問題驅(qū)動激思維，挖掘思想突本質(zhì)

龔圣龍

[摘 要] 從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運(yùn)用于教學(xué)，使得引入與后面的探究渾然一體，利用問題驅(qū)動激活學(xué)生思維，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] “三個(gè)理解”；問題驅(qū)動；數(shù)學(xué)文化

2016年10月在鄂爾多斯舉行的全國綠色課堂杯高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽與觀摩活動中，筆者設(shè)計(jì)并執(zhí)教的人教B版《求函數(shù)零點(diǎn)的一種計(jì)算方法》給與會專家和教師留下了深刻的印象，獲得了特等獎. 本課就如何在課堂中利用問題驅(qū)動激活學(xué)生思維，挖掘教材顯性知識背后隱性的數(shù)學(xué)思想方法，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力方面進(jìn)行了有益的嘗試. 以下是部分教學(xué)實(shí)錄與思考，希望與各位老師一起探討.

教學(xué)過程實(shí)錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，提出問題

師：這節(jié)課，我們共同研究一個(gè)熟悉的話題——解方程.

（1）2x-1=0；（2）x2+2x-3=0；（3）x3+2x2+10x-20=0.

生：基本都很快自主完成了方程（1）和方程（2）的求解，但在求解方程（3）時(shí)犯難了.

師：這第三個(gè)方程可不是老師隨便寫的一個(gè). 在神圣羅馬帝國時(shí)期，人們經(jīng)常在公共場合舉行解方程比賽，比賽常常吸引眾多的觀眾，其盛大情況，比我們今天到場的人還多，堪比明星演唱會. 國王腓特列二世也是一個(gè)數(shù)學(xué)迷，有一次他舉行了一個(gè)宮廷數(shù)學(xué)競賽，其中一道題就是求方程x3+2x2+10x-20=0的根.

師：跟大家一樣，當(dāng)時(shí)沒有一個(gè)人能解出這個(gè)方程的根來，但是來自比薩的大數(shù)學(xué)家斐波那契卻贏得了比賽，深受國王的贊賞. 因?yàn)樗晒Φ孬@得了方程的近似解，并且精確到了小數(shù)點(diǎn)之后的6位數(shù)字.

師：大家想不想知道他是怎么算出這個(gè)近似解的？

生：想！

師：可惜他的解法已經(jīng)失傳了，沒有人知道他當(dāng)時(shí)是怎么解出來的，這也就成了數(shù)學(xué)史上的一個(gè)千古之謎.

師：同學(xué)們，本節(jié)課，就讓我們發(fā)揮奇思妙想，嘗試當(dāng)一下斐波那契，給這個(gè)千古之謎一個(gè)合理的解釋.

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的簡單方程入手，輕松地進(jìn)入課堂，開門見山，進(jìn)入數(shù)學(xué)的情境中. 方程（3）大家都不會解，將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運(yùn)用于教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)史上的一個(gè)未解之謎進(jìn)行探秘，通過故事引入環(huán)節(jié)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)家的奇思妙想，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

2. 探究問題，建構(gòu)新知

探究1：找出f（x）=x3+2x2+10x-20零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間？

生1：f（1）=-7， f（2）=16， f（1）f（2）<0，所以零點(diǎn)在（1，2）內(nèi).

生2：我想通過數(shù)形結(jié)合的方法找出這個(gè)區(qū)間， f（x）的圖像我不會畫，但是會畫f（x）=x3的圖像和二次函數(shù)f（x）=-2x2-10x+20的圖像，觀察這兩個(gè)圖像的交點(diǎn)所在的區(qū)間即可.

師：剛才兩位同學(xué)的厲害之處在于把搜索范圍從整個(gè)x軸縮小到（1，2）這個(gè)區(qū)間上了，如果能將區(qū)間（1，2）再縮小些，不就更接近我們要找的零點(diǎn)了嗎？

探究2：有哪些方法能將區(qū)間（1，2）不斷地縮小，使得零點(diǎn)還在里面？

生3：求f（1.1）， f（1.2）， f（1.3），不斷縮小區(qū)間.

生4：不斷取中點(diǎn)縮小區(qū)間.

生5：既然二等分可以，那取三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等也應(yīng)該是可以的.

生6：還可以從兩邊分別取值往中間擠，最終肯定能縮小區(qū)間.

