數(shù)學(xué)在天然腸衣搭配上的應(yīng)用

楊晶晶+歐冰

摘 要 通過先丈量所有原料，再建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)軟件求出模型的最優(yōu)解，從而得出一套原料搭配的最優(yōu)方案，并顯著提高腸衣加工公司的生產(chǎn)效率。

關(guān)鍵詞 目標(biāo)函數(shù) LINGO 最優(yōu)解

中圖分類號：O232 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Application of Mathematics in the Mix of Natural Casings

YANG Jingjing， OU Bing

（Zhongshan Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528404）

Abstract By measuring all the ingredients first， then create a mathematical model， the optimal solution using mathematical software model to arrive at the optimal solution of a mix of materials， and significantly improve the efficiency of the company's production casing processing.

Key words objective function； LINGO； optimal solution

1 提出問題

在腸衣加工廠，工人依靠邊丈量原料長度邊心算方式，將腸衣清洗并整理分割成長度不同的原材料，最后按指定根數(shù)和總長度扎成捆做成成品出售。

原材料分割后依據(jù)不同長度分檔，隔0.5米為一檔，在該檔位所有長度的腸衣原料，按照該檔位中最低長度計(jì)算。腸衣加工幾種常見成品的規(guī)格表（見表1），工人以米的單位來丈量，第三種規(guī)格的最大長度在14米到26米之間（不包括14和26米）。腸衣加工廠建立以某批次原料描述的一個(gè)原料描述表（見表2）。目的是通過先丈量所有原料，后通過內(nèi)部的計(jì)劃和商討改變組裝工藝，設(shè)計(jì)出一個(gè)原料搭配的最優(yōu)方案，工人能根據(jù)這個(gè)優(yōu)化方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)，并能提高該公司的生產(chǎn)效率。

表1 成品規(guī)格表

2 問題分析，模型建立

可以看出腸衣加工公司提出該問題的目的是為了提高生產(chǎn)效率。而生產(chǎn)效率的提高，可以通過改變成品的扎捆方式和提高成品的均勻性、原料的使用率、工人的工作效率等方面來實(shí)現(xiàn)該公司生產(chǎn)效率的提高。若要得到的成品捆數(shù)最多，考慮到最短長度最長成品越多越好，原料有剩余降級使用的情況，所以需從第三種規(guī)格考慮，先求出第三種規(guī)格的能扎捆成的最大捆數(shù)，得到剩余量，再將剩余的降級到第二種規(guī)格中，求出第二規(guī)格中能扎捆成的最大捆數(shù)，再得到剩余量并以此類推即可。

結(jié)合相關(guān)資料，我們知道總長度允許有€？.5米的誤差，我們在建立目標(biāo)函數(shù)的時(shí)候，每種規(guī)格都分別按每捆88.5米、89米、89.5米來建立函數(shù)。對于任意的一批材料，為了使成品的捆數(shù)最多，建立第三規(guī)格的成品捆數(shù)最大值： = + + 為了使目標(biāo)函數(shù)更加清晰，讓工人更好地按照方案來“照方抓藥”，我們首先把不同扎捆方式的總捆數(shù)（ =1表示每捆長88.5米， =2表示每捆長89米， =3表示每捆長89.5米）分別表示出來，并可由數(shù)學(xué)軟件lingo來求解得出 = 132， = 5，= 0或者 = 137， = 0， = 0。

第三種規(guī)格的目標(biāo)函數(shù)：

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 88.5

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89.5

從求解結(jié)果可知，能得到的總捆數(shù)為137捆。在根據(jù)原料描述表我們可查找到：14.5米到14.9米間余留1根和19.5米到19.9米間余留1根，也就是說第三規(guī)格降級到第二規(guī)格在13.5米到13.9米間的有2根； 14.米到14.5米間余留1根和21.5米到21.9米間余留1根，也就是說同樣第三規(guī)格降級到第二規(guī)格在13.5米到13.9米間的有2根，所以用兩個(gè)解除的需降級的都為2根，降到13.5米到13.9米區(qū)間加上原來的25根，一共有腸衣27根。

