一類退化非線性微分方程的正規(guī)形計(jì)算

，

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

一類退化非線性微分方程的正規(guī)形計(jì)算

張晶，黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

對(duì)于退化非線性微分方程，給出了其主微分方程的保守-耗散分解，并證明了這種分解的幾個(gè)性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，把求定義在齊次向量場(chǎng)空間上的同調(diào)算子值域補(bǔ)空間，轉(zhuǎn)化為求定義在齊次多項(xiàng)式空間上李導(dǎo)數(shù)算子值域補(bǔ)空間。在主微分方程是哈密爾頓的并且哈密爾頓函數(shù)在復(fù)多項(xiàng)式環(huán)C[x,y]上的因式僅為單因式的假設(shè)下，為求得系統(tǒng)的正規(guī)形，只需求有限個(gè)定義在齊次多項(xiàng)式空間上的李導(dǎo)數(shù)算子值域補(bǔ)空間，并給出遞推公式。用該方法可求出一類具有廣義Hopf奇點(diǎn)的正規(guī)形，并利用李三角形方法給出正規(guī)形與原微分方程系數(shù)之間的關(guān)系。

退化非線性微分方程;正規(guī)形;保守-耗散分解

0 引 言

在非線性微分方程(或向量場(chǎng))孤立奇點(diǎn)的局部定性分析中，正規(guī)形方法是一個(gè)重要的分析工具。它的基本思想是尋找合適的近恒等變量變換，把所給的非線性微分方程在形式上盡可能的簡(jiǎn)化(即盡可能多地消去方程中的參數(shù))，以便最大程度地簡(jiǎn)化在其奇點(diǎn)鄰域中的局部動(dòng)力學(xué)分析[1]。該方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于一些應(yīng)用學(xué)科[2-6]。

在正規(guī)形理論中，首要的問題是如何計(jì)算給定的非線性微分方程的正規(guī)形。眾所周知，給定一個(gè)非線性微分系統(tǒng)，要計(jì)算它的正規(guī)形十分困難，并且由于正規(guī)形一般是不唯一的，這導(dǎo)致計(jì)算正規(guī)形更加復(fù)雜[1]。目前已找到一些計(jì)算線性化矩陣不是零矩陣的非線性微分方程正規(guī)形(非退化微分方程)的有效方法[3,7-11]。直到本世紀(jì)初，由于受到應(yīng)用學(xué)科中提出的非線性微分方程模型驅(qū)動(dòng)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者開始研究計(jì)算線性化矩陣為零矩陣的非線性微分方程(退化微分方程)正規(guī)形的方法，如：Algaba等[12]利用李括號(hào)方法建立了擬齊次共軛等價(jià)與軌道等價(jià)正規(guī)形理論的一般框架；Algaba等[13]利用李三角形方法給出了擬齊次共軛等價(jià)與軌道等價(jià)正規(guī)形的算法。如同經(jīng)典正規(guī)形理論，用這種方法計(jì)算正規(guī)形，困難在于需要確定無(wú)窮多個(gè)定義在擬齊次向量場(chǎng)空間上同調(diào)算子值域的補(bǔ)空間，目前僅能計(jì)算一些特殊形式的退化微分方程的正規(guī)形。Algaba等[14-17]利用這種方法計(jì)算了幾類特殊平面退化微分方程正規(guī)形，并用來解決它們的解析可積性、中心與細(xì)焦點(diǎn)的判別以及逆積分因子存在性等問題。李夢(mèng)曉等[18-19]利用Carleman線性化方法計(jì)算了幾類廣義鞍結(jié)微分方程的正規(guī)形。

