數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

摘要：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)這一門學(xué)科主要是解決數(shù)與形的問題。數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科，在解題的過程中需要學(xué)生掌握多種解題方法，這樣才能將數(shù)學(xué)知識掌握到位。其中利用數(shù)形結(jié)合的思想解決高中數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常運用的方法之一。本文就主要研究了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，也希望學(xué)生能夠掌握這種方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；解題；高中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)不是單純地學(xué)習(xí)數(shù)這一概念，如果只是學(xué)習(xí)數(shù)字，那么數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就相當(dāng)枯燥。在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是相結(jié)合的，它們是數(shù)學(xué)中兩個最基本、最古老的元素，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。所有的數(shù)學(xué)問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，簡言之，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來加以考查來處理數(shù)學(xué)問題的方法，稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

函數(shù)本身就是帶有圖像的，因此在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中就是將數(shù)與形的完美結(jié)合。有些學(xué)生對于圖形的作用理解得不夠深刻，所以在一些函數(shù)問題上不能將函數(shù)問題向圖形轉(zhuǎn)化，對于圖形的學(xué)習(xí)仍有欠缺。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，對于函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域等都利用了圖形來解決問題。

例如：已知方程x2-4x+3=m有4個根，求實數(shù)m的取值范圍。

此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程的根的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點的個數(shù)問題來解決。

解：方程x2-4x+3=m根的個數(shù)問題就是函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點的個數(shù)。作出拋物線y=x2-4x+3=（x-2）2-1的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸翻折上去，得到y(tǒng)=x2-4x+3的圖象，再作直線y=m，

如圖所示：由圖象可以看出，當(dāng)0

二、 數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)不等式中，只是靠單純的解題很容易將其中的取值范圍漏掉，此時利用圖像就可以將每種可能取值的范圍考慮到，能夠保證解題的正確性。不等式可以單獨存在又可以將不等式融入到函數(shù)以及解析幾何中。

例如：設(shè)f（x）和g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0且g（-3）=0，求不等式f（x）g（x）<0的解集。

解：根據(jù)以上特點，不妨構(gòu)造F（x）=f（x）g（x），符合題意的函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的圖像（如圖所示），由圖直接觀察出所求解集是（-∞，-3）∪（0，3）。

三、 解三角形中圖形結(jié)合的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，三角形的知識屬于學(xué)習(xí)的重點，因此要想提高數(shù)學(xué)成績就要將解三角形的能力提高。三角形的相關(guān)知識它不是單獨存在的，它可以結(jié)合圓的知識以及函數(shù)的相關(guān)知識來出題，所以在學(xué)習(xí)的過程中要注重對三角形知識圖形結(jié)合的學(xué)習(xí)。

例如：（1）設(shè)f（x）=sinxcosx-cos2（x+π/4），求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A/2）=0，a=1，求△ABC面積的最大值。

其中將第一問的解題過程省略掉，直接看第二問的解題思路。因為在這一問屬于解三角形的題，并且能夠利用圖形結(jié)合的形式來解題，體現(xiàn)圖形結(jié)合的思想。

由題意，sinA=1/2，a=1，A=π/6，且△ABC的外接圓直徑為a/sinA=2。如圖，取BC=1，其中A1C，A2B為外接圓直徑，據(jù)題意頂點A在A1AA2（不包括端點）上運動。要使△ABC的面積最大，即點A在A1A2的中點，從而求出△ABC面積的最大值，這道題的解題思路雖然比較常規(guī)，但是利用圖形結(jié)合的方式就能更加直觀形象地將答案一目了然地解出來并且能夠做到不遺漏。

四、 求點到線的距離中圖形結(jié)合的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中，其教學(xué)重點除了函數(shù)以及三角函數(shù)以外，解析幾何中求點到線的距離也是教學(xué)重點。點到線的距離在一些特殊情況下也分為多種情況，這種題一般都會出在填空中，因為很多學(xué)生在做填空題時都會為了節(jié)省時間從而忽略了畫圖像。在這種情況下就很容易丟分。

例如：已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值。

解：因為SPACB=2S△PAC=2·12·|PA|·|AC|=|PA|=PC2-1要使面積最小，只需PC最小，如圖，即定點C到定直線上動點P距離最小即可，即點C（1，1）到直線3x+4y+8=0的距離，而d=|3·1+4·2+8|32+42=3，所以（SPACB）min=32-1=22。

如果將這道題直接解是不容易解出，但是如果運用圖形結(jié)合的方式就能夠容易很多，并且方法還會變得更加簡潔。

五、 結(jié)語

在數(shù)學(xué)的教育思想中要求將數(shù)與形都要掌握并且能夠靈活運用。高中數(shù)學(xué)是以板塊將高中的知識做以區(qū)分，圖形結(jié)合思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的每一個板塊。所以教師在教學(xué)的過程中要將數(shù)形結(jié)合思想完全地滲透到教學(xué)中才能夠引起學(xué)生的重視，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)成績才能得到有效的提高，為高考奠定堅實的基礎(chǔ)。學(xué)生在實際的學(xué)習(xí)中也要注重對圖形結(jié)合解題方法的應(yīng)用，這樣才能從根本上解決數(shù)學(xué)難題，增強自身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，最終實現(xiàn)提高數(shù)學(xué)成績的目標(biāo)。

參考文獻：

[1]岳妹霖.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中學(xué)習(xí)中的應(yīng)用研究[J].考試周刊，2017，（71）.

[2]張維芳.例談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2017，（04）.

作者簡介：

柴明明，安徽省六安市，六安市第二中學(xué)河西校區(qū)。