師：大家的目標(biāo)都是不斷地縮小區(qū)間，逐步逼近零點(diǎn). 但都還局限在等分上，不是等分的縮小可不可以呢？

生7：當(dāng)然可以，本質(zhì)一樣.

師：這些方法都可以達(dá)到縮小區(qū)間的目的，那大家覺得哪種縮小區(qū)間的方法更好呢？為什么？

生8：取中點(diǎn)的方法，因?yàn)檫@樣要簡單一些.

師：很好！取中點(diǎn)簡單、易操作，又能快速縮小區(qū)間. 現(xiàn)在我們就用這種取中點(diǎn)的方法來尋找和零點(diǎn)更加接近的區(qū)間. （利用手中的計(jì)算器）

探究3：區(qū)間越來越小，那么一直這么進(jìn)行下去是不是一定能求出零點(diǎn)的準(zhǔn)確值呢？

生：（討論）有些說可以，有些說不行.

師：實(shí)際上許多問題不需要準(zhǔn)確值，只需要在某個(gè)誤差范圍內(nèi)就可以了，就像我們買黃金飾品的時(shí)候誤差為千分之幾克，買蘿卜、買小菜的時(shí)候就只關(guān)注是幾斤幾兩了.

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生以前的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中基本都是精確的解，所以潛意識里總是覺得都能求出精確解，這里向?qū)W生說明很多時(shí)候是沒有精確解的，并且讓學(xué)生體會無限逼近的極限思想. 通過黃金、小菜的例子說明生活中大都允許一定的誤差，只是要求不一樣而已. 通過此探究也讓學(xué)生明白，二分法求出來的不一定是近似的零點(diǎn). 如果某個(gè)中點(diǎn)的函數(shù)值恰好等于0，那就是精確解了. 在后面學(xué)習(xí)的算法語言里也會體現(xiàn).

探究4：怎么才能確定近似值與零點(diǎn)真實(shí)值的誤差（精確度）不超過0.1？

師：求出f（x）=x3+2x2+10x-20零點(diǎn)的近似值（精確度0.1）中“精確度0.1”的含義是什么？

生9：近似值與真實(shí)值的差的絕對值不超過0.1.

師：現(xiàn)在零點(diǎn)的真實(shí)值我們不知道，近似值也沒求出來，那怎么才能保證零點(diǎn)近似值與真實(shí)值的誤差不超過0.1呢？

生10：區(qū)間長度小于0.1.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生面臨的問題是零點(diǎn)的真實(shí)值我們不知道，近似值也還沒求出來，那怎么才能保證零點(diǎn)近似值與真實(shí)值的誤差不超過0.1呢？這實(shí)際上是有一個(gè)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在里面，兩個(gè)都是未知的不好操作，但是零點(diǎn)的真實(shí)值肯定在最后這個(gè)區(qū)間里，如果在這個(gè)區(qū)間里取近似值，并且用區(qū)間的長度（是已知的）與給定的精確度比較，顯然是一種很好的處理方法. 這里學(xué)生可能不易理解，在教學(xué)的過程中畫個(gè)數(shù)軸，標(biāo)出區(qū)間端點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，結(jié)合幾何直觀說明.endprint

完成4個(gè)探究活動，實(shí)際上就是師生一起合作，學(xué)生在實(shí)際操作中體會二分法的思想，理解其實(shí)質(zhì). 并且在過程中，讓學(xué)生邊思考，邊操作，邊體會，可以讓學(xué)生更好地理解二分法的思想，也為后面的概括抽象積累經(jīng)驗(yàn).

后面幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)很多老師大同小異，不再贅述.

3. 學(xué)生給出二分法的定義，歸納基本步驟

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只停留在經(jīng)驗(yàn)部分，需要上升到理論水平. 通過歸納、總結(jié)二分法的實(shí)質(zhì)及利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟，形成有關(guān)二分法的理論知識，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和抽象思維能力.

4. 例題鞏固二分法思想的應(yīng)用

借助計(jì)算器，用二分法求函數(shù)f（x）=x3+1.1x2+0.9x-1.4零點(diǎn)的近似解（精確度0.1）.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題讓學(xué)生體會用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的完整過程. 學(xué)生通過交流合作進(jìn)一步理解二分法的思想實(shí)質(zhì)，掌握用二分法求方程近似解的步驟. 了解二分法在生活中的應(yīng)用.