本文首先把非線性微分方程按齊次方式展開，給出主微分方程進(jìn)行保守-耗散分解，并給出這種分解的幾個(gè)性質(zhì)。然后利用這些性質(zhì)，把求定義在齊次向量場(chǎng)空間上同調(diào)算子值域的補(bǔ)空間化為求定義在齊次多項(xiàng)式空間上李導(dǎo)數(shù)算子值域的補(bǔ)空間。一般而言，確定這樣的無(wú)窮多個(gè)補(bǔ)空間是困難的。本文在主微分方程是哈密爾頓系統(tǒng)并且哈密爾頓函數(shù)在復(fù)多項(xiàng)式環(huán)C[x,y]上的分解式都是單因式的假設(shè)下，給出確定補(bǔ)空間的遞推公式，從而只需計(jì)算有限多個(gè)這樣的補(bǔ)空間。最后把這些結(jié)論應(yīng)用到一類廣義Hopf奇點(diǎn)情形，并利用Algaba等[13]中的李三角形方法確定正規(guī)形系數(shù)與原微分方程系數(shù)之間的關(guān)系，為這類非線性微分方程的進(jìn)一步定性分析提供基礎(chǔ)。

1 二維微分方程的正規(guī)形

考慮微分方程

(1)

(2)

在正規(guī)形的經(jīng)典理論中，對(duì)于一個(gè)線性部分的系數(shù)矩陣A=DF(0)為非零矩陣的微分方程(即對(duì)應(yīng)于(1)中r=1的情形)，求其正規(guī)形的通常做法是：首先假設(shè)已經(jīng)求得階數(shù)小于或等于k-1的正規(guī)形，然后去求k階的正規(guī)形[1]。類似地，對(duì)于r>1的一般情形，假設(shè)已經(jīng)求得階數(shù)小于或等于r+k-2的正規(guī)形，為求方程(1)的r+k-1階正規(guī)形，令近恒等變量變換

x=y+Pk(y)

(3)

(4)

可以證明(4)與(1)的前r+k-2次多項(xiàng)式向量場(chǎng)是相同的，記為r+k-2(G)=r+k-2(F)，但Gr+k-1=Fr+k-1-[Pk,Fr]，其中[Pk,Fr]=DPk·Fr-DFr·Pk是向量場(chǎng)Pk與Fr的李括號(hào)，容易證明[Pk,Fr]∈r+k-1。引進(jìn)僅依賴于Fr的同調(diào)線性算子：

定理1微分方程(1)共軛等價(jià)于

(5)

其中Gr=Fr，且Gr+j∈Cor(Lr+j)，j≥1。

(6)

接下來令近恒等變量變換(3)，則方程(1)變成

=[1+μk-1(y+Pk(y))]·

(7)

可以證明方程(7)與方程(6)的前r+k-2次多項(xiàng)式向量場(chǎng)是相同的，記為r+k-2(G)=r+k-2(F)，但Gr+k-1=Fr+k-1+μk-1Fr-Lr+k-1(Pk)。引進(jìn)僅依賴于Fr的同調(diào)線性算子：

定理2微分方程(1)軌道等價(jià)于

(8)

為了簡(jiǎn)化這類正規(guī)形的計(jì)算，區(qū)分變量變換與時(shí)間變換對(duì)正規(guī)形的作用是重要的。為此引進(jìn)下面的李導(dǎo)數(shù)算子：

其中▽?duì)蘫-r表示μk-r的梯度。取Range(k-1)在k-1的一個(gè)補(bǔ)空間為Cor(k-1)(當(dāng)然這樣的補(bǔ)空間的取法也是不唯一的)，則可以證明下面命題成立：

νk-1Fr,

其中νk-1∈Cor(k-1)。

Fk=Xhk+1+μk-1D0

(9)

a) [Xhr+1,Xgk+1]=Xfr+k∈Cr+k-1，其中fr+k=-▽gk+1·Xhr+1=▽hr+1·Xgk+1。

證明：

a) [Xhr+1,Xgk+1]=DXhr+1·Xgk+1-DXgk+1·Xhr+1

其中

c)因?yàn)閷?duì)任意的可微函數(shù)f及可微向量場(chǎng)F與G，成立李括號(hào)恒等式

[fF,G]=(▽f·G)F+f[F,G]，

所以

[Xhr+1,μk-1D0]=-[μk-1D0,Fr]

