江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳
如何培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型的意識(shí)
江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳
數(shù)學(xué)模型的建立其實(shí)是在大量的題海中觀察、分析、提煉而成的。這個(gè)提煉的過(guò)程就是一個(gè)思考的過(guò)程,沒(méi)有對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的反思,就沒(méi)有數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。運(yùn)用模型的過(guò)程又是一次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全方位思考的過(guò)程,在提煉、運(yùn)用的過(guò)程中需要學(xué)生不斷去反思,這種反思將極大地促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。
本文從蘇州工業(yè)園區(qū)初三期末調(diào)研的一道填空壓軸題說(shuō)起,探討如何在研究一類最值問(wèn)題時(shí)培養(yǎng)學(xué)生幾何模型意識(shí)的建立。
例1 如圖1-1,在正方形ABCD中,AB=3cm,以B為圓心,1cm長(zhǎng)為半徑畫⊙B,點(diǎn)P在⊙B 上移動(dòng)。連接AP,并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP',連接BP',在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中,BP'長(zhǎng)度的最小值
要解決求BP' 的最小值問(wèn)題,必須要知道P'的運(yùn)動(dòng)路線是什么樣的,我們發(fā)現(xiàn),P'是受P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的,P是主動(dòng)點(diǎn),P'是從動(dòng)點(diǎn),可以猜測(cè)P'的路線也是圓上的點(diǎn)。我們不妨先找?guī)讉€(gè)特殊點(diǎn)P,因?yàn)镻是⊙B上的點(diǎn),比如可以找⊙B與直線AB的兩個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)90°得到P'的位置,從而得到點(diǎn)P'的路線是以點(diǎn)D為圓心,1cm長(zhǎng)為半徑的⊙D上的點(diǎn)。這樣“BP'長(zhǎng)度的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中,到過(guò)該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”的問(wèn)題處理,如圖1-2,使BP'距離最小的點(diǎn)的位置即為如圖1-3所示的點(diǎn)。
最值問(wèn)題一直都是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),既可以與幾何模型結(jié)合,也可與函數(shù)模型等結(jié)合,綜合性較強(qiáng),難度較大。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生不能很好地解決此類問(wèn)題,或者說(shuō)對(duì)此類問(wèn)題較生疏,本人覺(jué)得其根本原因還是學(xué)生缺乏軌跡思想這種動(dòng)態(tài)的考慮問(wèn)題的方式。我們來(lái)看一道中考最值問(wèn)題:
例2 (2016淮安)如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值
先研究題目大背景:整個(gè)問(wèn)題在一個(gè)確定的直角三角形背景下,點(diǎn)F是定點(diǎn),點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是主動(dòng)點(diǎn),而點(diǎn)P由點(diǎn)C關(guān)于直線EF翻折而來(lái),是從動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)、確定而確定。再明確目標(biāo):求點(diǎn)P到邊AB的距離的最小值。
為什么會(huì)產(chǎn)生這個(gè)最值呢?AB是條定邊,點(diǎn)P是個(gè)動(dòng)點(diǎn),這才導(dǎo)致了最值的產(chǎn)生.所以問(wèn)題的關(guān)鍵肯定就是動(dòng)點(diǎn)P。接下來(lái),目光鎖定到了動(dòng)點(diǎn)P:既然點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),那么它是怎么運(yùn)動(dòng)的呢?或者說(shuō),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是什么樣的呢?
