期望損失的后驗(yàn)分析

杜在超，Juan Carlos Escanciano

(1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理研究院，四川 成都 610074；2.美國(guó)印第安納大學(xué)文理學(xué)院經(jīng)濟(jì)系，布魯明頓 47405)

【編者按】 量化市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于期權(quán)定價(jià)、投資、金融監(jiān)管和風(fēng)險(xiǎn)管理具有重要意義。而風(fēng)險(xiǎn)量化的關(guān)鍵在于選擇科學(xué)的評(píng)估指標(biāo)和工具。本期《財(cái)經(jīng)研究》“海外歸來(lái)”欄目翻譯了西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理研究院杜在超教授和美國(guó)印第安納大學(xué)Juan Carlos Escanciano教授在ManagementScience2017年第4期合作發(fā)表的論文“BacktestingExpectedShortfall:Accountingfortailrisk”。①原文版權(quán)歸屬I(mǎi)NFORMS(http://www.informs.org)，譯文已獲得原文的中文翻譯版權(quán)。中文譯文中出現(xiàn)的錯(cuò)誤INFORMS概不負(fù)責(zé)，中文譯文文責(zé)作者自負(fù)。我們感謝張棟浩在中文譯稿中的大力幫助。Management Science是管理類(lèi)國(guó)際頂級(jí)期刊。杜在超教授于2010年獲得印第安納大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位，2010年8月回國(guó)任教，2015年被評(píng)為教育部首屆青年長(zhǎng)江學(xué)者，主要研究領(lǐng)域包括金融計(jì)量和應(yīng)用計(jì)量。該文首次提出了期望損失模型的后驗(yàn)分析方法，填補(bǔ)了金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的一個(gè)空白，也可為國(guó)內(nèi)金融機(jī)構(gòu)和學(xué)者提供借鑒和參考。

期望損失的后驗(yàn)分析

杜在超1，Juan Carlos Escanciano2

(1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理研究院，四川 成都 610074；2.美國(guó)印第安納大學(xué)文理學(xué)院經(jīng)濟(jì)系，布魯明頓 47405)

巴塞爾委員會(huì)已經(jīng)批準(zhǔn)用期望損失(ExpectedShortfall，ES)作為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)對(duì)銀行業(yè)進(jìn)行監(jiān)管，以替代現(xiàn)有的在險(xiǎn)價(jià)值指標(biāo)(Value-at-Risk，VaR)。這主要是因?yàn)槠谕麚p失滿足風(fēng)險(xiǎn)度量應(yīng)該滿足的性質(zhì)，而在險(xiǎn)價(jià)值則不滿足。在這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程中，金融機(jī)構(gòu)面臨的主要困難是沒(méi)有工具可以用來(lái)評(píng)估期望損失模型，即后驗(yàn)分析，而本文則提出了一套簡(jiǎn)單的ES后驗(yàn)分析工具。具體而言，我們基于累積碰撞序列(CumulativeViolations)構(gòu)造了一套ES模型的檢驗(yàn)方法，該方法是對(duì)VaR后驗(yàn)分析的自然推廣。我們推導(dǎo)出了該檢驗(yàn)的漸進(jìn)分布性質(zhì)，并且通過(guò)蒙特卡洛模擬研究了它們的有限樣本表現(xiàn)。通過(guò)將該方法應(yīng)用于全球三大股票指數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，在2007年金融危機(jī)期間，VaR模型無(wú)法識(shí)別出金融危機(jī)時(shí)期與正常時(shí)期市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)模型的差異，而ES模型則可以。

風(fēng)險(xiǎn)管理；期望損失；后驗(yàn)分析；尾部風(fēng)險(xiǎn)；在險(xiǎn)價(jià)值

一、引 言

市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的量化是學(xué)者和金融機(jī)構(gòu)普遍感興趣的問(wèn)題，這對(duì)于期權(quán)定價(jià)、投資組合以及風(fēng)險(xiǎn)管理都非常重要。20世紀(jì)90年代以來(lái)，度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的主要指標(biāo)是在險(xiǎn)價(jià)值(VaR，Value-at-Risk)(Jorion，2006；Christoffersen，2009)。VaR描述了在給定置信水平的情況下，一個(gè)投資組合可能遭受的最大損失。盡管VaR概念簡(jiǎn)單、計(jì)算方便，但是它卻不是一個(gè)很好的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。VaR沒(méi)有考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)，它僅僅告訴我們?cè)跊](méi)有發(fā)生尾部事件時(shí)的最大損失，但沒(méi)有指出尾部事件發(fā)生時(shí)可能遭受的損失大小。VaR也存在其他的缺陷，包括不滿足次可加性(Artzner等，1997，1999；Acerbi和Tasche，2002)和凸性(Basak和Shapiro，2001)。期望損失(ES，ExpectedShortfall)克服了上述VaR的缺陷，是一種滿足“一致性”的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，ES計(jì)算了超過(guò)給定置信水平的損失的平均值。*ES其他名稱包括：條件VaR、平均VaR、尾部VaR或者平均尾部損失。在2012年5月3日的巴塞爾協(xié)議III中，巴塞爾委員會(huì)明確地提出要逐步淘汰VaR，并采用ES作為替代指標(biāo)。但是，使用ES作為度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的主要指標(biāo)面臨的一大挑戰(zhàn)是，沒(méi)有工具對(duì)ES進(jìn)行評(píng)估(Yamai和Yoshiba，2002，2005；Kerkhof和Melenberg，2004)。本文的主要目的就是提供這樣的評(píng)估工具。

