淺水調諧液體阻尼器阻尼力的模擬研究*

董 勝， 陳 更

(中國海洋大學工程學院, 山東 青島 266100)

淺水調諧液體阻尼器阻尼力的模擬研究*

董 勝， 陳 更

(中國海洋大學工程學院, 山東 青島 266100)

調諧液體阻尼器(TLD)是有效的結構減振裝置。TLD在激勵作用下內部液體運動屬于晃蕩問題。本文建立了求解二維不可壓縮Navier-Stokes方程的數(shù)值模型。數(shù)值模型采用對時間積分的分步方法求解壓力項，THINC格式捕捉自由面。利用晃蕩試驗數(shù)據驗證了模型計算結果的正確性。模擬了不同深度的淺水TLD在不同頻率激勵作用下內部液體的運動，計算了TLD晃蕩產生的阻尼力。分析激勵頻率對TLD中液體運動的形態(tài)和阻尼力的影響。淺水TLD中液體運動形態(tài)主要為行波。TLD產生的阻尼力受激勵頻率影響，在固有頻率附近產生共振現(xiàn)象，阻尼力大，減振效果理想。

調諧液體阻尼器；晃蕩；CIP；數(shù)值模擬

結構在工作環(huán)境中受到環(huán)境荷載的影響，產生振動。結構振動控制的概念由此產生。Yao[1]提出結構振動控制的概念，在此之后，這個領域持續(xù)發(fā)展成熟。結構振動控制裝置不斷發(fā)展，其中，被動吸能耗能裝置調諧液體阻尼器(TLD)等得到了廣泛的研究和應用。一般將液體深度與受激勵方向尺寸之比小于1/8的TLD裝置稱為淺水TLD，反之稱為深水TLD。淺水TLD工作頻率范圍寬，適用范圍廣，在工程實際中主要應用較多。

對TLD的研究主要集中在TLD-結構相互作用領域，特別是TLD對結構振動的減振效果及其優(yōu)化設計有較多的成果。對TLD減振能力及內部液體晃蕩現(xiàn)象的研究方法主要有數(shù)值模擬方法和試驗方法。前者包括使用有限差分法或有限元法對矩形和圓柱形TLD的求解Navier-Stokes方程[2-4]，從而得到TLD對結構的作用力(動水壓力)，其中文獻[2]中利用VOF法得到了TLD動水壓力的經驗公式。試驗方法有將TLD放置在振動臺模擬受到激勵后的響應[5]，得到了模型試驗中的附加阻尼力。本文中將TLD在工作時對支撐結構產生的反力統(tǒng)稱為阻尼力，意義為TLD阻尼作用產生的力。TLD減振原理仍有待進一步研究，特別是TLD晃蕩時液體運動形態(tài)和阻尼力之間的關系研究較少。內部液體運動形態(tài)對TLD減振有重要影響，對此研究有重要意義。

本文建立了求解Navier-Stokes方程的數(shù)值模型，利用THINC格式捕捉自由面，模擬TLD在工作時內部液體的運動情況，計算了TLD工作時產生的阻尼力。研究了激勵頻率對液體運動形態(tài)和阻尼力的影響。

1 數(shù)值模型

1.1 控制方程

二維不可壓縮Navier-Stokes方程與連續(xù)方程分別為

(1)

(2)

(3)

為了區(qū)分計算區(qū)域內的不同介質，如液體，氣體和固體，引入體積函數(shù)φm=(1,2,3),滿足方程：

(4)

(5)

邊界條件要求容器壁為無滑移條件，因此，速度和壓強的邊界條件為

ur=0

，

(6)

(7)

式中：f即液體所受的體積力，包括重力。

TLD阻尼力在模型中為側壁受到的壓力差，文中取合力向右為正，向左為負。阻尼力計算公式為

(8)

式中：FTLD為阻尼力；Fright；Fleft分別為液體對計算域右側和左側產生的壓力；p(i,j)為(i,j)處計算得到的壓強；dyj為j處y方向網格間距。由此可得到TLD晃蕩時產生的阻尼力。

1.2 CIP方法

CIP(Constrained Interpolation Profile)方法最早是由Takewaki等[6]提出的求解雙曲型偏微分方程的方法。其原理是基于空間網格點的函數(shù)值及其空間導數(shù)，利用三次多項式插值近似，反演出網格單元內部變量的信息。下面以一維對流方程為例，簡介CIP方法。

