一環(huán)。養(yǎng)成及時反思的習慣不僅有助于學生知識、方法的內(nèi)化，而且對于學生學力的提高有著深遠的意義。本節(jié)課中十分注重反思習慣的潛移默化，引導學生及時反思抽象的過程、轉化的方法和解題關鍵的提煉。

數(shù)學思想觀念是指用數(shù)學眼光去認識和處理周圍事物或數(shù)學問題，可以培養(yǎng)學生良好的“用數(shù)學”意識，使數(shù)學關系成為學生的一種思維模式。本節(jié)課中，我從引導學生形成數(shù)學思維模式的角度去展開過程性教學，讓學生得到了自主的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的領悟。