5. 歸納小結(jié)，給出口訣，算法框圖語言

定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號去，異號算，零點(diǎn)落在異號間.

設(shè)計(jì)意圖：給出算法的概念，讓學(xué)生體會算法的優(yōu)越性. 也為后面必修3中系統(tǒng)地學(xué)習(xí)算法做好鋪墊.

6. 介紹求近似值的其他方法

如華羅庚優(yōu)選法、牛頓迭代法等，再次讓學(xué)生了解二分法只是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一種常用方法.

作業(yè)布置：

（1）第92頁習(xí)題3.1A組第3、4題；

（2）查找有關(guān)資料或利用互聯(lián)網(wǎng)查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois），增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

（3）將你這節(jié)課的收獲與感受寫成一篇小報(bào)告或小論文的形式. 如《二分法的應(yīng)用》《我看“逼近”思想》等.

教學(xué)感悟

人教社章建躍博士說中學(xué)數(shù)學(xué)教師要做到“三個(gè)理解”：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué). 要從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考. 基于此，本設(shè)計(jì)著力從以下幾個(gè)方面努力做出了一些微創(chuàng)新：

1. 用簡單的方程和“斐波那契解三次方程”的歷史故事引入

從學(xué)生熟悉的簡單方程入手，輕松地進(jìn)入課堂，開門見山，進(jìn)入數(shù)學(xué)的情境中. 將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運(yùn)用于教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)史上的一個(gè)未解之謎進(jìn)行探秘，通過故事引入環(huán)節(jié)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)家的奇思妙想，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.

南京大學(xué)鄭毓信教授指出情境創(chuàng)設(shè)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是：不僅僅起到“敲門磚”的作用，還應(yīng)當(dāng)在課程的進(jìn)一步開展中自始至終發(fā)揮一定的導(dǎo)向作用.

本設(shè)計(jì)中的故事能引起學(xué)生的興趣，并且接下來就是圍繞這個(gè)方程來探究二分法，不會造成引入完了就完了的“兩張皮”現(xiàn)象，使得引入與后面的探究渾然一體.

2. 拿出二分法采用從特殊到一般的過程

教材上是先給出二分法的一般算法，比較抽象，不易理解. 所以本設(shè)計(jì)教學(xué)中采取不先講一般的理論，而是先結(jié)合引入中的三次方程來引導(dǎo)學(xué)生探究，再由學(xué)生結(jié)合這個(gè)具體的例子的探究過程嘗試歸納出二分法的一般步驟. 這樣更便于學(xué)生理解，并且在過程中培養(yǎng)了學(xué)生的歸納概括能力.

3. 以問題串和探究活動組織課堂

數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的形成和發(fā)展都有著豐富的經(jīng)歷，但教科書上不可能詳細(xì)呈現(xiàn). 我們應(yīng)該在對教材的二次開發(fā)過程中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念、定理等的建構(gòu)過程，盡量接近數(shù)學(xué)家當(dāng)初的困惑及思考，由自然到必然，揭示問題本質(zhì).

4. 讓學(xué)生明白二分法只是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一種常用方法

教學(xué)中無論是探究活動中的那些方法，還是后面介紹的華羅庚優(yōu)選法、牛頓插值法、秦九韶算法等，包括作業(yè)中讓學(xué)生課后到網(wǎng)上查閱的相關(guān)資料，都是想讓學(xué)生明白二分法是一種很重要的算法，但不是唯一的甚至也并不見得就是最好的方法. 在整個(gè)教學(xué)過程中通過不同的環(huán)節(jié)慢慢滲透，肯定比說教強(qiáng)加給學(xué)生強(qiáng). 通過這樣的設(shè)計(jì)力求拓寬學(xué)生的思維，課堂內(nèi)容內(nèi)涵豐富，凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì). 正是設(shè)計(jì)時(shí)定位“二分”也不是本節(jié)課的核心實(shí)質(zhì)，只不過是其中的一種方法而已，所以引入時(shí)堅(jiān)決不用猜價(jià)格的游戲，這個(gè)游戲一個(gè)很大的弊端就是由于太熟悉了恰好把學(xué)生的思想限定在“二分”上了，不利于學(xué)生思維的發(fā)散.endprint