(9)

式中：f為函數(shù)曲線；u為常數(shù)；x為波傳播方向。CIP采用一種獨特的方式，在一個網格內建立了高階差分格式。此法利用了網格點變量值以及空間導數(shù)值，描述并再現(xiàn)網格內的信息。

對方程(9)求空間導數(shù)，可得到

(10)

式中：g=?f/?x；對流速度u為常數(shù)；方程(10)右邊項為零。不失一般性地假設u>0的情況，在迎風向單元[xi-1,xi]內n時刻剖面函數(shù)可以近似為

(11)

式中，aibicidi分別為待定系數(shù)。

在n+1時刻，單元格的剖面函數(shù)fn+1可以將n時刻的剖面函數(shù)fn平移-uΔt得到，函數(shù)f和g的時間演變可以通過拉格朗日變換得到

(12)

式中的4個未知系數(shù)2通過下式來確定

(13)

CIP方法在一個網格內實現(xiàn)了高階差分格式，使得本文的數(shù)值模型可適用于復雜流動問題。

1.3 對時間積分的分步算法

求解Navier-Stokes方程采用分步算法(fractional step approach)對動量方程進行時間積分。計算分為兩個過程：求解對流項和求解非對流項，后者又分為求解非對流步(I)和非對流步(II)。CIP方法被運用在求解對流項過程中，來求得預測值。計算每一步的過程分為，首先計算對流項，其次求解非對流項，然后求解壓力方程，計算下一時間步壓力，最后考慮壓力梯度項，計算速度的最終值[7]。

1.4 自由面捕捉的THINC格式

計算域中的不同介質的確定是通過體積函數(shù)φm來確定的，在計算過程中每一步都需要確定自由面的位置來繼續(xù)求解。Xiao[8]提出了THINC(Tangent Hyperbolic INterface Capturing)方法，用于捕捉不可壓縮流體與氣體之間的自由面。該方法屬于VOF類方法，利用雙曲正切函數(shù)來計算流體體積函數(shù)的數(shù)值通量。下面介紹一維THINC格式，多維計算可以通過方向分割方法得到。將體積函數(shù)(4)改寫成守恒形式

(14)

與CIP格式使用三次多項式插值表示的形式不同，THINC格式利用雙曲正切函數(shù)近似體積函數(shù)的分布。體積函數(shù)0≤φ≤1在自由面的變化兩側呈階梯狀，使用分段修正的雙曲正切函數(shù)可以很好地模擬函數(shù)的變化。

(15)

雙曲正切函數(shù)非常簡潔的擬合了體積函數(shù)階梯形變化，使用分段修正的雙曲正切函數(shù)表示

(16)

(17)

參數(shù)γ用來確定雙曲正切函數(shù)的斜率方向，

(18)

(19)

在所有的網格內計算出插值函數(shù)Fi(x)后，體積函數(shù)φ通過通量形式公式更新值

(20)

式中，gi+1/2表示網格邊界x=xi+1/2上在時間[tn,tn+1]內的通量，式(14)在網格[xi-1/2,xi+1/2]和時間間隔[tn,tn+1]內進行積分得，計算公式為

(21)

一維THINC格式中的各變量如圖1所示，陰影部分代表當ui+1/2≥0時gi+1/2的值。

圖1 THINC格式示意圖Fig.1 Concept of THINC scheme

2 模型驗證

為了驗證模型的正確性，模擬了Kishev[9]晃蕩的物理模型試驗，模型配置如圖2。

圖2 計算液艙尺寸及壓力測點位置Fig.2 Sketch of tank and pressure points

裝置寬60 cm，高30 cm，無內部結構。艙壁上有壓力測點，位置如圖2。液體深度h=12.0 cm，振幅5.0 cm，周期T=1.5 s。計算采用均勻網格，網格間距2～5 mm，計算總時長25 s，時間步長dt=2×10-4～6.25×10-4s。圖3為dt=2×10-4s時，不同網格間距下計算得到的壓力值。不同網格間距計算出的壓力值與試驗值相比非常接近。圖4為網格間距為dx=dy=2 mm時，不同時間步長計算得到的壓力值?？梢钥闯觯瑫r間步長對計算結果影響較小。可以認為本文中的算法在模擬的時間步長和空間步長范圍內計算結果穩(wěn)定，對步長無依賴。在滿足收斂性的條件下，可以用較大的網格密度和時間步長，來提高計算效率和經濟性。