=-(▽?duì)蘫-1·Fr)D0-μk-1[D0,Fr]，

而由Euler定理得

[D0,Fr]=DD0·Fr-DFr·D0

=Fr-rFr=-(r-1)Fr，

所以由b)并注意到Xhr+1=Fr得

μk-1[D0,Fr]=-(r-1)μk-1Xhr+1

于是

證畢。

其中

=[Xgk+1,Fr]+[μk-1D0,Fr]-νk-1Fr。

因?yàn)?/p>

[Xgk+1,Fr]=[Xgk+1,Xhr+1]=X▽gk+1·Xhr+1=X，

所以

其中

ξr+k=r+k(gk+1)-μk-1hr+1-

由μk-1與νk-1的任意性知，

Cr+k-1，再定義算子

Cr+k-1=X。若取Range(r+k)+Range(δr+k)在r+k中的一個(gè)補(bǔ)空間，則

Cr+k-1

由于補(bǔ)空間取法一般是不唯一的，因此一般地

=s，dim(Range(δr+k))=t，并取Range(r+k)∩Range(δr+k)的一組基為α1,…,αm，若m=0，但下面的討論仍能進(jìn)行。由α1,α2,…,αm可擴(kuò)充為Range(r+k)的一組基：α1,…,αm,βm+1,…,βs；同樣地可擴(kuò)充為Range(δr+k)的一組基：α1,…,αm,γm+1,…,γt；并且容易證明

α1,…,αm,βm+1,…,βs,γm+1,…,γt，

α1,…,αm,βm+1,…,βs,γm+1,…,γt,λs+t-m+1,…,λr+k+1.

現(xiàn)可取

Cor(r+k)=span{γm+1,…,γt,λs+t-m+1,…,λr+k+1}，

Cor(δr+k)=span{βm+1,…,βs,λs+t-m+1,…,λr+k+1}，

而

span{λs+t-m+1,…,λr+k+1}=Cor(r+k)∩Cor(δr+k)

通過上面的分析，得到下面的結(jié)論：

由命題1及定理2，我們得到：

定理3若Fr=Xhr+1，則微分方程(1)軌道等價(jià)于

(10)

即k=s(r+1)。假設(shè)(1)有一個(gè)解析(或形式的)首次積分，則V(x,y)=hr+1(x,y)+…是(1)的一個(gè)首次積分，其中…表示高次齊次項(xiàng)。對(duì)任意的k∈N，如果k=s1(r+1)+s0，其中0≤s0

對(duì)任意的k≥2，如果r+k-2(μk-1)∈Range(δr+k-2)，則μk-1∈Range(δk-1)；又對(duì)任意的k>r，成立dim(Cor(k+r))=dim(Cor(k-1))，所以對(duì)任意的k>r，并且取一個(gè)補(bǔ)空間Cor(lk-1)，則δr+k(Cor(lk-1))可以取為lr+k的一個(gè)補(bǔ)空間，即

Cor(r+k)=δr+k(Cor(k-1))=hr+1Cor(k-1)。

b)對(duì)任意的λr+k∈Cor(r+k)∩Cor(δr+k)，則λr+k∈Cor(lr+k)且λr+k∈Cor(δr+k)。由λr+k∈Cor(lr+k)知，存在λk-1∈k-1使得λr+k=hr+1λk-1，從而λr+k∈Range(δr+k)。但Range(δr+k)∩Cor(δr+k)={0}，所以λr+k=0，所以Cor(r+k)∩Cor(δr+k)={0}，即

證畢。

由命題2a)可知：對(duì)任意的k≥2，為求Cor(lr+k)，只需求

Cor(r),Cor(r+1),…,Cor(r+r)=Cor(2r)

即可。實(shí)際上，對(duì)任意的k∈N，如果k=s1(r+1)+s0，其中0≤s0

Cor(r+k)=Cor(r+s0)。

定理4假設(shè)微分方程(1)滿足命題2的假設(shè)，則微分方程(1)軌道等價(jià)于

(11)

2 廣義Hopf奇點(diǎn)的正規(guī)形

現(xiàn)在利用上節(jié)中的有關(guān)結(jié)果計(jì)算二維退化非線性微分方程

(12)