我們提出的方法主要是基于下面的觀察。對(duì)每個(gè)置信水平而言，如果VaR模型是設(shè)定正確的，中心化的碰撞序列(投資組合損失超過(guò)VaR與否)應(yīng)該是一個(gè)鞅差序列(Berkowitz, Christoffersen和Pelletier，2011)。如果在左側(cè)尾部的置信區(qū)間內(nèi)求取中心化碰撞序的積分，也可以形成一個(gè)鞅差序列，我們把它叫做“累積碰撞序列”。就像ES是左側(cè)尾部VaR的積分一樣，累積碰撞序列是對(duì)左側(cè)尾部所有碰撞序列的積分。因此，我們可以通過(guò)檢驗(yàn)累積碰撞序列是否為鞅差序列來(lái)檢驗(yàn)ES模型(Escanciano和Lobato，2009a)。具體而言，我們提出了一種Box-Pierce形式的檢驗(yàn)(Box和Pierce，1970)。我們的Box-Pierce檢驗(yàn)是對(duì)以往文獻(xiàn)關(guān)于VaR條件后驗(yàn)分析的自然推廣(Christoffersen，1998；Berkowitz, Christoffersen和Pelletier，2011)。同樣地，我們基于累積碰撞序列的t檢驗(yàn)是對(duì)VaR無(wú)條件后驗(yàn)分析的自然推廣(Kupiec，1995)。 McNeil和Frey(2000)、Berkowitz(2001)、Kerkhof和Melenberg(2004)、Wong(2008，2010)以及Acerbi和Szekely(2014)曾提出了ES的無(wú)條件后驗(yàn)分析方法，而本文是第一個(gè)提出ES條件后驗(yàn)分析方法的文章。*眾所周知，對(duì)常用的模型(比如說(shuō)，濾波歷史模擬法)而言，條件后驗(yàn)分析比無(wú)條件后驗(yàn)分析更有檢驗(yàn)力(Escanciano和Pei，2012)。但是出于完整性考慮，我們也報(bào)告了無(wú)條件后驗(yàn)分析的結(jié)果。

我們對(duì)ES的后驗(yàn)分析考慮了有礙參數(shù)估計(jì)對(duì)檢驗(yàn)的影響。已有文獻(xiàn)對(duì)VaR或ES預(yù)測(cè)的估計(jì)誤差進(jìn)行了廣泛研究，包括Christoffersen和Goncalves(2005)、Gourieroux和Zakoian(2013)以及Francq和Zakoian(2015)。Escanciano和Olmo(2010)研究了VaR后驗(yàn)分析存在的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)ES后驗(yàn)分析的文獻(xiàn)，只有Kerkhof和Melenberg(2004)在對(duì)無(wú)條件后驗(yàn)分析進(jìn)行歷史模擬時(shí)考慮了估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。與Escanciano和Olmo(2010)類(lèi)似，我們從理論和模擬上證明了，當(dāng)樣本內(nèi)觀測(cè)沒(méi)有比樣本外觀測(cè)大很多的時(shí)候，忽略估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)給ES后驗(yàn)分析帶來(lái)極大的Size扭曲(sizedistortions)。為了解決該局限性，我們提出了修正的后驗(yàn)分析，該方法充分考慮了估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，并通過(guò)蒙特卡洛模擬證明了穩(wěn)健性。

本文想傳達(dá)的主要信息是，與大多數(shù)學(xué)術(shù)和非學(xué)術(shù)文獻(xiàn)相反，ES后驗(yàn)分析并沒(méi)有比VaR后驗(yàn)分析困難很多。*我們的觀點(diǎn)與Kerkhof and Melenberg(2005)、Acerbi和Szekely(2014)相同。并且，Acerbi和Szekely(2014)討論了對(duì)ES做后驗(yàn)分析的可能性，以及闡述了“誘發(fā)性”(Elicitability)的概念。我們提出的后驗(yàn)分析很容易執(zhí)行，是對(duì)VaR后驗(yàn)分析方法的自然推廣，也可以作為巴塞爾委員會(huì)建議的內(nèi)部模型方法的工具箱，因此可謂是一個(gè)可以更好捕捉尾部事件的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量與評(píng)估。

本文余下內(nèi)容安排如下。第二部分介紹本文常用的表達(dá)符號(hào)，以及后驗(yàn)分析所涉及的基本內(nèi)容。第三部分我們提出新的無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析，并求解它們的漸進(jìn)性質(zhì)。第四部分通過(guò)蒙特卡洛模擬研究后驗(yàn)分析的有限樣本表現(xiàn)。第五部分采用金融危機(jī)后的日度數(shù)據(jù)，將本文提出的后驗(yàn)分析應(yīng)用于三大主要股票指數(shù)，包括標(biāo)普500、德國(guó)DAX指數(shù)以及恒生指數(shù)。實(shí)證結(jié)果顯示，VaR對(duì)金融危機(jī)期間的極端事件的反應(yīng)較為遲鈍，而ES則提供了尾部風(fēng)險(xiǎn)的準(zhǔn)確描述。第六部分總結(jié)全文。附錄是本文的數(shù)學(xué)證明。

二、累積碰撞序列

Pr(Yt≤-VaRt(α)|Ωt-1)=α

(1)