圖3 不同網格密度計算的壓力變化Fig.3 Pressure of different meshes

圖4 不同時間步長計算的壓力變化Fig.4 Pressure of diffrerent time steps

進一步考察單個周期內求解壓力的準確性。圖5為6.5～8 s內壓力曲線。在壓力第一個峰值處，計算值與實驗值有不同程度的偏差。造成這個的原因有計算中氣體和液體的交界面非常薄，可能僅跨幾個網格，在非常短暫的時間內，壓力從零到最大值，有一定數(shù)值的誤差，需要進一步研究。在第一個峰值之后的各壓力值是比較一致的。與實驗結果相比，總體趨勢較吻合，在最后一個峰值稍有低估。

圖5 一個周期內的壓力曲線Fig.5 Pressure profile in one period

3 TLD阻尼力計算

利用已建立的數(shù)值模型計算TLD在簡諧運動下產生的阻尼力。假設TLD尺寸寬為B，高為H，液體深度為h，根據線性理論，固有頻率為

(22)

n=1時，為第一階固有頻率，它是非常重要的參數(shù)，TLD應用時常將其第一階固有頻率調諧至結構受到主要激勵的頻率附近，使TLD能夠產生共振現(xiàn)象，劇烈的晃蕩將耗散動能，起到減振的效果。

計算選取尺寸為H=1 m，B=1 m的TLD，淺水條件下水深不超過12.5 cm，分別選取水深為5，8和12 cm三種深度計算。根據式(22)可知，三種情況下第一階固有頻率ω1分別為2.19、2.75、3.30 rad/s。在一階固有頻率附近分別施加激勵，模擬TLD中液體運動狀況。激勵頻率變化范圍ω/ω1=0.8～1.4。激勵幅度為ηA=5 cm。激勵的運動規(guī)律服從簡諧運動：x=-ηAcos(ωt+φ0)。計算不同激勵頻率以及液體深度下TLD內液體運動形態(tài)和TLD阻尼力的變化。淺水情況下不同計算工況如表1。

表1 淺水TLD計算工況Table 1 Simulation cases of shallow water TLD

3.1 淺水TLD液體運動形態(tài)

在淺水條件下，TLD中的液體運動主要表現(xiàn)為行波。如圖6為Case1ω/ω1=0.8時液體運動的形態(tài)。液體中的行波由左向右運動，水深較淺，波面產生破碎，破碎后卷入空氣，劇烈的摻混造成能量耗散。液體在繼續(xù)向右運動后，觸及右側壁面后，向上繼續(xù)運動，動能轉化為勢能，對側壁的壓強增大，與左側產生壓力差，作用在TLD側壁上，TLD整體受到向右的壓力，此即為阻尼力產生的機理。

圖6～8為Case1相同深度下，不同激勵頻率下波峰觸及右側壁時的的運動瞬間。從形態(tài)上看，頻率越大，TLD內的液體運動越劇烈。

圖6 Case1 ω/ω1=0.8水體運動瞬間Fig.6 Snapshots of Case1 ω/ω1=0.8

圖7為Case1ω/ω1=1.0時液體運動的瞬間。與圖6相比，激勵頻率變大，產生的行波運動更快，更容易破碎，因而具有更好的能量耗散的效果。

圖7 Case1 ω/ω1=1.0水體運動瞬間Fig.7 Snapshots of Case1 ω/ω1=1.0

圖 8為Case1ω/ω1=1.4時不同時刻液體運動的瞬間。相比圖6和7，流體運動更加劇烈。

圖8 Case1 ω/ω1=1.4水體運動瞬間Fig.8 Snapshots of Case1 ω/ω1=1.4

圖 9為Case2ω/ω1=0.8時水體運動瞬間，相比圖7，可以看出，由于水深增加，行波并未破碎。圖10和11比較可知，隨著頻率的增加，TLD內液體的晃蕩現(xiàn)象更加劇烈。由此可知，激勵頻率的變化對TLD內液體運動的形態(tài)有很大影響。相同尺寸和激勵幅度下，激勵頻率小于TLD固有頻率時，波浪尚未破碎，而當激勵頻率在TLD固有頻率附近時，內部液體的劇烈運動，波面發(fā)生破碎。

