如何培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型的意識(shí)

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳

如何培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型的意識(shí)

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)斜塘學(xué)校 孔春芳

數(shù)學(xué)模型的建立其實(shí)是在大量的題海中觀察、分析、提煉而成的。這個(gè)提煉的過(guò)程就是一個(gè)思考的過(guò)程，沒(méi)有對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的反思，就沒(méi)有數(shù)學(xué)模型的產(chǎn)生。運(yùn)用模型的過(guò)程又是一次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全方位思考的過(guò)程，在提煉、運(yùn)用的過(guò)程中需要學(xué)生不斷去反思，這種反思將極大地促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。

本文從蘇州工業(yè)園區(qū)初三期末調(diào)研的一道填空壓軸題說(shuō)起，探討如何在研究一類最值問(wèn)題時(shí)培養(yǎng)學(xué)生幾何模型意識(shí)的建立。

一、問(wèn)題引導(dǎo)、初識(shí)模型

例1 如圖1-1，在正方形ABCD中，AB=3cm，以B為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑畫⊙B，點(diǎn)P在⊙B 上移動(dòng)。連接AP,并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP',連接BP'，在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，BP'長(zhǎng)度的最小值

要解決求BP' 的最小值問(wèn)題，必須要知道P'的運(yùn)動(dòng)路線是什么樣的，我們發(fā)現(xiàn)，P'是受P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，P是主動(dòng)點(diǎn)，P'是從動(dòng)點(diǎn)，可以猜測(cè)P'的路線也是圓上的點(diǎn)。我們不妨先找?guī)讉€(gè)特殊點(diǎn)P，因?yàn)镻是⊙B上的點(diǎn)，比如可以找⊙B與直線AB的兩個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)90°得到P'的位置，從而得到點(diǎn)P'的路線是以點(diǎn)D為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑的⊙D上的點(diǎn)。這樣“BP'長(zhǎng)度的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“平面內(nèi)一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線中，到過(guò)該點(diǎn)和圓心的直線與圓的近交點(diǎn)距離最短、遠(yuǎn)交點(diǎn)距離最長(zhǎng)”的問(wèn)題處理，如圖1-2，使BP'距離最小的點(diǎn)的位置即為如圖1-3所示的點(diǎn)。

二、聯(lián)系中考、強(qiáng)化模型

最值問(wèn)題一直都是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與幾何模型結(jié)合，也可與函數(shù)模型等結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，難度較大。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不能很好地解決此類問(wèn)題，或者說(shuō)對(duì)此類問(wèn)題較生疏，本人覺(jué)得其根本原因還是學(xué)生缺乏軌跡思想這種動(dòng)態(tài)的考慮問(wèn)題的方式。我們來(lái)看一道中考最值問(wèn)題：

例2 （2016淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值

先研究題目大背景：整個(gè)問(wèn)題在一個(gè)確定的直角三角形背景下，點(diǎn)F是定點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是主動(dòng)點(diǎn)，而點(diǎn)P由點(diǎn)C關(guān)于直線EF翻折而來(lái)，是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)、確定而確定。再明確目標(biāo)：求點(diǎn)P到邊AB的距離的最小值。

為什么會(huì)產(chǎn)生這個(gè)最值呢？AB是條定邊，點(diǎn)P是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這才導(dǎo)致了最值的產(chǎn)生.所以問(wèn)題的關(guān)鍵肯定就是動(dòng)點(diǎn)P。接下來(lái)，目光鎖定到了動(dòng)點(diǎn)P：既然點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，那么它是怎么運(yùn)動(dòng)的呢？或者說(shuō)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是什么樣的呢？