也就是說(shuō)，-VaRt(α)是累積分布函數(shù)G在α分位點(diǎn)的取值，VaRt(α)=-G-1(α,Ωt-1)=-inf{y:G(y,Ωt-1)≥α}。

定義時(shí)刻t，置信水平α?xí)r的碰撞序列是ht(α)=1(Yt≤VaRt(α))，其中，1(.)是示性函數(shù)。當(dāng)t時(shí)刻的損失大于等于VaRt(α)時(shí)，示性函數(shù)取值1，否則取值0。(1)式的含義是碰撞序列是一個(gè)均值為α的伯努利變量，并且對(duì)于每一個(gè)α∈[0,1]，中心化的碰撞序列(centeredviolations)都是鞅差序列，即對(duì)每一個(gè)α∈[0,1]，都有E[ht(α)-α|Ωt-1]=0。

ESt(α)=E[-Yt|Ωt-1,-Y>VaRt(α)]

(2)

通過(guò)條件概率以及變量轉(zhuǎn)換，可以將ESt(α)表達(dá)為VaRt(α)的一個(gè)函數(shù)：

(3)

為了計(jì)算方便，定義ut=G(Yt,Ωt-1)。采用ht(u)=1(Yt≤-VaRt(u))=1(ut≤u)，我們可以得到：

(4)

三、ES后驗(yàn)分析

在本節(jié)，我們提出ES的后驗(yàn)分析方法。ES的無(wú)條件后驗(yàn)分析是一個(gè)簡(jiǎn)單的t檢驗(yàn)，原假設(shè)是E[Ht(α,θ0)]=α/2，該檢驗(yàn)是Kupiec(1995)提出的VaR無(wú)條件后驗(yàn)分析的推廣。ES條件后驗(yàn)分析是一個(gè)Box-Pierce檢驗(yàn)，這也是Christoffersen(1998)和Berkowitz等(2011)提出的VaR條件后驗(yàn)分析的自然推廣。我們首先研究了一般后驗(yàn)分析方法(考慮了估計(jì)風(fēng)險(xiǎn))的漸進(jìn)分布，并且證明了不考慮估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)可能會(huì)導(dǎo)致極大的size扭曲。繼而，我們又提出了對(duì)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)穩(wěn)健的修正后驗(yàn)分析方法。

(一)一般無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析

然后，采用時(shí)間長(zhǎng)度為n的樣本外觀測(cè){Y1,Ω0,…,Yn,Ωn-1}來(lái)評(píng)估ES模型(后驗(yàn)分析)。我們的后驗(yàn)分析是基于累積碰撞序列的估計(jì)值。

ES的無(wú)條件后驗(yàn)分析是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的t檢驗(yàn)，原假設(shè)是H0u:E(Ht(α,θ0))=α/2。

注釋1：類(lèi)似于Escanciano和Olmo(2010)，我們?cè)诙ɡ?的證明中量化了參數(shù)估計(jì)效應(yīng)，具體為：

附錄B中給出了RES的詳細(xì)表達(dá)式，包括在一般的位置尺度模型中的具體表達(dá)式。λ=0是定理1的特殊情況，即樣本內(nèi)觀測(cè)顯著大于樣本外觀測(cè)。當(dāng)λ=0時(shí)，UES服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的極限分布，無(wú)條件后驗(yàn)分析的推論將會(huì)極大簡(jiǎn)化。

推論1在定理1 的假設(shè)下以及λ=0，UES→dN(0,1)。

接下來(lái)，我們討論ES的條件后驗(yàn)分析。原假設(shè)是H0c:E[Ht(α,θo)，α/2|Ωt-1]=0，

(6)

至于無(wú)條件后驗(yàn)分析，CES(m)的漸進(jìn)分布不僅依賴于λ，還依賴于其他的未知量。

(7)

(8)

δij是克羅內(nèi)克函數(shù)(Kroneckerdeltafunction)，該函數(shù)在i=j時(shí)取值1，否則取值0。{Zj}是服從獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量。

從定理2可知，CES(m)服從一個(gè)加權(quán)的卡方極限分布。該權(quán)重是Rj的函數(shù)，因?yàn)榕cYt的分布有關(guān)。但當(dāng)λ=0時(shí)，也就是πj=1(對(duì)于任意的j=1,…,m)，CES(m)就服從標(biāo)準(zhǔn)極限分布。

綜上可知，當(dāng)λ=0時(shí)，本文提出的無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析在零假設(shè)下具有標(biāo)準(zhǔn)極限分布；但當(dāng)λ>0時(shí)，它們不再具有標(biāo)準(zhǔn)極限分布。這說(shuō)明，除非T顯著大于n(比如T=2500，n=250)，否則基于標(biāo)準(zhǔn)分布臨界值的基本檢驗(yàn)不能控制第一類(lèi)錯(cuò)誤(Type-Ierror)。為了避免發(fā)生該問(wèn)題，我們提出對(duì)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)穩(wěn)健的修正后驗(yàn)分析。

(二)修正的無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析

在本節(jié)，我們提出修正的后驗(yàn)分析方法，該方法明確考慮了估計(jì)效應(yīng)(estimationeffect)，并且對(duì)于任意的λ(0≤λ<∞)都有標(biāo)準(zhǔn)極限分布。定理1給出了無(wú)條件后驗(yàn)分析(式5)的估計(jì)效應(yīng)表達(dá)式，據(jù)此我們提出如下的修正檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

