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    高考題怎樣改編(二)
    ——函數(shù)篇

    2019-11-25 02:55:10
    關(guān)鍵詞:偶函數(shù)奇函數(shù)交點

    蘇 玖

    一、真題展現(xiàn)

    (2019年江蘇卷第14題)設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數(shù).當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根,則k的取值范圍是

    二、思維延伸

    本題f(x)是冪函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù),g(x)是一次函數(shù)與常函數(shù)整合的分段函數(shù),涉及二次函數(shù)的對稱性、函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)圖象等基本性質(zhì).

    先利用奇偶性,得f(0)=0,于是函數(shù)f(x)在[0,2]上的圖象就是圓(x-1)2+y2=1 f(y(x≥)0在)在一x個軸周上期半x部∈[分-,2由,于2]f內(nèi)(x的)函是數(shù)奇圖函象數(shù),,再因利此用,f周(x期)的性圖,可象以關(guān)作于出原f點(x對)稱在,所(0以,9就]上得出的函數(shù)圖象.首先利用周期性研究函數(shù)g(x)=-與f(x)圖象的交點情況,當(dāng)x∈(1,2]時,g(x)的圖象與f(x)的圖象無交點,但是,由于周期性,在x∈(3,4]和x∈(7,8]上各有一個交點.再研究g(x)=k(x+2)(k>0)與f(x)圖象在x∈(0,1]的交點情況,利用直線與圓的位置關(guān)系來研究,但所限制的區(qū)間為(0,9],只能考慮兩個半周期,要想得出8個交點,還有6個交點,于是每個半圓必產(chǎn)生2個交點,即直線段y=k(x+2)(x∈(0,1])與四分之一圓(x-1)2+y2=1(y≥0,0x≤1)有2個交點,所以圓心到直線的距離dr,即1,解之得,0k

    圖1

    再利用函數(shù)圖象與k的幾何意義知當(dāng)直線段通過點(1,1)時合適,因此得k≥,故k的取值范圍為

    根據(jù)解析式的代數(shù)特征,利用圖形描述問題,分析問題和解決問題.如果將本題中“f(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是偶函數(shù)”,于是可以改編為:

    改編1 設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為4,且f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=,g(x)=中k>0.若在區(qū)間(0,14]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有11個不同的實數(shù)根,則k的取

    本題函數(shù)f(x)的圖象幾何意義是圓的一部分,如果將解析式改為二次函數(shù),于是又可以有:

    改編2 設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數(shù).當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=-x2+2x,g(x)=其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根,則k的取值范圍是

    如果利用圓與橢圓圖形的一部分構(gòu)造分段函數(shù)f(x),再結(jié)合相關(guān)性質(zhì),可以有:

    改編3 已知f(x)是最小正周期為4的偶函數(shù),函數(shù)g(x)=kx(x∈R),當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=若在區(qū)間(0,10]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有9個不同的實數(shù)根,則正數(shù)k的取值范圍是

    注意結(jié)合圖形充分利用圓的幾何性質(zhì)較為簡單,前面幾道題函數(shù)f(x)的最小正周期都是給定的,但也可以隱含在題干中,于是又可以有:

    改編4 已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(1-x)=f(1+x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x2,函數(shù)g(x)=ax+a(a≠0),對于給定的正整數(shù)n,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在區(qū)間[2n-1,2n+1]上有兩個不同解,求a的取值范圍.

    如果將“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,再改變g(x)的解析式,于是問題又可以改編成:

    改編5 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(1-x)=f(1+x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x2,定義在R上且最小正周期為4的函數(shù)g(x),g(x)=a≠0,若在區(qū)間(0,15]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)恰有15個不同解,求a的取值范圍.

    本題將函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、函數(shù)圖象整合在一起考查,利用這些性質(zhì)證明f(x)是周期函數(shù),如果函數(shù)f(x)的解析式無法求出,又會怎樣出題呢?

    改編6 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(1-x)=f(1+x),f(-1)=0,且f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,試求函數(shù)f(x)在[-2020,2020]上的零點個數(shù).

    此題是抽象函數(shù),也可以將函數(shù)f(x)改編為對數(shù)函數(shù)類型,再與周期函數(shù)結(jié)合,可以有:

    改編7 設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)且周期都是4,f(x)是偶函數(shù).當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=ln(x+1),g(x)=其中k>0.若在區(qū)間(0,10]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根,則k的取值范圍是

    此題函數(shù)f(x)是對數(shù)類函數(shù),有沒有可能是指數(shù)類函數(shù)呢?

    改編8 設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)且周期都是4,f(x)是偶函數(shù).

