老師，我為什么算得這么慢
——函數(shù)篇

江蘇省蘇州中學 王思儉

考試結(jié)束后，同學們又熱議一陣子：

測驗卷中含有絕對值求值問題，計算好復雜，結(jié)果還錯了；

我也是計算6個f（x）的函數(shù)值，然后加起來，雖然做對了，但浪費時間；

含有絕對值的方程解的問題，運算量很大，不知道選擇怎樣的算法；

看來只顧刷題，不總結(jié)回顧解題方法和解題的思維過程，不能真正提高解決問題的能力；

在動手解題之前，先要分析題目的信息和結(jié)構(gòu)特征，考慮選取怎樣的解題策略；

……

為此，我邀請幾位同學就“函數(shù)中的運算問題”進行交流，旨在引導學生如何提高數(shù)學運算能力.g（2）

生+甲…：+g（6題）的目值1 .已知函數(shù)f（x）=x2-9x+18，g（x）=f（x）+|f（x）|，求g（1）+

我是直接計算f（1）=10，f（2）=4，f（3）=0，f（4）=-2，f（5）=-2，f（6）=0，因此g（1）+g（2）+…+g（6）=20+8=28.

生乙：先化簡再求值，先考慮怎樣去掉絕對值，當f（x）≤0時，g（x）=0.利用因式分解，得f（x）=（x-3）（x-6），發(fā)現(xiàn)當3≤x≤6時，f（x）≤0，因此要求的值轉(zhuǎn)化為2（f（1）+f（2））=28.

教師：若把函數(shù)f（x）的解析式改為“f（x）=x2-23x+60”，求g（1）+g（2）+…+g（20）的值，怎樣求解呢？

生乙：直接計算是不是太麻煩了，還是考慮怎樣去掉絕對值，先討論f（x）≤0時，g（x）=0.因此，當x2-23x+60≤0，即3≤x≤20，所以g（3）=g（4）=…=g（20）=0，f（1）＞0，f（2）＞0，故原式=g（1）+g（2）=2（f（1）+f（2））=2×56=112.

教師：很好！生甲的方法是直接法，對于項數(shù)較少的求值題，運算量不大，但對于項數(shù)較多的求值問題，就要考慮先去掉絕對值，再求值.請看：

變題1 已知函數(shù)f（x）=-x2+676x-2019，g（x）=，求g（1）+g（2）+…+g（673）的值.

生丙：因為f（x）=-（x-3）（x-673），于是g（x）=因此，原式=f（1）+f（2）=-2015.

教師：很好！要尋找數(shù)字特征的關(guān)系，已知函數(shù)式中的2019與目標中的673的關(guān)系，于是就可以進行因式分解了，這樣就便于化簡.再看：

變題2 已知函數(shù)f（x）=x3-10x2-9x+90，g（x）=，求g（1）+g（2）+…+g（10）的值.

眾生：三次函數(shù)式如何分解？

教師：你們想想所求式子中的最大自變量與函數(shù)式中常數(shù)項之間的關(guān)系是什么？能否大膽猜想函數(shù)式中含有因式x-10？

生丙：對f（x）=x3-10x2-9x+90進行因式分解得，f（x）=（x+3）（x-3）（x-10），因此，g（x）=因此，原式=f（1）+f（2）=112.

生乙： 題目2 已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（1，0），對任意x∈R都有不等式-x-3≤f（x）≤2x2+3x-1成立.

（1）求f（-1）的值；

（2）求f（x）的解析式；

（3）是否存在正實數(shù)m，使得函數(shù)y=mx+m2與函數(shù)g（x）=的圖象交于三個不同的點？若存在，求出m的取值范圍；否則，請說明理由.

第（1）（2）小題會做，函數(shù)f（x）=x2+x-2，但第（3）小題不會做了.

教師：你們是否要先化簡函數(shù)式？然后嘗試將兩個函數(shù)圖象有三個不同的交點問題等價轉(zhuǎn)化為方程有三個解，再結(jié)合函數(shù)圖象進行分析求解.

教師：正確！當直線與拋物線段有兩個交點時，直線必與x軸上的射線有一個交點.同時，一元二次方程（二次項系數(shù)為正數(shù)）在指定開區(qū)間上有兩個不同解的充要條件為判別式大于零且兩端點函數(shù)值為正且對稱軸在區(qū)間內(nèi)等四個約束條件，問題就轉(zhuǎn)化為解不等式組.請看：

（2）建筑過程管理信息化?！爸悄芙ㄖ崩砟畹纳钊肴诵模彩沟媒ㄖ椖抗芾砀又悄芑?，因此，現(xiàn)代建筑業(yè)發(fā)展尤其注重建筑工程項目管理，項目管理已經(jīng)脫離了傳統(tǒng)的紙質(zhì)媒介，利用BIM技術(shù)在建筑項目中的管理，能夠?qū)⒔ㄖこ添椖繑?shù)據(jù)源建立起來，使得項目各參與方的相關(guān)信息準確性和一致性得到有效保障，實現(xiàn)建筑項目管理的信息交流與共享，極大地提升了建筑項目管理的信息化水平。

生戊：本題不要分得這么細，當k≠0時，直線y=kx+k2-2與y=g（x）的圖象在（-1，2）內(nèi)有兩個不同交點，此時直線必與x軸有一個交點分布在（2，+∞）或（-∞，-1）上.于是只要探尋F（x）在（-1，2）內(nèi)有兩個零點的充要條件即可.

教師：很好！生戊的思路簡潔明了，計算量較小.請看：

變題2 已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2（x≥0），g（x）=.若方程g（x）=kx+4（其中k為實數(shù)）有3個不同解，求k的取值范圍.

教師：正確！本題是三次函數(shù)的零點問題，利用導數(shù)，再借助函數(shù)圖象求解.

關(guān)于函數(shù)問題中的數(shù)學運算要注意如下幾個方面：

一是要充分理解函數(shù)的有關(guān)概念，注意函數(shù)的三要素（定義域、值域、解析式），函數(shù)的定義域是研究函數(shù)的核心知識點；

二是要熟悉函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性；

三是要掌握一些特殊函數(shù)，如二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)、含絕對值的函數(shù)等等；

四是要靈活運用函數(shù)性質(zhì)、基本數(shù)學思想與方法求解，如整體思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想方法；

五是運算過程要簡潔明了，不要拖泥帶水，答案正確.

2.已知函數(shù)f（x）=x2-（2a+2）x+a2+2a-3，其中a 為實數(shù)，g（x）=.若方程g（x）=x+1有3個不同解，求a的取值范圍.

解.于是，令F（x）=x2+（k+2）x+k-1，利用二次函數(shù)圖象分析法，其充要條件為解之得，-1k1.當k=0時，g（x）=2有且只有兩個不同解，故k=0不滿足條件，故k的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）.

另法：直觀幾何法，直線過點P（-1，2），拋物線弧的兩個端點為A（-3，0）和B（1，0），要使方程有三個不同解，必須有kPBkkPA，而kPB=-1，kPA=1，且當k=0時，g（x）=2有且只有兩個不同的解，故k≠0，所以，k的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）.