從定理1和定理2可知，無(wú)論λ取何值，修正的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量MUES和MCES(m)都服從標(biāo)準(zhǔn)極限分布。

如推論1和推論2所示，一般檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量只在λ=0時(shí)具有標(biāo)準(zhǔn)極限分布；而推論3和推論4表明，穩(wěn)健的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)任意的0≤λ<∞都具有標(biāo)準(zhǔn)極限分布。

四、蒙特卡洛模擬

我們采用常用的AR(1)-GARCH(1,1)設(shè)定Yt的真模型(原假設(shè))，此時(shí)VaR和ES的表達(dá)式是：

(9)

Yt數(shù)據(jù)生成過(guò)程的原假設(shè)和備擇假設(shè)如下，

H0：AR(1)-GARCH(1,1)模型，

(10)

A1：TAR模型，Yt=atYt-1+vt,vt=σtεt

A3：AR(1)-ARCH(2)模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=σtεt

A4：AR(1)-EGARCH(1,1)模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=htεt

A5：AR(1)-StochasticVolatility模型，Yt=0.05Yt-1+vt,vt=htεt

A6：AR(1)-GARCH(1,1)并且具有混合正態(tài)殘差項(xiàng)，Yt與(10)式相同，

除非被另外設(shè)定，在這些模型中{εt}～iidt5。Escanciano和Velasco(2010)、Escanciano和Olmo(2010)采用了類(lèi)似的模型。A1和A2中的條件均值沒(méi)有被正確設(shè)定，A3、A4和A5中的條件方差沒(méi)有被正確設(shè)定，A6中則是誤差項(xiàng){εt}的分布沒(méi)有被正確設(shè)定。

表1-9匯報(bào)了在5%顯著性水平下各檢驗(yàn)的實(shí)證size和size-correctedpowers。*Size：犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率，即在原假設(shè)為真的情況下，拒絕了原假設(shè)；Power：不犯第二類(lèi)假設(shè)的概率，即在原假設(shè)為假的情況下，拒絕了原假設(shè)。與前文理論一致，當(dāng)T較小時(shí)，估計(jì)效應(yīng)導(dǎo)致基本檢驗(yàn)存在嚴(yán)重的size扭曲(犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的可能性很高)；但當(dāng)T很大時(shí)(比如，T=2 500)，size扭曲的程度顯著下降。除了VaR的條件后驗(yàn)分析MCVaR(5)存在一些過(guò)度拒絕的情形外，修正的后驗(yàn)分析在T很小時(shí)仍可以得到滿意的size。因?yàn)樵谖膊看嬖诤苌俚挠^測(cè)值，所以ESt(0.025)和VaRt(0.01)后驗(yàn)分析的size扭曲程度最大。對(duì)于給定的樣本內(nèi)觀測(cè)T，修正的ES后驗(yàn)分析MUES和MCES(5)的size表現(xiàn)，隨著樣本外觀測(cè)n從250增加到500而顯著改善，這與基本檢驗(yàn)的結(jié)論相反。

由于小樣本T存在size扭曲，我們匯報(bào)了size-correctedpowers。其中，ES的無(wú)條件后驗(yàn)分析很好地識(shí)別了備擇假設(shè)A2和A6，條件后驗(yàn)分析對(duì)備擇假設(shè)A1和A6具有最大的檢驗(yàn)效能(Power值最大)，對(duì)備擇假設(shè)A2-A5也具有一定的檢驗(yàn)效果。在絕大多數(shù)情況下，CES(5)和MCES(5)有著比CVaR(5)和MCVaR(5)更大的檢驗(yàn)效能(Power值更大)。最后，MUES和MCES(5)的檢驗(yàn)效能隨著樣本外觀測(cè)n的增加而變大，說(shuō)明了這些檢驗(yàn)對(duì)備擇假設(shè)而言是滿足一致性的。當(dāng)模型的殘差項(xiàng)服從其他分布時(shí)，比如說(shuō)時(shí)變高階距的Hansen-Skewed-t分布，也可以得到一致的結(jié)論。*限于篇幅，沒(méi)有匯報(bào)這些模擬結(jié)果，讀者如有興趣，可以向作者索取。

蒙特卡洛模擬的主要結(jié)論如下。當(dāng)T很小時(shí)(T=250)，基本后驗(yàn)分析存在顯著的size扭曲，但這些扭曲會(huì)隨著T的增加而顯著下降(T=2 500)。與之相比，修正的后驗(yàn)分析對(duì)T的取值具有穩(wěn)健性。由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量需要根據(jù)模型和估計(jì)量去修正，size的改善會(huì)導(dǎo)致計(jì)算成本的增加。所以，我們建議大家在樣本內(nèi)觀測(cè)T很大時(shí)(T=2 500，n=250)采用基本后驗(yàn)分析方法，在樣本內(nèi)觀測(cè)T較小時(shí)(T=250，n=250)采用修正的后驗(yàn)分析方法。

模擬檢驗(yàn)結(jié)果也說(shuō)明了，無(wú)條件后驗(yàn)分析和條件后驗(yàn)分析是互補(bǔ)的，而不是替代的。因此，我們建議在實(shí)踐中同時(shí)使用兩種后驗(yàn)分析方法。模擬結(jié)果也顯示，相比于VaR的檢驗(yàn)，基于ES的檢驗(yàn)效能更好。在本文下一節(jié)，我們將采用2007年金融危機(jī)期間三大股指的真實(shí)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步驗(yàn)證我們的結(jié)論。

