線性方程組的解法概括

沈進(jìn)，喻衛(wèi)

摘要：線性方程組解的存在性和唯一性可以由系數(shù)行列式和系數(shù)矩陣的秩來(lái)判斷。針對(duì)不同情況的線性方程組，它的解法不是唯一的。常使用的方法有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法，選用恰當(dāng)?shù)姆椒〞?huì)簡(jiǎn)化解方程組的過(guò)程。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；線性方程組；系數(shù)矩陣；消元法

中圖分類號(hào)：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）44-0180-03

一、引言

線性方程組是線性代數(shù)的核心內(nèi)容。[1]我們將線性方程組分成齊次和非齊次兩大類，具體線性方程組解的存在性和唯一性是不同的，可以通過(guò)系數(shù)行列式的值與系數(shù)矩陣的秩來(lái)預(yù)判。非齊次線性方程組的解分為三種情況：有解且解唯一、有無(wú)窮多組解、無(wú)解；齊次線性方程組的解分為兩種情況：只有一組零解、有無(wú)窮多組非零解。那么在解方程組過(guò)程中如何選擇正確高效的解法就顯得十分重要，恰當(dāng)?shù)慕夥〞?huì)大大提高解題效率。[2]本文總結(jié)了解線性方程組常用的三種方法，并舉例展示每種方法在具體線性方程組中的計(jì)算過(guò)程。

二、相關(guān)理論

（一）元線性方程組的三種表達(dá)形式

線性方程組有三種表達(dá)形式，分別是一般形式、矩陣形式和向量形式[3]。

1.一般形式。

a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b■……a■x■+a■x■+…+a■x■=b■，其中b■，b■，…b■不全為零時(shí)稱為非齊次線性方程組，b■，b■，…b■全為零時(shí)稱為齊次線性方程組。

2.矩陣形式。

Ax=b，其中A=■，x=（x■ x■ … x■）■，b=（b■ b■ … b■）■

3.向量形式。

α■x■+α■x■+…α■■x■=b，其中α■=（α■ α■ … α■）■，j=（1，2，…，n），b=（b■ b■ … b■）■。

（二）n元線性方程組解的判定

每個(gè)線性方程組的解的情況都是不同的，需要討論解的存在性和唯一性。那么在解具體線性方程組之前應(yīng)該先預(yù)判一下該方程組的解是何種情況，針對(duì)它的解挑選合適的方法。一般可以用系數(shù)行列式的值或系數(shù)矩陣的秩來(lái)判斷線性方程組解的情況。

1.系數(shù)行列式。如果Ax=b的系數(shù)行列式A≠0，則方程組有唯一解；如果Ax=b無(wú)解或解不唯一，則它的系數(shù)行列式A=0；如果Ax=O的系數(shù)行列式A≠0，則方程組只有零解；如果Ax=O有非零解，充要條件是它的系數(shù)行列式A=0。

2.系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩。

Ax=b有唯一解？圳r（A）？搖=r■？搖=n有無(wú)窮多解？圳r（A）？搖=r■？搖

三、n元線性方程組的解法

n元線性方程組的常用的解法有克萊姆法則、逆矩陣法和消元法。其中消元法可解決任意的線性方程組，但只有當(dāng)n元線性方程組的系數(shù)矩陣是階方陣時(shí)才能使用克萊姆法則和逆矩陣法。[4]下面就分別闡述三種解法的具體操作過(guò)程。

（一）克萊姆法則

若n元線性方程組的系數(shù)矩陣是個(gè)方陣（m=n），且A≠0，則線性方程組有唯一解x■=■（j=1，2，…，n），其中A■（j=1，2，…，n）是把A中第j列元素a■，a■，…，a■對(duì)應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)b■，b■，…b■，而其余各列保持不變所得到的行列式。