    當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=ex,g(x)=

    其中k>0.若在區(qū)間[0,n](n∈N*)上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)恰有12個不同的實數(shù)根,求n的最小值及k的取值范圍.

    本題利用導(dǎo)數(shù)求指數(shù)函數(shù)的切線斜率,也可以改編為三角函數(shù)的問題,于是,

    改編9 設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周

    期為2,且f(x)是奇函數(shù).當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)=2sin

    其中k>0.若在區(qū)間[0,12)上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有12個不同的實數(shù)根,則k的取值范圍是

    三、點撥解析

    f(x),g(x)在一個周期內(nèi)的圖象可知,直線g(x)=1與f(x)的圖象只有一個交點,于是在區(qū)間(0,14]上,直線g(x)=1與f(x)的圖象交點存在范圍為(2,4)、(6,8)、(10,12).要使得在區(qū)間(0,14]上有11個不同的交點,因此當(dāng)0x≤2時,g(x)=k(x+2)與f(x)的圖象必有兩個交點,即直線與圓弧=4(0x≤2,0y≤2)必有兩個交點,

    改編2解析:根據(jù)f(x),g(x)在一個周期內(nèi)的圖象可知,直線g(x)=與f(x)的圖象只有一個交點,再根據(jù)g(x)的周期為2,結(jié)合函數(shù)圖象,直線g(x)=與f(x)的圖象交點存在范圍為(1,2)、(5,6).要使得在區(qū)間(0,9]上有8個不同的交點,因此當(dāng)0x≤1時,g(x)=k(x+2)與f(x)的圖象必有兩個交點,因此問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)在區(qū)間(0,1]上有兩個不同的解,即x+(k-2)x+2k=0在(0,1]上有兩個不同的解,令h(x)=

    2 x2+(k-2)x+2k,再根據(jù)二次函數(shù)圖象分析知Δ>0且h(0)>0且h(1)≥0且0

    改編3解析:因為f(x)是最小正周期為4的偶函數(shù),因此對于任意整數(shù)n,當(dāng)x∈[4n-1,4n+1]時,f(x)=2,當(dāng)x∈[4n+1,4n+3]時,f(x)=,其幾何意義是在相應(yīng)的區(qū)間上分別表示橢圓(短軸在x軸上)和圓(直徑在x軸上)的上半部分,函數(shù)g(x)=kx(x∈R)的幾何意義表示過原點的直線.要使關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在區(qū)間(0,10]上有9個不同的實數(shù)根,根據(jù)函數(shù)圖象及k為正數(shù),必有直線y=kx與半橢圓(x-8)2+=1(y≥0)有兩個不同交點,且與半圓(x-10)2+y2=1(y≥0)無公共點,因此有(x-8)2+=1在[7,9]上有兩個不同解,且圓心(10,0)到直

    改編4解析:由f(x)是偶函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),可以得出f(x)是周期為2的函數(shù),于是x∈[2n-1,2n+1]時,f(x)=(x-2n)2.若從方程觀點出發(fā),將問題轉(zhuǎn)化為a(x+1)=(x-2n)2,即x2-(4n+a)x+4n2-a=0在區(qū)間[2n-1,2n+1]上有兩個不同解,再利用二次函數(shù)圖象分析法可知0a

    改編5解析:由f(x)是奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),可以得出f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.由題意可得,當(dāng)x∈[-1,0]時,f(x)=-x2,再根據(jù)對稱性,當(dāng)x∈[1,3]-f(2+x),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期為4的函數(shù).結(jié)合函數(shù)圖象知,方程f(x)=-在區(qū)間[2,4]、[6,8]、[10,12]分別有兩個不同解,而在[14,15]僅有一解.要使方程f(x)=g(x)在區(qū)間(0,15]恰有15個不同解,方程f(x)=a(x+1)(a≠0)在區(qū)間(0,2]必有2個不同解,再利用幾何直觀想象,因此,a的取值范圍為0a.

    改編6解析:由改編5的解析過程可知,函數(shù)f(x)的最小正周期為4且f(0)=0.因為f(-1)=0,因此,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0.再結(jié)合f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,因此f(x)在(0,4]上有且僅有4個不同零點.又(0,2020]上有505個周期,于是f(x)在(0,2020]上有2020個零點.由對稱性知f(x)在[-2020,0)上也有2020個零點.故f(x)在[-2020,2020]上共有4041個零點.