表1 顯著性水平5%，T=250，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的實(shí)證拒絕率

表2 顯著性水平5%，T=250，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的實(shí)證拒絕率

表3 顯著性水平5%，T=250，ESt(0.025)和VaRt(0.01)的實(shí)證拒絕率

表4 顯著性水平5%，T=500，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的實(shí)證拒絕率

表5 顯著性水平5%，T=500，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的實(shí)證拒絕率

表7 顯著性水平5%，T=2 500，ESt(0.1)和VaRt(0.05)的實(shí)證拒絕率

表8 顯著性水平5%，T=2 500，ESt(0.05)和VaRt(0.025)的實(shí)證拒絕率

表9 顯著性水平5%，T=2 500，ESt(0.025)和VaRt(0.01)的實(shí)證拒絕率

五、實(shí)證應(yīng)用

我們通過(guò)采用2007年金融危機(jī)期間全球三大股票指數(shù)，來(lái)檢驗(yàn)ES作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)證結(jié)果顯示，VaR后驗(yàn)分析方法在金融危機(jī)時(shí)期不能拒絕常規(guī)風(fēng)險(xiǎn)模型(殘差項(xiàng)服從Student-t分布的AR(1)-GARCH(1,1)模型)；但本文提出的ES后驗(yàn)分析方法能夠在金融危機(jī)時(shí)期顯著拒絕常規(guī)風(fēng)險(xiǎn)模型。我們的實(shí)證結(jié)果補(bǔ)充了Kourouma等(2011)及O’Brien和Szerszen(2014)的研究，他們分別以金融危機(jī)期間的股票指數(shù)和美國(guó)五大銀行為研究對(duì)象，評(píng)估了傳統(tǒng)后驗(yàn)分析的表現(xiàn)。為與之對(duì)比，我們將比較傳統(tǒng)VaR后驗(yàn)分析和本文ES后驗(yàn)分析的表現(xiàn)。*重復(fù)本文實(shí)證應(yīng)用的R code，可以通過(guò)Run My Code網(wǎng)站獲得(http://www.runmycode.org/)。

具體而言，本文采用S&P500指數(shù)、DAX指數(shù)以及恒生指數(shù)的日度數(shù)據(jù)展開(kāi)分析。數(shù)據(jù)通過(guò)finance.yahoo.com獲得，時(shí)間期限是1997.1.1-2009.6.30。表10從樣本內(nèi)和樣本外兩個(gè)時(shí)間段對(duì)三大股指進(jìn)行了描述統(tǒng)計(jì)，樣本內(nèi)時(shí)間是1991.1.1-2007.6.30，樣本外時(shí)間是金融危機(jī)期間的2007.7.1-2009.6.30。概括地講，股票指數(shù)呈現(xiàn)了尖峰后尾和波動(dòng)率聚集的特點(diǎn)，并且這些特點(diǎn)在金融危機(jī)期間尤為明顯。表10顯示，三大股指的超額峰度取值都很大，特別是1997年亞洲金融危機(jī)導(dǎo)致了恒生指數(shù)的超額峰度最大。圖1顯示，三大股指的對(duì)數(shù)收益率存在波動(dòng)率聚集現(xiàn)象，金融危機(jī)期間股指收益的波動(dòng)更為明顯，尤其是標(biāo)普500指數(shù)在2008.7 -2009.3期間幾乎下降了一半。在2001-2003年期間，由于911恐怖襲擊和股市處于整體下行的階段，S&P500指數(shù)和DAX指數(shù)具有很大的波動(dòng)。香港恒生指數(shù)則在1997年末經(jīng)歷了明顯的波動(dòng)。

表10 三大股指對(duì)數(shù)收益(%)的描述性統(tǒng)計(jì)

圖1 三大股指的日均對(duì)數(shù)收益率

表11 條件極大似然估計(jì)(CMLE)

圖2-4分別繪制了S&P500指數(shù)、DAX指數(shù)以及恒生指數(shù)的VaR(0.05)和ES(0.1)估計(jì)結(jié)果。從中可知，-ES(0.1)要小于-VaR(0.05)。當(dāng)Yt低于-VaR(0.05)時(shí)，-ES(0.1)更加接近真實(shí)的Yt。以2008年9月15日為例，當(dāng)天雷曼兄弟破產(chǎn)，S&P500指數(shù)下降4.83%，模型估計(jì)出的VaR(0.05)是1.82%，ES(0.1)則是2.65%，所以ES估計(jì)值更加接近真實(shí)損失。S&P500指數(shù)收益在2007.7.1-2009.6.30期間共有504個(gè)觀測(cè)值中，其中41個(gè)觀測(cè)值小于-VaR(0.05)。在這41個(gè)觀測(cè)值中，S&P500指數(shù)的平均損失是3.82%，VaR(0.05)的平均值是2.79%，而ES(0.1)的平均值則是3.07%。另外，還有11個(gè)觀測(cè)值小于-ES(0.1)，S&P500指數(shù)的平均損失是3.76%，VaR(0.05)的平均值是3.13%，而ES(0.1)的平均值則是3.20%。因此，ES比VaR更好地描述了極端損失，通過(guò)DAX和恒生指數(shù)也可以得到類(lèi)似結(jié)論。

