加強(qiáng)空間感知 提升想象能力

江蘇省南京市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué) 徐 敏

加強(qiáng)空間感知 提升想象能力

江蘇省南京市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué) 徐 敏

空間幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其著重培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，也是核心素養(yǎng)之一——直觀想象素養(yǎng)最有效的體現(xiàn)。加強(qiáng)空間感知教學(xué)，有助于提高學(xué)生的想象能力，也為其頭腦中建立空間概念奠定基礎(chǔ)。

立體幾何；數(shù)學(xué)；空間感知；直觀想象；空間想象能力

眾所周知，直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大核心素養(yǎng)之一，其要求學(xué)生通過(guò)幾何直觀培養(yǎng)想象能力。在傳統(tǒng)的公理化體系下的歐式幾何中，四大公理托起了整個(gè)立體幾何的大廈，讓我們的空間認(rèn)知全部建立在這個(gè)公理之上，從而形成了空間想象能力。但是近年來(lái)，因?yàn)榭臻g向量的引入已經(jīng)大大降低了學(xué)生對(duì)于立體幾何空間感知的依賴性，在一定程度上降低了思維的難度，也降低了思維的樂(lè)趣。筆者認(rèn)為，空間向量的確可以解決空間幾何問(wèn)題，但是過(guò)于使用其代數(shù)化的本質(zhì)而疏遠(yuǎn)了幾何特征，從而降低了思維含量，這也在近年的高考試卷中體現(xiàn)出命題不斷向傳統(tǒng)公理化方式傾斜，以求不同方法的公正性。

一、三視圖注重感知

三視圖是空間幾何初學(xué)的必備知識(shí)，三視圖將一個(gè)完整的空間幾何結(jié)構(gòu)體用平面圖形完整地展示出來(lái)，其具備了空間幾何平面化的基本思路。對(duì)于學(xué)生而言，特別是偏文類的學(xué)生，其頭腦中基本感知模型欠缺，造成了認(rèn)知的不足。教學(xué)中建議以基本圖形為主，輔以平面和空間的轉(zhuǎn)換，加強(qiáng)空間感知，提升想象能力。

分析：本題是容易題，初學(xué)者對(duì)其的認(rèn)知尚不具備完整的想象，教學(xué)建議從某一圖形出發(fā)，輔以其他視圖進(jìn)行，以提高空間感知。觀測(cè)俯視圖可知，底面圖形以正方形為研究對(duì)象，輔以正視圖中的垂線和側(cè)視圖中的等腰形態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其原幾何體結(jié)構(gòu)是四棱錐，問(wèn)題迎刃而解。

二、對(duì)定理的理解運(yùn)用

空間幾何傳統(tǒng)解決方案中，四大公理是立體幾何大廈的基本，而后平行垂直的八大定理則是空間幾何傳統(tǒng)大廈的支柱。要培養(yǎng)空間感知，恰恰是從各種圖形結(jié)構(gòu)中獲取定理使用的情境，以模型為載體，抽象出定理使用的基本，從而獲取空間想象能力。

問(wèn)題2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心。（1）求證：AA1⊥BC；（2）求直線A1B與平面BCC1B1所成角的大小。

分析：斜棱柱的解決是學(xué)生提升空間想象能力的關(guān)鍵。對(duì)于本題涉及的斜三棱柱來(lái)說(shuō)，我們最想去尋找的依舊是存在于幾何結(jié)構(gòu)體中的線面垂直，思考本題不難發(fā)現(xiàn)，射影恰恰是一種線面垂直。有了這樣的依托，要解決第（1）問(wèn)自然

水到渠成。設(shè)O為△ABC的中心，連接AO，所以BC⊥AO，又AA1⊥BC，所以BC⊥面A1AO，因此BC⊥A1A。

對(duì)于第（2）問(wèn)來(lái)說(shuō)，研究線面角是傳統(tǒng)幾何的常態(tài)，也是熱點(diǎn)問(wèn)題。從公理化體系的解決方式中，我們一般使用兩種方式，其一是獲取斜線在平面中的射影，這一般需要找到線面垂直作為支撐；其二是利用等體積法獲取高度。觀察本題斜三棱柱，因?yàn)橛械冢?）小題的線面垂直支撐，所以從第一種傳統(tǒng)方式入手思考更便捷。取BC、B1C1的中點(diǎn)E、F，連接AE、A1F、EF。由（1）知BC⊥面A1AEF，從而面A1AEF⊥面C1CBB1，在面A1AEF內(nèi)作A1G⊥EF，垂直為G，連接GB，則∠A1BG是直線A1B與平面B1BCC1所成的角。設(shè)A1A=2，在平行四邊形A1AEF中，

本題的線面角求解過(guò)程中的“找——證——算”是典型的傳統(tǒng)方案，對(duì)于學(xué)生而言，最困難的是找！線面角在傳統(tǒng)方法中怎么尋找？前面已經(jīng)講述了兩種常用方式，就第一種方式而言，找到線面垂直的方法又具備一定的模式化：一般來(lái)說(shuō)，往往找斜線與面中某一直線垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明面的垂線。教師還要對(duì)學(xué)生加以合理的命題意圖的引導(dǎo)：一般這種垂直往往在某些線上，不太可能在“荒郊野嶺”，這就鼓勵(lì)學(xué)生大膽往特殊位置上嘗試，從空間感知來(lái)講，這樣的位置是可以實(shí)現(xiàn)的。將線面垂直的判定定理運(yùn)用到具體情境中，體現(xiàn)了定理與現(xiàn)實(shí)抽象的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了想象能力的提高。

總之，加強(qiáng)空間幾何教學(xué)需要進(jìn)一步加強(qiáng)傳統(tǒng)方式的教學(xué)，這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)方式提升了學(xué)生的空間感知，筆者建議教學(xué)首先還是需要關(guān)注傳統(tǒng)方式，而空間向量始終適宜作為傳統(tǒng)公理化教學(xué)的補(bǔ)充，這樣的方式才有助于培養(yǎng)具備合理空間想象能力的學(xué)生，從而獲得直觀想象的素養(yǎng)。

[1]沈恒.浙江七年高考立體幾何自主命題回顧與前瞻[J].數(shù)學(xué)通訊，2010（10）.

[2]薛彬.高中立體幾何改革的回顧與前瞻[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（3）.

[3]戴海林.立體幾何教學(xué)中的轉(zhuǎn)化策略——15年高考閱卷隨想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（11）.