    改編7解析:根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和圖象,可以判斷方程f(x)=g(x)在(2,4)和(6,8)上各有一個解,因此方程f(x)=g(x)在區(qū)間(0,2)、(4,6)、(8,10)上各有兩個不同解,所以f(x)=g(x)在(0,2)上必有兩個解,利用導(dǎo)數(shù)知識求解,問題轉(zhuǎn)化為過點(-1,0)作函數(shù)f(x)=ln(x+1)(0x2)的切線,設(shè)切點為(x0,y0),f′(x)=,即x0=e-1,因此切線斜率為k=.再結(jié)合函數(shù)圖象,直線y=k(x+1)過點(2,ln3)時,直線斜率k=,故k的取值范圍為≤k.

    改編8解析:由函數(shù)性質(zhì)和圖象知,方程f(x)=g(x)在(2,4)、(6,8)、(10,12)等區(qū)間上各有一個解,要使n的值最小,必須使方程f(x)=g(x)在區(qū)間(0,2]、(4,6]、(8,10]等上各有兩個不同解,所以,在(0,4]上有三個不同解.現(xiàn)在求過原點作函數(shù)f(x)=ex(x∈(0,2))的切線斜率,設(shè)切點為(x0,y0),f′(x)=ex,因此,即x0=1.于是切線斜率為k0=e,當(dāng)直線y=kx過點(2,e2)時斜率為k1=.故k的取值范圍為ek≤又f(x)=g(x)在(14,16]區(qū)間上的一解在(15,16)的范圍內(nèi),則n的最小值為16.

    改編9解析:根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)得,方程f(x)=g(x)在(3,4)、(7,8)、(11,12)等區(qū)間上各有一個解,同時x=0、2、4、6、8、10是方程的解,所以方程f(x)=g(x)在(0,1]、(4,5]、(8,9]等區(qū)間上各有一個解.根據(jù)函數(shù)的周期性,現(xiàn)在研究在原點處作函數(shù)f(x)=2sin(0x1),因為f′(x)=πcos,因此f′(0)=π.當(dāng)直線y=kx過點(1,2)時,k=2.故k的取值范圍為2≤kπ.

    四、回顧悟道

    在函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究中,一般從整體和局部兩個方面解釋函數(shù)性質(zhì).一是函數(shù)的整體性質(zhì),如函數(shù)的定義域和值域(包括最值)、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性、利用已知函數(shù)構(gòu)造新函數(shù);二是函數(shù)的局部性質(zhì),高中階段主要學(xué)習(xí)的是導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義,運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值點、極值、最值、函數(shù)圖象、函數(shù)零點等.本題的一系列改編題不僅涉及函數(shù)的一些基本性質(zhì),同時也涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、無理函數(shù)、分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、直線方程、圓的方程、橢圓方程、拋物線及導(dǎo)數(shù)等基本知識.

    五、小試牛刀

    改編提示:函數(shù)定義域是函數(shù)三要素的核心內(nèi)容,也是高考??嫉念}型.求函數(shù)定義域?qū)嵸|(zhì)就是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,如果改為已知定義域或值域,求參數(shù)的取值范圍.

    (改編3)已知函數(shù)y=log2(ax2-ax+1).

    (1)若定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;

    (2)若值域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

    解析

    原題解析:問題等價轉(zhuǎn)化為7+6x-x2≥0,利用二次函數(shù)f(x)=7+6x-x2的兩個零點-1和7,結(jié)合二次函數(shù)圖象,得-1≤x≤7,故定義域為[-1,7].

    改編1解析:由題意得,(a2-1)x2-(a-1)x+1≥0的解集為R,于是分類討論:

    當(dāng)a=1時,合適;當(dāng)a=-1時,不等式為2x+1≥0,解集不是R;當(dāng)a2-1>0,即a>1或a-1時,Δ=(a-1)2-4(a2-1)≤0,解之得a>1或a≤-.綜上所述,a的取值范圍為a≥1或a≤-

    改編2解析:由題意得,ax2+2x+1≠0恒成立,即ax2+2x+1=0無解.當(dāng)a=0時,方程有解;當(dāng)a≠0時,Δ=4-4a0,即a>1.故a的取值范圍為a>1.

    改編3解析:(1)由題意知,ax2-ax+1>0的解集為R,下面分類討論:當(dāng)a=0時,合適;當(dāng)a≠0時,必有a>0且Δ=a2-4a0,即0a4.所以a的取值范圍為0≤a4.

    (2)由題意知,真數(shù)ax2-ax+1取一切正數(shù),當(dāng)a≤0時,不成立;當(dāng)a>0時,Δ=a2-4a≥0,解之得a≥4.所以a的取值范圍為a≥4.

    解題回顧 函數(shù)內(nèi)容不僅是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線,并貫穿于整個高中階段始終,同時也是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此,備受高考命題人員青睞.在高考試題中,以基本函數(shù)為背景的高考試題層出不窮,常考常新,既能有效考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力,又可以考查學(xué)生利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題的能力,同時又能有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).

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