圖2 S&P 500指數(shù)的對(duì)數(shù)收益以及VaR和ES估計(jì)值

圖3 DAX指數(shù)的對(duì)數(shù)收益以及VaR和ES估計(jì)值

圖4 恒生指數(shù)的對(duì)數(shù)收益以及VaR和ES估計(jì)值

表12 違背的描述統(tǒng)計(jì)：危機(jī)前與危機(jī)后

圖5 金融危機(jī)期間三大股指的累積違背

總之，基于VaR的后驗(yàn)分析，我們會(huì)認(rèn)為正常時(shí)期建立的風(fēng)險(xiǎn)模型在金融危機(jī)發(fā)生后也是適用的，并且據(jù)此計(jì)算的存款準(zhǔn)備金也是足夠的。但是，如果采用ES度量風(fēng)險(xiǎn)，本文提出的后驗(yàn)分析方法可以明確地拒絕正常時(shí)期的風(fēng)險(xiǎn)模型。我們的實(shí)證分析證實(shí)了ES相比于VaR更具備理論優(yōu)勢(shì)(Artzer等，1997，1999)，并且該理論優(yōu)勢(shì)也可以在市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的后驗(yàn)分析中獲得經(jīng)驗(yàn)證據(jù)。本文基于累積碰撞序列提出的一套后驗(yàn)分析方法，不僅有助于評(píng)估金融損失發(fā)生的可能性，也有助于發(fā)現(xiàn)金融損失的規(guī)模大小。

表13 ES和VaR后驗(yàn)分析的p值

注：U是基本的無(wú)條件后驗(yàn)分析，MU是穩(wěn)健的無(wú)條件后驗(yàn)分析，C(5)是m=5的基本條件后驗(yàn)分析，MC(5)是m=5的穩(wěn)健條件后驗(yàn)分析。

圖6 三大股指的t(0.025)樣本自相關(guān)

圖7 三大股指的t(0.01)樣本自相關(guān)

六、結(jié) 論

盡管大量的理論證據(jù)表明，ES作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)比VaR更具有優(yōu)越性，但是直到最近金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管者才開(kāi)始采用ES替換VaR。在這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程中，一大挑戰(zhàn)是沒(méi)有工具可以用來(lái)評(píng)估ES模型(即，后驗(yàn)分析)。本文通過(guò)累積碰撞序列構(gòu)建ES的無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析，這也是基于碰撞序列對(duì)VaR進(jìn)行后驗(yàn)分析的自然推廣。但與碰撞序列不同，累積碰撞序列包括了尾部風(fēng)險(xiǎn)的信息，為風(fēng)險(xiǎn)提供了更加完整的描述。

本文提出了基本的無(wú)條件和條件后驗(yàn)分析方法和對(duì)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)保持穩(wěn)健性的經(jīng)修正的后驗(yàn)分析方法。無(wú)條件后驗(yàn)分析采用t檢驗(yàn)對(duì)累積碰撞序列的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，條件后驗(yàn)分析采用基于累積碰撞序列的Box-Pierce檢驗(yàn)。同時(shí)，我們也建議大家采用累積碰撞序列的圖形和自相關(guān)系數(shù)作為補(bǔ)充工具。在具體應(yīng)用中，實(shí)踐者需要對(duì)條件后驗(yàn)分析做出兩個(gè)選擇，分別是置信水平α和自相關(guān)階數(shù)m。對(duì)于ES，我們建議選擇α等于0.1、0.05或0.025，不建議取更小的值，因?yàn)榇藭r(shí)需要很大的樣本外觀測(cè)才能對(duì)有限樣本得到滿意的漸進(jìn)分布性質(zhì)。關(guān)于自相關(guān)階數(shù)的選擇，我們選取了m=5。當(dāng)然，一個(gè)合理的做法是通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法選擇m(Escanciano和Labato，2009b)。該種方法在其他環(huán)境下被證明可以獲得可靠的推論，它也可以用于本文情形中，從而以較小的計(jì)算成本獲得數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的ES后驗(yàn)分析。

[1]Acerbi C, Tasche D. On the coherence of expected shortfall[J]. Journal of Banking & Finance, 2002, 26(7):1487-1503.

[2]Acerbi C, Szekely B. Backtesting expected shortfall [N]. Risk Magazine, 2014.

[3]Artzner P, Delbaen F, Eber M., et al. Thinking coherently [J]. Risk, 1997, 10:68-71.

[4]Artzner P, Delbaen F, Eber M., et al. Coherent measures of risk [J]. Mathematical Finance,1999, 9(3):203-228.

[5]Bai J. Testing parametric conditional distributions of dynamic models[J]. Review of Economics and Statistics, 2003, 85(3): 531-549.

[6]Basak S, Shapiro A. Value-at-risk based risk management: Optimal policies and asset prices [J]. Review of Financial Studies, 2001, 14(2):371-405.

[7]Basel Committee on Banking Supervision. Consultative document: Fundamental review of the trading book [R]. Basel, Switzerland,2012.

[8]Berkowitz J. Testing density forecasts with applications to risk management [J]. Journal of Business and Economic Statistics, 2001, 19(4):465-474.

[9]Berkowitz J, Christoffersen P, Pelletier D. Evaluating value-at-risk models with desk-level data [J]. Management Science, 2011, 57(12): 2213-2227.

[10]Bose A. Bahadur representation of mestimates [J]. Annals of Statistics, 1998, 26(2):771-777.

[11]Box G, Pierce D. Distribution of residual autocorrelations in autoregressive integrated moving average time series models [J]. Journal of American Statistical Association, 1970, 65(332):1509-1527.