圖9 Case2 ω/ω1=0.8水體運動瞬間Fig.9 Snapshots of Case2 ω/ω1=0.8

圖10 Case2 ω/ω1=1.0水體運動瞬間Fig.10 Snapshots of Case2 ω/ω1=1.0

圖 12為Case3ω/ω1=0.8時不同時刻液體運動的形態(tài)。與圖6和9相比，由于水深進一步增加，液體的運動更加平穩(wěn)。圖13中可觀察到，激勵頻率增大到固有頻率附近后，波浪破碎現(xiàn)象繼續(xù)出現(xiàn)。圖14為Case3ω/ω1=1.4時不同時刻液體運動的形態(tài)，當激勵頻率繼續(xù)增加，可見波浪破碎的現(xiàn)象反而有所減輕。

圖12 Case3 ω/ω1=0.8水體運動瞬間Fig.12 Snapshots of Case3 ω/ω1=0.8

圖13 Case3 ω/ω1=1.0水體運動瞬間Fig.13 Snapshots of Case3 ω/ω1=1.0

圖14 Case3ω/ω1=1.4水體運動瞬間Fig.14 Snapshots of Case3 ω/ω1=1.4

淺水TLD當水深較小時，液體運動受到非線性作用。TLD內液體的運動形態(tài)為行波。行波在觸及側壁前就破碎，形態(tài)為卷破波，此時破碎對能量耗散有利，但破波的位置遠離側壁。當激勵頻率增加至與固有頻率附近時，會發(fā)生共振現(xiàn)象。行波在側壁處破碎，能夠產生較大的沖擊力。當激勵頻率大小超過TLD的固有頻率后，流體運動形態(tài)變得非常不規(guī)則，波面破碎位置不確定。水深增加，特別是當水深臨近TLD淺水的1/8界限時，在遠離固有頻率時波浪反而難以破碎，對于減振效果并無益處。

3.2 淺水TLD阻尼力

本節(jié)分析不同激勵條件和水深情況下，TLD產生的阻尼力的變化情況。圖15～17分別為Case1，Case2和Case3,ω/ω1=0.8,1.0,1.4時TLD產生的阻尼力隨時間變化曲線。由于液體運動非常激烈，計算值為虛線，同時加入移動平均得到的平滑值，以顯示曲線趨勢。

圖15～17中可以看出，當ω/ω1=1.0時，TLD產生的阻尼力在共振現(xiàn)象影響下，峰值很快達到了穩(wěn)定，峰值大小大于遠離固有頻率激勵下產生的阻尼力。圖16(c)中某些時刻阻尼力的峰值是大于(c)中的峰值的，但是總體來說，仍可以認為ω/ω1=1.0時的性能是優(yōu)于其他情況的。在激勵頻率靠近固有頻率時是TLD最理想的工作狀態(tài)。當ω/ω1=0.8時，三種深度下的TLD產生的阻尼力都較小。當ω/ω1=1.4時，阻尼力的峰值和ω/ω1=1.0時的阻尼力的峰值接近，但峰值大小波動性較大，不如ω/ω1=1.0時穩(wěn)定。

圖15 Case1的阻尼力Fig.15 Damping force of Case1

圖16 Case2產生的阻尼力Fig.16 Damping force of Case2

圖17 Case3產生的阻尼力Fig.17 Damping force of Case3

綜合計算結果，得到圖18不同深度阻尼力峰值大小隨頻率變化曲線?？梢钥闯黾畹念l率對TLD阻尼力有較大影響。不同深度下阻尼力峰值最大值均出現(xiàn)在ω/ω1=1.0時。

圖18 不同深度阻尼力峰值隨頻率變化曲線Fig.18 Damping force of different depth

在水深較淺的Case1中，TLD阻尼力由于淺水的非線性造成的波浪破碎和與氣體的摻混，使得計算的阻尼力波動較大，由圖15(a)可見，壓力的時間序列中若干小峰值，主要是在波面卷破時，數(shù)值模型未考慮氣體的可壓縮性，對結果有一定影響。當ω/ω1<1.0時阻尼力峰值隨著激勵頻率變大而增加，在ω/ω1=1.0時，阻尼力達到最大。當ω/ω1>1.0時，阻尼力峰值大小隨著激勵頻率增大而減小并趨于穩(wěn)定。