圖2
圖 2-1
圖 2-2
圖 2-3
圖 2-4
表面來(lái)看,動(dòng)點(diǎn)P是定點(diǎn)C沿著動(dòng)直線EF翻折而來(lái)的,根據(jù)翻折“不變性”,易知PF始終等于CF=2,而點(diǎn)F是個(gè)定點(diǎn),即動(dòng)點(diǎn)P始終被“綁在”離定點(diǎn)F的距離等于2的一條確定的路線上。根據(jù)圓的定義可知,動(dòng)點(diǎn)P一定在以定點(diǎn)F為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖2-1,畫出這個(gè)圓來(lái),當(dāng)然,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線并非整個(gè)圓,而是圓的一部分,即為一段圓弧。這樣,“點(diǎn)P到邊AB距離的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“定⊙F上的點(diǎn)到邊AB距離的最小值”。
其實(shí)上面這個(gè)轉(zhuǎn)化成立也是有前提的:原問(wèn)題中的點(diǎn)P要能夠取到使“定⊙F上的點(diǎn)到邊AB距離的最小值”的⊙F上的點(diǎn)!這一點(diǎn),很多師生比較容易忽視,雖然直觀上確實(shí)能取到,但我覺(jué)得“做數(shù)學(xué)”一定要嚴(yán)謹(jǐn),即便很直觀,也要簡(jiǎn)單驗(yàn)證或者說(shuō)一下,尤其是平時(shí)琢磨題目的過(guò)程中,這是一種好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。
圖2-2給出了“圓上一點(diǎn)到直線距離的最小值”模型,根據(jù)此模型作出圖2-3,則PG即為所求最小值。
借助Rt△ABC和Rt△AFG相似,算出PG=1.2,最后檢驗(yàn)一下這個(gè)P可不可?。褐恍柽^(guò)點(diǎn)P作PE∥AB即可,如圖2-4所示,這樣的點(diǎn)E在BC邊上,故可取。
無(wú)獨(dú)有偶,2014年成都中考也有一道與例2幾乎一模一樣的考題:
如圖3,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN,連接AC,則AC長(zhǎng)度的最小值
同例2的分析如出一轍,由翻折易知△A'M=AM=1為定值,點(diǎn)M是定點(diǎn),故動(dòng)點(diǎn)A'被“綁在”以定點(diǎn)M為圓心,1為半徑的定圓上運(yùn)動(dòng),有了剛才兩道題目的啟發(fā),這道題應(yīng)該可以得心應(yīng)手了。
圖3
上面談到的各個(gè)例題,動(dòng)點(diǎn)的路線都在一段圓(?。┥线\(yùn)動(dòng),初中階段會(huì)接觸到的曲線路線一般是圓或者圓弧,比如旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。當(dāng)然,動(dòng)點(diǎn)也可能在雙曲線或者拋物線上運(yùn)動(dòng),這都屬于曲線路線。
斯滕伯格說(shuō):智力就是學(xué)習(xí)的能力,就是在不熟悉的情境中使用先前發(fā)現(xiàn)的模式和關(guān)系思考并解決問(wèn)題的能力。所以,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,教師要重點(diǎn)關(guān)注的是模式和關(guān)系,通過(guò)總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)的模型,讓學(xué)生在短期內(nèi)迅速領(lǐng)會(huì)并運(yùn)用模型和關(guān)系去解決問(wèn)題,數(shù)學(xué)教師要學(xué)會(huì)用有限的類型去應(yīng)對(duì)無(wú)限的題海,才能真正給學(xué)生減負(fù),給課堂增效。比如在相似教學(xué)時(shí)的“K”型模型以及“K”型的各種變式模型、“A”型相似、“X”型相似、斜截型相似、母子相似等幾何模型。
隨著課程改革推行的深入,初中階段的幾何教學(xué)是課改的重點(diǎn)內(nèi)容。在對(duì)初中幾何數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進(jìn)行探索及創(chuàng)新的過(guò)程中,模型教學(xué)對(duì)幾何數(shù)學(xué)課程改革的意義日漸突顯,充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣與積極性,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度和自主性都得到了明顯加強(qiáng),這不僅順應(yīng)了課程改革的要求,同時(shí)有效提高了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率,是教學(xué)成果顯著提升的制勝法寶。將幾何模型教學(xué)從幾何數(shù)學(xué)學(xué)科推廣至其他學(xué)科的教學(xué)改革實(shí)踐中,具有十分重大的借鑒意義。