活用配方法巧解題

廖輝盛

(江西省贛州市安遠縣塘村學校,江西 贛州 342100)

活用配方法巧解題

廖輝盛

(江西省贛州市安遠縣塘村學校,江西 贛州 342100)

配方法是解一元二次方程的重要方法.用配方法解一元二次方程的一般步驟為:(1)移項;(2)二次項系數(shù)化為1;(3)配方,即把原方程化為(x+m)2=n(n≥0)的形式,再用直接開平方法．

配方法;因式分解;一元二次方程

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法，其實質(zhì)是一種恒等變形，它通過加上并且減去相同的項，把算式的某些項配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式， 配方法在中學數(shù)學中的應(yīng)用非常廣泛，本文通過例題談?wù)勊囊恍?yīng)用．

一、應(yīng)用配方法解方程

例1 解方程：2x2-3x+1=0．

分析用配方法解一元二次方程的一般步驟是：

1． 將二次項的系數(shù)化為1；

2．移項，使含未知數(shù)的項在左邊，常數(shù)項在右邊；

3．配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；

4．將方程化為(x+m)2=n的形式；

5．用直接開平方法進行求解(n<0無解)．

二、應(yīng)用配方法分解因式

例2 分解因式x4+x2+1.

分析觀察題目發(fā)現(xiàn)中間項系數(shù)如果為2時，即符合公式.由此可考慮使用配方法解決.

解原式=(x4+2x2+1)-x2=(x2+1)2-x2=(x2+x+1)(x2-x+1).

三、應(yīng)用配方法求代數(shù)式的最值

例3 利用配方法求y=2x2-4x-7的最大值或最小值.

分析求最大值或最小值,必須將它們化成y=a(x+b)2+c的形式,然后再判斷,當a>0時,它有最小值c;當a<0時,它有最大值c.

解y=2x2-4x-7=2(x2-2x+1)-7-2=2(x-1)2-9.

∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2-9≥-9,故它的最小值是-9.

四、應(yīng)用配方法化簡求值

例4 已知x2y2+x2+4xy+13=6x,則x,y的值分別為____.

分析可將含x,y的方程化為兩個非負數(shù)和為0的形式,從而求出兩個未知數(shù)的值.

解∵x2y2+x2+4xy+13=6x,∴x2y2+4xy+4+x2-6x+9=0,

∴(xy+2)2+(x-3)2=0.

∵(xy+2)2≥0,(x-3)2≥0，

∴xy+2=0,x-3=0,∴xy=-2,x=3.

五、應(yīng)用配方比較兩個代數(shù)式的大小

例5 對于任意實數(shù)x，試比較兩個代數(shù)式3x3-2x2-4x+1與3x3+4x+10的大小．

分析比較兩個代數(shù)式的大小，可以作差比較，本題兩個代數(shù)式相減后，可以得到一個二次三項式，將此二次三項式配方后，即可判斷差的正負，從而可以判斷兩個代數(shù)式的大小．

解(3x2-2x2-4x+1)-(3x3+4x+10)

=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，

所以對于任意實數(shù)x，恒有

3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．

六、應(yīng)用配方法證明等式、不等式

例6 已知方程(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是實數(shù)．

分析一個方程含有四個未知數(shù)，看似無法求出a，b，c，x．但仔細觀察發(fā)現(xiàn)，方程左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個完全平方式的和為0，利用非負數(shù)的性質(zhì)可求出a，b，c，x之間的關(guān)系．

證明原方程拆成兩個二次三項式為：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，

∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．

∵a，b，c，x都是實數(shù)，

∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．

∴ax-b=0,bx-c=0．

[1]張曉林.配方法求二次函數(shù)頂點式中的典型錯誤[J].初中數(shù)學教與學,2011(07).

[責任編輯：李克柏]

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1008-0333(2017)29-0019-02

2017-07-01

廖輝盛(1985.12-)，男，本科，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究．