圖2

圖 2-1

圖 2-2

圖 2-3

圖 2-4

表面來(lái)看，動(dòng)點(diǎn)P是定點(diǎn)C沿著動(dòng)直線EF翻折而來(lái)的，根據(jù)翻折“不變性”，易知PF始終等于CF=2，而點(diǎn)F是個(gè)定點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)P始終被“綁在”離定點(diǎn)F的距離等于2的一條確定的路線上。根據(jù)圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P一定在以定點(diǎn)F為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖2-1，畫出這個(gè)圓來(lái)，當(dāng)然，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線并非整個(gè)圓，而是圓的一部分，即為一段圓弧。這樣，“點(diǎn)P到邊AB距離的最小值”就被轉(zhuǎn)化為了“定⊙F上的點(diǎn)到邊AB距離的最小值”。

其實(shí)上面這個(gè)轉(zhuǎn)化成立也是有前提的：原問(wèn)題中的點(diǎn)P要能夠取到使“定⊙F上的點(diǎn)到邊AB距離的最小值”的⊙F上的點(diǎn)！這一點(diǎn)，很多師生比較容易忽視，雖然直觀上確實(shí)能取到，但我覺(jué)得“做數(shù)學(xué)”一定要嚴(yán)謹(jǐn)，即便很直觀，也要簡(jiǎn)單驗(yàn)證或者說(shuō)一下，尤其是平時(shí)琢磨題目的過(guò)程中，這是一種好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

圖2-2給出了“圓上一點(diǎn)到直線距離的最小值”模型，根據(jù)此模型作出圖2-3，則PG即為所求最小值。

借助Rt△ABC和Rt△AFG相似，算出PG=1.2，最后檢驗(yàn)一下這個(gè)P可不可?。褐恍柽^(guò)點(diǎn)P作PE∥AB即可，如圖2-4所示，這樣的點(diǎn)E在BC邊上，故可取。

無(wú)獨(dú)有偶，2014年成都中考也有一道與例2幾乎一模一樣的考題：

如圖3，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN，連接AC,則AC長(zhǎng)度的最小值

同例2的分析如出一轍，由翻折易知△A'M=AM=1為定值，點(diǎn)M是定點(diǎn)，故動(dòng)點(diǎn)A'被“綁在”以定點(diǎn)M為圓心，1為半徑的定圓上運(yùn)動(dòng)，有了剛才兩道題目的啟發(fā)，這道題應(yīng)該可以得心應(yīng)手了。

圖3

三、促進(jìn)思維、感悟模型

上面談到的各個(gè)例題，動(dòng)點(diǎn)的路線都在一段圓（?。┥线\(yùn)動(dòng)，初中階段會(huì)接觸到的曲線路線一般是圓或者圓弧，比如旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。當(dāng)然，動(dòng)點(diǎn)也可能在雙曲線或者拋物線上運(yùn)動(dòng)，這都屬于曲線路線。

斯滕伯格說(shuō)：智力就是學(xué)習(xí)的能力，就是在不熟悉的情境中使用先前發(fā)現(xiàn)的模式和關(guān)系思考并解決問(wèn)題的能力。所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要重點(diǎn)關(guān)注的是模式和關(guān)系，通過(guò)總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)的模型，讓學(xué)生在短期內(nèi)迅速領(lǐng)會(huì)并運(yùn)用模型和關(guān)系去解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)教師要學(xué)會(huì)用有限的類型去應(yīng)對(duì)無(wú)限的題海，才能真正給學(xué)生減負(fù)，給課堂增效。比如在相似教學(xué)時(shí)的“K”型模型以及“K”型的各種變式模型、“A”型相似、“X”型相似、斜截型相似、母子相似等幾何模型。

隨著課程改革推行的深入，初中階段的幾何教學(xué)是課改的重點(diǎn)內(nèi)容。在對(duì)初中幾何數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進(jìn)行探索及創(chuàng)新的過(guò)程中，模型教學(xué)對(duì)幾何數(shù)學(xué)課程改革的意義日漸突顯，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣與積極性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度和自主性都得到了明顯加強(qiáng)，這不僅順應(yīng)了課程改革的要求，同時(shí)有效提高了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率，是教學(xué)成果顯著提升的制勝法寶。將幾何模型教學(xué)從幾何數(shù)學(xué)學(xué)科推廣至其他學(xué)科的教學(xué)改革實(shí)踐中，具有十分重大的借鑒意義。