類似地，我們可以建立第二種規(guī)格以及第一種規(guī)格的目標(biāo)函數(shù)，并由lingo得出結(jié)果：第二種規(guī)格 = 37， = 0， = 0 。即求得第二規(guī)格的總捆數(shù)為37捆。在與原材料表對比后發(fā)現(xiàn)在，7米到7.4米間余留24根；7.5米到7.9米間余留24根；8米到8.4米間余留8根；8.5米到8.9米間余留1根；12米到12.4米間余留1根；12.5米到12.9米間余留1根；13米到13.4米間余留1根；總共60根。也就是說第二規(guī)格降級到第一規(guī)格在6.5米到6.9米間的有60根，降到6.5米到6.9米區(qū)間加上原來的21根，一共有腸衣81根。endprint

對于第一規(guī)格，我們在設(shè)計(jì)模型的時(shí)候考慮到第一規(guī)格剩余量不再降級使用，對此，我們要在第一規(guī)格實(shí)行利用率最大化，減少企業(yè)的浪費(fèi)程度。為更全面地考慮問題，我們把方程放入管理運(yùn)籌學(xué)軟件以及l(fā)ingo中分別進(jìn)行求解，得到的最佳結(jié)果為：第一規(guī)格的總捆數(shù)為19捆。那么原料表中裝出的成品捆數(shù)最大值為：

= + + + + + + + + = 193（捆）

3 模型的評價(jià)

在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，要充分考慮到目標(biāo)函數(shù)的各項(xiàng)約束條件。比如說，各個(gè)未知數(shù)均大于0。特別地，對于第三規(guī)格中，每一捆的標(biāo)準(zhǔn)根數(shù)為5，但是，為了提高原材料的使用率，每一捆的總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根。所以在不同的扎捆方式中，實(shí)際使用的總根數(shù)應(yīng)該介于4倍的捆數(shù)與5倍的捆數(shù)之間。這些要求都要在約束條件中體現(xiàn)出來。

另外，為了提高模型結(jié)果的正確性，我們采用了兩種不同的數(shù)學(xué)軟件（lingo、管理運(yùn)籌學(xué)軟件）來求解。甚至于我們還用到了同一軟件的不同版本（lingo9以及l(fā)ingo11）。事實(shí)證明，不同的軟件求解出的結(jié)果的確不同，lingo求解出的最大捆數(shù)為191捆，而管理運(yùn)籌學(xué)軟件求出的最大捆數(shù)為193捆，經(jīng)過分析我們知道，193捆才是最佳答案。在計(jì)算第三規(guī)格時(shí)，用不同版本的lingo求解，得出的結(jié)果也是不一樣的。

模型的優(yōu)點(diǎn)主要有：（1）模型根據(jù)實(shí)據(jù)數(shù)據(jù)，考慮根數(shù)、丈量誤差等因素來建立，又以求捆數(shù)最多的最優(yōu)解求解，并分級考慮問題，減少降級使用率，充分利用了腸衣的原料，確實(shí)做到提高腸衣加工的生產(chǎn)效率；（2）模型能提供較為精準(zhǔn)的方案，確?？紤]到了求解出的捆數(shù)最多的同時(shí)，與下一模型的建立提供較好的聯(lián)系，規(guī)劃性較強(qiáng)。（3）模型的建立最大的特點(diǎn)就是在依據(jù)較多的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，進(jìn)行多方案對比比較而得出最優(yōu)的方案，方案的準(zhǔn)確性與可靠性較高。

模型的不足之處主要是由于建立模型是依據(jù)某此原料描述表得出，我們并沒有經(jīng)多個(gè)原料描述表加權(quán)求平均的方法求出一個(gè)比較符合實(shí)際的原料描述表。這樣一來，建立的模型與實(shí)際模型存在一定的誤差范圍；并且雖然該方案是以求總捆數(shù)的最優(yōu)解來建立最初模型，但在模型的求解過程中，未考慮到公司的經(jīng)濟(jì)效益而提高生產(chǎn)的總捆數(shù)。

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