在水深接近1/8的臨界點的Case3中，ω/ω1<1.0時，阻尼力的峰值大小隨著激勵頻率增加而增加，在超過ω/ω1=1.0后峰值逐漸減小。

而水深介于Case1和Case3之間的Case2，阻尼力的峰值最大值同樣出現(xiàn)在ω/ω1=1.0處。當ω/ω1<1.0時，阻尼力隨著頻率增大而增大，在ω/ω1>1.0后，阻尼力的峰值逐漸變小。

本節(jié)利用數(shù)值模型計算分析了不同深度的淺水TLD的液體運動形態(tài)和阻尼力在不同激勵頻率下的變化。淺水TLD受到的激勵的頻率越靠近TLD的固有頻率時，阻尼力越大，減振效果越好。

4 結論

(1)淺水TLD在受到激勵后，內部液體運動形態(tài)為行波，當水深較淺時會發(fā)生波面的破碎，水深較深時，行波破碎現(xiàn)象在靠近固有頻率時才會發(fā)生。

(2)激勵的頻率對淺水TLD的減振效果影響較大，當頻率靠近TLD的固有頻率時，會產生共振現(xiàn)象，液體運動激烈，產生的阻尼力大，并且存在波面的破碎，耗散了動能。

(3)淺水TLD內部液體的深度對TLD減振效果有非常重要的影響，水深較淺的TLD的液體運動劇烈，減振效果更好。

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SimulationofDampingForceofTunedLiquidDamperwithShallowWater

DONG Sheng, CHEN Geng

(College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Tuned liquid damper (TLD) is an effective equipment for structural vibration control and is applied in different areas. To study and maximize the effect of TLD vibration control, the mechanics of TLD is of great significance. The reaction of liquid in TLD is a sloshing problem. Sloshing is the liquid movement in a limited space (tank) and interaction with the container. The reaction of liquid in the tank is dynamic pressure due to liquid movement. The dynamic pressure is called damping force, which is the main factor of TLD vibration control. To calculate the damping force of TLD, computational fluid dynamics model is set up. The model is based on finite difference method to solve the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equation. The Constrained Interpolation Profile (CIP) method is used in fractional step approach to solving pressure term and Tangent Hyperbolic Interface Capture (THINC) scheme, which is accurate and needs no geometry reconstruction, is employed to determine free surface location. The numerical model is validated by sloshing simulation compared with experiment data. The result shows good agreement with experiment data and the model is efficient and could simulate pressure accurately. The damping force is calculated by liquid pressure exerted on tanks.

Different cases are simulated to study the effect of water depth and the excitation frequency of TLD. The TLD is under the harmonic excitations. Three different water depths are considered and every different depth cases are tested under seven excitation frequencies from 0. 8ω1to 1. 4ω1.ω1is the natural frequency of TLD. Results show that traveling-wave is the main form of liquid moves in TLD under external excitations. Waves break when the water is shallow and excitation is near the natural frequency. The frequency of excitation has great influence on the damping effect of TLD. When the frequency is close to the natural frequency of TLD, the resonance phenomenon occurs, and the motion of the liquid is intense, the damping force is large, and the wave front is broken. Kinetic energy is dissipated violently, which enhance the effectiveness of structural vibration control. The shallow internal liquid depth of TLD has an impact on vibration control, in which liquid movement is intense and dissipate more kinetic energy.

Tuned liquid damper(TLD); sloshing; Constrained Interpolation Profile(CIP); numerical simulation

O353

A

1672-5174(2017)12-110-08

責任編輯 陳呈超

10.16441/j.cnki.hdxb.20150158

董勝， 陳更. 淺水調諧液體阻尼器阻尼力的模擬研究[J]. 中國海洋大學學報(自然科學版), 2017, 47(12)： 110-117.

DONG Sheng, CHEN Geng. Simulation of damping force of tuned liquid damper with shallow water[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(12)： 110-117.

國家自然科學基金項目(51479183)資助

Supported by Natural Science Foundation of China(51479183)

2015-04-12；

2017-01-12

董 勝(1968-)，男，教授，博導。E-mail:dongsh@ouc.edu.cn