的正規(guī)形。(12)的奇點(diǎn)O通常稱為廣義Hopf奇點(diǎn)。

因?yàn)閞=2，并且

對(duì)k=1，

=span{xy}。

對(duì)k=2，

▽?duì)?·F2=-d11x3-2d02x2y+2d20xy2+d11y3

=d11(3h3+2y3)-2d02x2y+2d20xy2，

對(duì)k=3，

▽?duì)?=(3d30x2+2d21xy+d12y2,d21x2+2d12xy+3d03y2)T，

▽?duì)?·F2=(3d30-3d03)x2y2+3d21(xy3+xh3)+3d12(y4+2yh3)，

對(duì)k=4，

▽?duì)?=(4d40x3+3d31x2y+2d22xy2+d13y3,d31x3+2d22x2y+3d13xy2+4d04y3)T，

▽?duì)?·F2=-4d40(3y2h3+y5)+d31(4x2y3+3x2h3)+2d22(2xy4+3xyh3)

+d13(4y5+9y2h3)-4d04x2y3,

由定理3可得系統(tǒng)(12)通過耗散變換，與下面系統(tǒng)是軌道等價(jià)：

=G2(x)+G3(x)+G4(x)+…

(13)

如果令

則利用Lie三角形算法得到下面關(guān)系式：

其中:C為任意常數(shù)。用同樣的方法可以求得正規(guī)形中更高次項(xiàng)的系數(shù)與原微分方程的系數(shù)之間的關(guān)系，但這些公式過于復(fù)雜，在此不再給出。于是，可得系統(tǒng)(4)的正規(guī)形為

3 結(jié) 語(yǔ)

正規(guī)形理論在非線性微分方程的定性研究中具有重要的意義。本文給出了二維退化非線性微分方程正規(guī)形的共軛等價(jià)正規(guī)形定理與軌道等價(jià)正規(guī)形定理。對(duì)于一般的退化非線性微分方程，要根據(jù)正規(guī)形定理計(jì)算它的正規(guī)形十分困難，需要確定無(wú)窮多個(gè)李導(dǎo)數(shù)算子值域的補(bǔ)空間。但當(dāng)非線性微分方程的主微分方程是哈密爾頓的并且其哈密爾頓函數(shù)在復(fù)多項(xiàng)式環(huán)C[x,y]上的因式僅為單因式時(shí)，只需確定有限多個(gè)這樣的補(bǔ)空間。本文利用這些結(jié)果計(jì)算出下面特殊形式退化非線性微分方程的正規(guī)形，并給出正規(guī)形與原微分方程的低次項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，為這類非線性微分方程的進(jìn)一步定性分析提供基礎(chǔ)。這種方法在物理學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等應(yīng)用學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用前景。

當(dāng)非線性微分方程的主微分方程不是哈密爾頓的，或者即使主微分方程是哈密爾頓的但其哈密爾頓函數(shù)在復(fù)多項(xiàng)式環(huán)C[x,y]上的因式有重因式時(shí)，如何有效地計(jì)算其正規(guī)形有待繼續(xù)研究。

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ComputationofNormalFormsforaClassofDegenerateNonlinearDifferentialEquations

ZHANGJing,HUANGTusen

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

For degenerate nonlinear differential equations, the conservative-dissipative splitting is given, and some properties of this splitting are proved. By using these properties, a complementary subspace to the range of the homological operator defined on the homogeneous vector field space can be expressed in terms of a complementary subspace to the range of the Lie derivative operator defined on the homogeneous polynomial space. Under the hypotheses that the leading part of the degenerate nonlinear differential equations is Hamiltonian and the associated Hamiltonian function only has simple factors in its factorization on the complex polynomial ringC[x,y], to obtain the normal form, it needs only to compute a certain number of the complementary subspaces to the range of the Lie derivative operators defined on the homogeneous polynomial spaces, a recursive formulae of the computation for all the complementary subspaces are given. Finally, by using this method the normal form of a class of the generalized Hopf singularity is computed, relationship between the coefficients of the normal form and the origin equations is given by means of the Lie triangle method.

degenerate nonlinear differential equation; normal form; conservative-dissipative splitting

10.3969/j.issn.1673-3851.2017.11.018

2017-03-21 網(wǎng)絡(luò)出版日期： 2017-05-24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11671359,11672270)

張晶(1992-)，女，安徽渦陽(yáng)人，碩士研究生，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究。

O175.14

A

1673- 3851 (2017) 06- 0866- 08

(責(zé)任編輯：康鋒)