“幾何畫板”可以這樣玩

文︳李超貴

“幾何畫板”可以這樣玩

文︳李超貴

幾何畫板作為一款簡單易學(xué)的數(shù)學(xué)軟件，體型小巧卻功能強(qiáng)大，可以為數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)設(shè)一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂，因而受到廣大數(shù)學(xué)教師的青睞。筆者作為一名幾何畫板的忠實(shí)粉絲，也積累了一些使用心得，現(xiàn)略舉一二。

一、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂

我們?yōu)榱双@得某種數(shù)學(xué)結(jié)論、檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類實(shí)際問題時(shí)，可以利用幾何畫板的構(gòu)造、計(jì)算、度量等功能創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)”的環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維積極參與，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，打造探究課堂。

如對(duì)“兩個(gè)三角形中有五個(gè)元素分別相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎？”這個(gè)問題的探究，可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)——

探究1.請構(gòu)造出一對(duì)三角形，它們有五個(gè)元素分別相等，但這兩個(gè)三角形卻不全等；

探究2.這樣的三角形有多少對(duì)？能否找到一般性的構(gòu)造方法？

根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，這五個(gè)元素只可能是三個(gè)角、兩條邊，否則一定是全等的。問題的關(guān)鍵是我們可否構(gòu)造出相應(yīng)的反例。很顯然，圖1所示的一對(duì)三角形有五個(gè)元素分別相等，但它們不全等。

為了進(jìn)一步探究這類三角形，我們可以在幾何畫板中搭建如下實(shí)驗(yàn)平臺(tái)：

第一步，新建參數(shù) k，a（k＞0，a＞0），初始值k=1.200（注意調(diào)節(jié)參數(shù)屬性，使數(shù)值精確度為千分之一，參數(shù)的鍵盤調(diào)節(jié)幅度為0.001），a=2.00；

第二步，計(jì)算 ka，k2a，k3a，并分別畫出長為 a，ka，k2a，k3a的四條線段；

第三步，畫線段AB=a，分別以A，B為圓心，以k2a和ka為半徑畫圓，記其中一個(gè)交點(diǎn)為C，再畫線段DE=ka，分別以D，E為圓心，以k3a和k2a為半徑畫圓，記其中一個(gè)交點(diǎn)為F（如圖2所示）；

圖1

圖2

第四步，改變參數(shù)a，k的值，觀察圖形的變化。

通過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們可以發(fā)現(xiàn)分別以a，ka，k2a和 ka，k2a，k3a為邊的兩個(gè)三角形是符合條件的，它們是一對(duì)相似三角形，k是它們的相似比，用這種方法可以構(gòu)造出無數(shù)多組這樣的三角形。

那么，是否對(duì)于任意的參數(shù)a，k都可以構(gòu)造出滿足條件的一對(duì)三角形呢？通過實(shí)驗(yàn)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一對(duì)三角形構(gòu)造出來后，僅改變a的值，只是改變一對(duì)三角形的大小。但當(dāng)參數(shù)a固定，參數(shù)k變化到某個(gè)范圍之外時(shí)，三角形并不存在（如圖3、圖 4所示）。

圖3

圖4

通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的進(jìn)一步思考，我們發(fā)現(xiàn)分別以 a，ka，k2a和 ka，k2a，k3a 為邊構(gòu)造三角形還需要滿足三角形三邊的一個(gè)基本關(guān)系，那就是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。由此我們不難得到

二、輔助問題解決，促進(jìn)命題創(chuàng)新

一些數(shù)學(xué)問題看起來可能很棘手，找不到解決的突破口，但利用幾何畫板先做一些定性的分析，往往會(huì)打開思路，甚至?xí)幸恍┏鋈艘饬系陌l(fā)現(xiàn)。再通過定量計(jì)算或設(shè)計(jì)，就可以達(dá)到命題創(chuàng)新的目的。

如長沙市2017年中考試卷中有這樣一道選擇題：如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的一點(diǎn)H重合（H不與端點(diǎn)C，D重合），折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，邊AB折疊后與邊BC交于點(diǎn)G，設(shè)正方形 ABCD的周長為 m，的值為（ ）。

圖5

本題若要通過計(jì)算手段找到△CHG的周長與正方形ABCD的周長間的關(guān)系并不簡單，但如果用測量等實(shí)驗(yàn)手段找到答案并不困難。在幾何畫板中，選擇正方形ABCD邊CD上的動(dòng)點(diǎn)H，構(gòu)造出題中圖形，測量出△CHG的周長值，再拖動(dòng)點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)測量值不改變，說明△CHG的周長并不隨點(diǎn)H位置的變化而變化。再測量出正方形ABCD的周長，并計(jì)算△CHG的周長與正方形ABCD的周長的比，結(jié)果為0.5（如圖6所示）。

圖6

實(shí)際上，過點(diǎn)A作AL⊥GH于點(diǎn)L，容易證得 Rt△ADHRt△ALH，Rt△ABGRt△ALG，于是DH=LH，BG=LG，這說明△CHG的周長等于BC+CD，恰好就是正方形ABCD的周長的一半。

在上面的問題中，△CHG的周長是一個(gè)不變量，由 Rt△ADHRt△ALH，Rt△ABGRt△ALG不難發(fā)現(xiàn)∠GAH的大小也是一個(gè)不變量（45°）。當(dāng)然也有許多量隨著H點(diǎn)位置的變化而變化，如四邊形EFKH的面積，那么它的變化有什么規(guī)律呢？利用幾何畫板可以做進(jìn)一步探索。

如圖7所示，先度量出DH的距離x，四邊形EFKH 的面積 S，依次選擇 x，S，在“繪圖”菜單中繪制點(diǎn) P（x，S），再選擇點(diǎn) H，在“構(gòu)造”菜單中選擇“軌跡”，得到一個(gè)S關(guān)于x的函數(shù)圖像，直觀反映出四邊形EFKH的面積S隨H點(diǎn)位置變化的規(guī)律。分析圖像特征，可以斷定這是一個(gè)二次函數(shù)的圖像。類似地，我們還可以研究四邊形EFKH的周長、△AGH的面積，等等。

圖7

通過上面的實(shí)驗(yàn)探究、定性分析，接下來做一些定量計(jì)算，我們可以設(shè)計(jì)一組新的問題：

如圖8所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)H為正方形CD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) C、點(diǎn) D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)A落在H處，點(diǎn)B落在K處，折痕為EF，連接AH。

圖8

（1）求證：∠AHD=∠AEF；

（2）求證：△CHG的周長為定值；

（3）設(shè)DH的長為x，四邊形EFKH的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由。

（4）當(dāng)點(diǎn)H移動(dòng)時(shí)，設(shè)△DEH的周長為L1，△KGF的周長為L2，判斷L1+L2是否為定值，為什么？

（5）設(shè)DH的長為x，△DEH的面積為S1，△KGF的面積為S2，S0=S1+S2，求出S0與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S0是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由。

有了前面的實(shí)驗(yàn)手段作定性分析，再通過合情推理、定量計(jì)算，解決上面這組問題并不困難，讀者不妨嘗試一下，或許還有更多的發(fā)現(xiàn)。

幾何畫板是我們數(shù)學(xué)老師的好幫手，只要我們細(xì)心琢磨，還會(huì)玩出更多的花樣。特別是我們把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)的時(shí)候，它的魅力會(huì)激發(fā)我們獲得更多的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。

（作者單位：長沙市雨花區(qū)教育科學(xué)研究所）