[12]Christoffersen P. Evaluating interval forecasts [J]. International Economic Review, 1998, 39(4):841-862.

[13]Christoffersen P, Goncalves P.Estimation risk in financial risk management [J]. Journal of Risk, 2005, 7(3):1-28.

[14]Christoffersen P.Value-at-risk models [M]. Handbook of Financial Time Series, 2009.

[15]Colletaz G, Hurlin C, Perignon C. The risk map: A new tool for validating risk models [J]. Journal of Banking and Finance, 2013, 37(10):3843-3854.

[16]Du Z. Nonparametric bootstrap tests for the independence of generalized errors [R]. CAEPR Working Paper No. 023-2009, 2015.

[17]Emmer S, Kratz M, Tasche D. What is the best risk measure in practice? A comparison of standard measures [R]. ESSEC Business School: Paris, France, 2014.

[18]Escanciano J.Weak convergence of non-stationary multivariate marked processes with applications to martingale testing [J]. Journal of Multivariate Analysis, 2007, 98(7):1321-1336.

[19]Escanciano J, Lobato I. Testing the martingale hypothesis [M]. Palgrave Handbook of Econometrics，2009a.

[20]EscancianoJ, Lobato I.An automatic portmanteau test for serial correlation[J]. Journal of Econometrics, 2009b, 151(2):140-149.

[21]Escanciano J, Olmo J. Backtesting parametric value-at-risk with estimation risk [J]. Journal of Business and Economic Statistics, 2010, 28(1):36-51.

[22]Escanciano J, Velasco C. Specification tests of parametric dynamic conditional quantiles [J]. Journal of Econometrics, 2010, 159(1):209-221.

[23]Escanciano J, Pei P. Pitfalls in backtesting historical simulation models [J]. Journal of Banking and Finance, 2012, 36(8):2233-2244.

[24]Francq C, Zakoian J.Risk-parameter estimation in volatility models [J]. Journal of Econometrics, 2015, 184(1):158-173.

[25]Gourieroux C, Zakoian J.Estimation-adjusted VaR [J]. Econometric Theory, 2013, 29(4):735-770.

[26]Hansen B.Autoregressive conditional density estimation [J]. International Economic Review, 1994, 35(3):705-730.

[27]Hong Y, Lee T. Diagnostic checking for adequacy of linear and nonlinear time series models [J]. Econometric Theory, 2003, 19(6):1065-1121.

[28]Hong Y, Li H. Nonparametric specification testing for continuous-time modelswith applications to term structure of interest rates [J]. The Review of Financial Studies, 2005, 18(1):37-84.

[29]Hurlin C, Tokpavi S. Backtesting value-at-risk accuracy: A simple new test [J]. Journal of Risk, 2007, 9(9):19-37.

[30]Jorion P. Value at risk: The new benchmark for managing financial risk [M]. New York：McGraw-Hill，2006.

[31]Kerkhof J, Melenberg B. Backtesting for risk-based regulatory capital [J].Journal of Banking and Finance, 2004, 28(8):1845-1865.

[32]Kourouma L, Dupre D, Sanfilippo G, et al. Extreme value at risk and expected shortfall during financial crisis [R]. Working Paper, 2011.

[33]Kupiec P. Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models [J]. The Journal of Derivatives, 1995, 3(2):73-84.

[34]McNeil A, Frey R. Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series: An extreme value approach [J]. Journal of Empirical Finance, 2000, 7(3/4):271-300.

[35]O’Brien J, Szerszen P. An evaluation of bank VaR measures for market risk during and before the financial crisis [R]. FEDS Working Paper No. 2014-21, 2014.

[36]Perignon C, Smith D. A new approach to comparing VaR estimation methods[J]. Journal of Derivatives, 2008, 16(2):54-66.

[37]Rosenblatt M. Remarks on a multivariate transformation [J]. Annals of Mathematical Statistics, 1952, 23:470-472.

[38]Shiryaev A. Probability [M]. New York:Springer，1996.

[39]van der Vaart A, Wellner J.Weak convergence and empirical processes[M]. New York:Springer，1996.

[40]Wong W.Backtesting trading risk of commercial banks using expected shortfall [J]. Journal of Banking & Finance, 2008, 32(7):1404-1415.

[41]Wong W.Backtesting value-at-risk based on tail losses [J]. Journal of Empirical Finance, 2010, 17(3):526-538.

[42]Wu W.M-estimation of linear models with dependent errors [J]. Annals of Statistics, 2007, 35(2):495-521.

[43]Yamai Y, Yoshiba T. Comparative analyses of expected shortfall and value-at-risk: Their estimation error, decomposition, and optimization [J]. Monetary and Economic Studies, 2002, 20(3):87-122.

[44]Yamai Y, Yoshiba T. Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(4):99-115.