（二）逆矩陣法

把線性方程組寫成矩陣形式，看成矩陣方程，利用逆矩陣來(lái)解矩陣方程，得到線性方程組的解向量。若Ax=b，x=A■b。

（三）消元法

初高中時(shí)代的消元法就是對(duì)方程組反復(fù)實(shí)施以下三種變換。

1.交換某兩個(gè)方程的位置。

2.用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程的兩邊。

3.將一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去。

以上三種變換稱為線性方程組的初等變換。而消元的目的就是利用方程組的初等變換將原方程組化為階梯型方程組。顯然這個(gè)階梯型方程組與原線性方程組同解。解這個(gè)階梯型方程組的解得原方程組的解。如果用矩陣表示其系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，則將原方程組化為行階梯型方程組的過(guò)程就是將對(duì)應(yīng)矩陣化為行階梯型矩陣的過(guò)程。[5]特別的，我們還可以將一個(gè)一般的行階梯型方程組化為行最簡(jiǎn)型方程組，從而能直接“讀”出該線性方程組的解。因此用消元法解 元線性方程組的過(guò)程，相當(dāng)于對(duì)該方程組的增廣矩陣作初等行變換化成行最簡(jiǎn)型矩陣。

四、應(yīng)用舉例

例1：（系數(shù)矩陣為方陣，且有唯一解）

解三元非齊次線性方程組x■-x■-x■=22x■-x■-3x■=13x■+2x■-5x■=0。

解：矩陣形式Ax=b，其中A=■，x=x■ x■ x■■，b=2 1 0■，

方法一：（克萊姆法則）

A=■=3？搖A■=■=15？搖 A■=■=0？搖 A■=■=9

x■=■=5，x■=■=0，x■=■=3。

方法二：（逆矩陣法）

由于Ax=b，

x=A■b=■■■=■

方法三：（消元法）

■=■ ■

■ ■

■ ■

■

線性方程組的消元過(guò)程等價(jià)于矩陣的初等行變換。解得x■=5x■=0x■=3。

例2：（系數(shù)矩陣不是方陣）求非齊次線性方程組x■+x■+x■+4x■-3x■=12x■+x■+3x■+5x■-5x■=33x■+x■+5x■+7x■-6x■=4的通解。

解：只能使用消元法

（A b）=■→■→■→■

r（A b）=r（A）=3<5，故方程組有無(wú)窮多解。

即得與原方程組同解的方程組

x■=3-2x■+3x■x■=2+x■+4x■x■=-1-x■取x■，x■■=1，0■，0，1■，得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：

ξ■=-2，1，1，0，0■，ξ■=3，4，0，-1，1■（不唯一）令x■=x■=0，得原方程組的特解η■=3，2，0，-1，0■（不唯一）

原方程組的通解x=c■ξ■+c■ξ■+η■（c■，c■為任意實(shí)數(shù)）。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)線性方程組進(jìn)行了分類，并討論方程組的三種一般性解法。不難發(fā)現(xiàn)，在遇到具體線性方程組時(shí)由于它解的存在性和唯一性是不明確的。如果盲目選擇解法可能會(huì)增加不必要的計(jì)算過(guò)程，并且無(wú)法得出真正的全部解。因此我們需要預(yù)先判斷該方程組屬于哪種分類，討論它解的存在與唯一性，針對(duì)不同題型，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?。一般?lái)說(shuō)，當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣是方陣，且有唯一解時(shí)，本文總結(jié)的克萊姆法則、逆矩陣法和消元法均適用。當(dāng)系數(shù)矩陣不是方陣時(shí)，只能使用消元法對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換來(lái)解方程組。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉薇.“生動(dòng)”教學(xué)模式下線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，21（3）：110-113.

[2]田曉娟，王利東.加強(qiáng)線性代數(shù)計(jì)算能力培養(yǎng)的教學(xué)模式探討[J].科教文匯，2015，（6）：43-55.

[3]姜愛平.線性代數(shù)中矩陣章節(jié)基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法探討[J].高師理科學(xué)刊，2016，36（3）：48-51.

[4]吳贛昌.線性代數(shù)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.

[5]劉潔晶，任金忠.線性代數(shù)課程分層教學(xué)探討[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，18（1）：105-109.