類比法解決數(shù)列新問題

江蘇省丹陽市第五中學(xué) 孔幫新

等比數(shù)列相比等差數(shù)列而言，似乎更“難”一些；但是，正因?yàn)橐呀?jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，因此我們可以運(yùn)用類比的方法來征服等比數(shù)列的新領(lǐng)域.

一、等比特征非零

從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，而且公比q也是非零常數(shù).這一點(diǎn)很容易被忽略.但在等差數(shù)列中就不存在這一擔(dān)心點(diǎn)，可以對(duì)比考慮來提高辨識(shí)度.

如，考慮：（1）在等比數(shù)列｛an｝中，是否有=an-1an+1（n≥2）？（2）如果數(shù)列｛an｝中，對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥2），都有=an-1an+1，那么，｛an｝一定是等比數(shù)列嗎？

思考：（1）因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以，即=an-1an+1（n≥2）成立.

顯然，“0”這個(gè)因素在作怪.因此，我們可將（2）修改為下面正確的結(jié)論：

當(dāng)一個(gè)數(shù)列｛an｝中的各項(xiàng)都不為0時(shí)，若=an-1an+1，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.

但有時(shí)條件比較隱蔽，需要我們細(xì)心觀察.

思考：由x，3x+3，6x+6成等比數(shù)列得 （3x+3）2=x（6x+6）.解得x1=-3或x2=-1.但x2=-1時(shí)第2項(xiàng)為零，不合題意，必須舍去，故數(shù)列的第4項(xiàng)為-24.

二、函數(shù)方程顯威

學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，相信很多同學(xué)已經(jīng)見識(shí)到函數(shù)這個(gè)武器的威力了.同樣地，利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法，可以輕松揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系.一般說來，函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，也是基本量思想大放異彩的時(shí)機(jī)，將五個(gè)基本量中的某一個(gè)視為自變量x，則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解.

例1 等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列.

（1）求｛an｝的公比q；

（2）若a1-a3=3，求Sn.

解 （1）依題意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由于a1≠0，故2q2+q=0，解這個(gè)一元二次方程，注意到q≠0，從而q=.

（2）由已知可得a1-a1=3，故

得到的前n項(xiàng)和Sn是一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，還可以作很多變式，同學(xué)們可以自行探究.

提到函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)然少不了單調(diào)性.在借用指數(shù)函數(shù)討論等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，要特別注意首項(xiàng)和公比的大小.

一般來說，a1＞0時(shí)，若q＞1，則等比數(shù)列是遞增數(shù)列；若0q1，則等比數(shù)列是遞減數(shù)列.

要注意的是不能簡(jiǎn)單地將等比數(shù)列的單調(diào)性等同于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，畢竟等比數(shù)列只能算作自變量是取自正整數(shù)集的函數(shù).

三、前n項(xiàng)和細(xì)琢磨

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是用錯(cuò)位相減法求得的，我們可以細(xì)細(xì)琢磨這種方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用.

例2 求和：Sn=x+2x2+3x3+…+nxn（x≠0）.

解 分x=1和x≠1兩種情況.

當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+

當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=x+2x2+3x3+…+nxn，

xSn=x2+2x3+3x4+…+（n-1）xn+nxn+1，

所以（1-x）Sn=x+x2+x3+…+

綜上可得，

很多同學(xué)做這道題時(shí)會(huì)忽略“x=1”這個(gè)情況，或者會(huì)有疑問，覺得在題干中看不到需要分情況討論的跡象.所謂冰凍三尺，非一日之寒，做題的題感得之不易，需要對(duì)這類題作出非常細(xì)心、詳盡的探究和思考，此題中“x=1”這個(gè)情況就可看作是熟練之后的水到渠成.

分“q=1”和“q≠1”兩種情況化簡(jiǎn)時(shí)，還要注意整體代換思想，這樣可以讓我們少走許多彎路.

例3 設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為80，它的前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的第2n項(xiàng).

解 設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，若q=1，則Sn=na1，S2n=2na1=2Sn.

因?yàn)镾2n=6560≠2Sn=160，所以q≠1.

將①整體代入②得80（1+qn）=6560，得qn=81.

將qn=81代入①得a1（1-81）=80（1-q），即a1=q-1，由a1＞0，得q＞1，即數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.又因an=a1qn-1=-1聯(lián)立可得a1=2，q=3，所以a2n=2×32n-1（n∈N*）.

四、判定方法擇優(yōu)

常用的等比數(shù)列的判定方法有：

（2）等比中項(xiàng)法：a2n+1=anan+2（an≠0，n∈N*）；

（3）通項(xiàng)法：an=a1qn-1（a1q≠0，n∈N*）.

例4 已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列｛bn｝中，b1=a1，bn=an-an-1（n≥2），且an+Sn=n.

（1）設(shè)cn=an-1，求證：｛cn｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式.

分析 一般來說，遇到通項(xiàng)與前n項(xiàng)和一起組成的關(guān)系式時(shí)，常將項(xiàng)數(shù)n變成n-1（或n+1），得到另一個(gè)關(guān)系式，相減即得相鄰兩項(xiàng)或三項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，必要時(shí)再構(gòu)造數(shù)列求解.本題中，顯然是要去構(gòu)造｛an-1｝這個(gè)數(shù)列.

解 （1）證明：因?yàn)閍n+Sn=n，①

所以an+1+Sn+1=n+1.②

②-①得2an+1=an+1，構(gòu)造數(shù)列｛an-1｝，將前式整理得2（an+1-1）=an-1.｛an-1｝是等比數(shù)列.

又a1+a1=1，得a1=，首項(xiàng)c1=a1-1=-，公比q=.

又cn=an-1，即｛cn｝是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

又b1=a1=代入上式也符合，所以

該題第（1）問中的解題方法是需要我們透徹掌握的，是前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的緊密聯(lián)系的體現(xiàn)，熟練以后，我們要能自然而然地發(fā)現(xiàn)｛an-1｝這個(gè)等比數(shù)列；另外第（2）問中要注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列一般會(huì)含有指數(shù)項(xiàng)，能合并的必須合并.

例5 已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和

解法一 運(yùn)用特殊值法.

因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以）×4t，顯然t≠0，所以t=5.

解法二 運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征.

因?yàn)榈缺葦?shù)列前n項(xiàng)和Sn=（1-qn），即具有Sn=c·（1-qn）的形式.

將Sn進(jìn)行整理：Sn=-所以=1，即t=5.

在高考中數(shù)列題除了會(huì)出現(xiàn)在解答題以外，小題也一般會(huì)有它的身影.運(yùn)用特殊值法是解決等比數(shù)列填空題的有效方法，有時(shí)運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征解決填空題也非常簡(jiǎn)捷.

有時(shí)候，要判斷一個(gè)數(shù)列是不是等比數(shù)列，正向思維難以突破，我們可以嘗試著逆向探究，試試前幾項(xiàng)，能否滿足等比數(shù)列的條件.例如an=2n+3n，發(fā)現(xiàn)這只是只“紙老虎”，徒有指數(shù)外表，但根本不是等比數(shù)列.