附錄A：假設(shè)

本節(jié)介紹檢驗(yàn)方法所需的假設(shè)和一些公式。我們首先介紹一些符號(hào)。||·||表示歐幾里德范數(shù)，C表示各個(gè)表達(dá)式中的一般常數(shù)，可以隨表達(dá)式而變化。

(A.1)

假設(shè)A0：給定信息集Ωt-1，Yt的條件分布是G(·,Ωt-1,θ)。

假設(shè)A3：信息截尾(informationtruncation)的影響要滿足，

假設(shè)A4：Ft(θ,x)關(guān)于θ和x∈[0,1]連續(xù)可微，并且關(guān)于vφ也幾乎肯定連續(xù)可微，

其中，A0在文獻(xiàn)中常用，它假設(shè)模型是正確設(shè)定的。該假設(shè)也可以放松到如下形式，但不會(huì)改變本文的理論。P(Yt≤y|Ωt-1)=G(y,Ωt-1,θ0) for ally≤G-1(α,Ωt-1,θ0)。

假設(shè)A1是為了闡述的方便。我們的結(jié)果，可以擴(kuò)展到一些非平穩(wěn)和非遍歷性的序列中(Escanciano，2007)。大多數(shù)常用的估計(jì)量可以滿足假設(shè)A2，比如(擬)極大似然估計(jì)量和廣義距估計(jì)量(Bose，1998；Wu，2007)。假設(shè)A3是信息截取的影響，由于很久之前的觀測(cè)數(shù)據(jù)不可獲得，所以產(chǎn)生了信息截取問(wèn)題。很多有限二階距的時(shí)間序列模型都可以滿足假設(shè)A3，包括平穩(wěn)不可逆的ARMA過(guò)程、GARCH過(guò)程等等(Bai，2003；Hong和Li，2003)。馬爾科夫過(guò)程則不需要該假設(shè)。假設(shè)A4是為了滿足某些實(shí)證過(guò)程和大數(shù)定律的漸進(jìn)同等連續(xù)性。

附錄B：估計(jì)效應(yīng)(EstimationEffect)的表達(dá)式

Yt=μt+σtεt

(B.1)

(B.2)

其對(duì)應(yīng)的可行估計(jì)是，

類(lèi)似地，對(duì)修正的VaR后驗(yàn)分析而言，我們有：

附錄C：證明

證明定理A1：首先考慮沒(méi)有信息截尾的情況。

如果G僅僅依賴于有限階滯后的Yt和Xt，則不存在信息截尾的情形?？梢詮腅scanciano和Olmo(2010)定理1的證明中得到類(lèi)似的論據(jù)。在假設(shè)A0-A2以及A4下，

因此，

因此，

注意，等式右側(cè)第一項(xiàng)依分布收斂于N(0,vφ)，并且前兩項(xiàng)的協(xié)方差為零，因?yàn)榈谝豁?xiàng)是針對(duì)樣本外觀測(cè)的式子，第二項(xiàng)是針對(duì)樣本內(nèi)觀測(cè)的式子。從而完成了定理A1的證明。

其次，考慮信息存在截尾的情形。

定理1、推論1以及推論3的證明，可以直接從定理A1中得出。

接下來(lái)，我們證明一般化的定理2，為此我們需要如下引理。定義，

引理A1：在假設(shè)A0-A4下，我們有：

引理A1是Du(2015)定理1的一個(gè)特殊情形，所以省略此處的證明。

其中，Rj見(jiàn)下式，δij是克羅內(nèi)克函數(shù)，δij在i=j時(shí)取值1，否則取值0。

(C.1)

證明定理A2：首先考慮沒(méi)有信息截尾的情形。

如果G僅僅依賴于有限階滯后的Yt和Xt，則不存在信息截尾的情形。注意，

通過(guò)引理1和引理2可得，

(C.2)

其中，

(C.1)式定義了Rj。由假設(shè)A4可對(duì)上式進(jìn)行期望與積分互換，分部積分原理參見(jiàn)Shiryaev(1996，pp.206)。

然后，我們可得出，

接下來(lái)，我們考慮存在信息截尾的情形。

通過(guò)證明可知，上式中的第一項(xiàng)是op(1)。因?yàn)椋?/p>

推論2和推論4可從定理2得出。

BacktestingExpectedShortfall:AccountingforTailRisk

Du Zaichao1，Juan Carlos Escanciano2

(1.ResearchInstituteofEconomicsandManagement,SouthwesternUniversityofFinanceandEconomics,Chengdu610074,China；2.DepartmentofEconomics,IndianaUniversity,BloomingtonIN47405,USA)

The Basel Committee on Banking Supervision(BIS)has recently sanctioned Expected Shortfall(ES)as the market risk measure to be used for banking regulatory purposes, replacing the well-known Value-at-Risk(VaR). This change is motivated by the appealing theoretical properties of ES as a measure of risk and the poor properties of VaR. In particular, VaR fails to control for “tail risk”. In this transition, the major challenge faced by financial institutions is the unavailability of simple tools for evaluation of ES forecasts(i.e. backtesting ES). The main purpose of this article is to propose such tools. Specifically, we propose backtests for ES based on cumulative violations, which are the natural analogue of the commonly used backtests for VaR. We establish the asymptotic properties of the tests, and investigate their finite sample performance through some Monte Carlo simulations. An empirical application to three major stock indexes shows that VaR is generally unresponsive to extreme events such as those experienced during the recent financial crisis, while ES provides a more accurate description of the risk involved.

risk management; expected shortfall; backtesting; tail risk; Value-at-Risk.

F830.91；F830.99

A

1001-9952(2017)12-0074-26

10.16538/j.cnki.jfe.2017.12.006

2017-06-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(71401140)；the Spanish Plan Nacional de I+D+I (ECO2014-55858-P)

杜在超(1980-)，男，山東煙臺(tái)人，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理研究院教授；

Juan Carlos Escanciano(1975-)，男，美國(guó)印第安納大學(xué)經(jīng)濟(jì)系教授。

(責(zé)任編輯 石 頭)