培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何推理證明能力摭探

傅創(chuàng)華

摘 要：平面幾何教學(xué)是為了研究平面圖形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的推理證明能力，這也是平面幾何教學(xué)的難點(diǎn)，只有突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，才能防止學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)水平進(jìn)一步分化，從而不斷提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。文章對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何推理證明能力進(jìn)行探討，認(rèn)為要順應(yīng)學(xué)生的身心特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，要講清幾何概念和性質(zhì)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的基本推理技能，要詳細(xì)講解數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)過(guò)程。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何；推理證明；能力培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G421；G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2017）29-0042-02

平面幾何一直是公認(rèn)的最有利于培養(yǎng)學(xué)生推理能力的教學(xué)內(nèi)容，人教版的“幾何證明初步”這個(gè)章節(jié)就是在介紹平行線、平面圖形和全等三角形等內(nèi)容的基礎(chǔ)上編制的，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時(shí)候，主要是通過(guò)觀察、實(shí)踐操作、猜測(cè)、類比和歸納等步驟完成學(xué)習(xí)，能夠掌握一些有關(guān)平面圖形的概念、定理和判定方法，初步具備作圖和識(shí)圖的能力，并能夠通過(guò)觀察圖形進(jìn)行推理證明，這也說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)幾何推理的基礎(chǔ)。本文對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何推理證明能力進(jìn)行探討。

一、順應(yīng)學(xué)生的身心特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)

初中生處于童年向少年轉(zhuǎn)型的階段，身心在發(fā)生巨大的變化，教育心理學(xué)稱這個(gè)階段是學(xué)生向各個(gè)方面發(fā)展的危機(jī)年齡，也是危險(xiǎn)期。初中生一般都是朝氣蓬勃、活潑熱情，對(duì)很多事物充滿了新鮮感，但是他們的自控力和獨(dú)立性都比較差，情緒也不穩(wěn)定，很難將注意力集中在同一件事上，容易產(chǎn)生兩極分化，所以教師一定要順應(yīng)學(xué)生的身心特點(diǎn)開(kāi)展教學(xué)。首先要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，因?yàn)閷W(xué)生的注意力容易分散，所以教師單人講解的時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)。一般來(lái)說(shuō)，純理論的講解占據(jù)一半的課堂時(shí)間就可以，然后讓學(xué)生自己討論，之后做課后練習(xí)。課后練習(xí)的形式要注意變換，有時(shí)可以是口算，有時(shí)可以是筆算，還可以隨機(jī)抽選學(xué)生去黑板上演算，讓學(xué)生有表現(xiàn)自己的機(jī)會(huì)。在評(píng)價(jià)學(xué)生的表現(xiàn)時(shí)要以鼓勵(lì)為主，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，從而激發(fā)出更多的學(xué)習(xí)動(dòng)力。其次要重視開(kāi)發(fā)學(xué)生的非智力因素。學(xué)生的學(xué)習(xí)意志、熱情和態(tài)度對(duì)于學(xué)習(xí)幾何推理非常重要。剛開(kāi)始教授幾何課程時(shí)，教師可以先為學(xué)生講述學(xué)習(xí)幾何的重要性，列舉一些中外數(shù)學(xué)家為人類和社會(huì)做出的貢獻(xiàn)，還可以講一些和幾何有關(guān)的小故事，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)的興趣，鼓勵(lì)他們積極進(jìn)取。最后要選擇合理的教學(xué)方式，讓學(xué)生成為教學(xué)主體。課堂教學(xué)是教師和學(xué)生雙方的活動(dòng)，所以教師要想辦法讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。教師不但要使用多樣化的教學(xué)方法，還要根據(jù)不同內(nèi)容選擇不同的教學(xué)方法，譬如公式和定理這部分內(nèi)容比較適合采用“發(fā)現(xiàn)法”開(kāi)展教學(xué)，以適應(yīng)學(xué)生好奇的心理特點(diǎn)；在講數(shù)學(xué)概念的時(shí)候要采用“講解——討論——練習(xí)”模式進(jìn)行教學(xué)；開(kāi)放式的、需要探究的問(wèn)題要采用合作學(xué)習(xí)的方式，要通過(guò)多種教學(xué)方式的變換，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。

二、講清幾何概念和性質(zhì)

概念是構(gòu)成幾何推理的基本要素，在平面幾何教學(xué)中，教師應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生掌握幾何概念和性質(zhì)，并逐步做到四會(huì)：會(huì)描述、會(huì)作圖、會(huì)表示和會(huì)應(yīng)用。要想讓學(xué)生掌握這四點(diǎn)，首先要讓他們讀懂幾何語(yǔ)言，對(duì)于一些比較難懂的詞語(yǔ)要進(jìn)行重點(diǎn)解釋。例如這條定理：有且只有一條直線同時(shí)經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，這句話的重點(diǎn)在于“有且只有”，但教師要逐字逐句地分析這句話，從而幫助學(xué)生完整地理解這句話?！坝幸粭l直線”表明存在性，“有且只有”表明唯一性，這是幾何常用的語(yǔ)言形式，要讓學(xué)生引起重視，從而讓他們意識(shí)到幾何語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性。其次要注意概念的外延，要通過(guò)新舊概念、近似概念和從屬概念的比較讓學(xué)生形成完整的、精確的數(shù)學(xué)概念。例如在講解“三角形中位線”這個(gè)概念的時(shí)候，最重要的是要讓學(xué)生明白三角形中位線的定義，三角形中位線就是連接三角形兩條邊的中點(diǎn)的一條線段；然后再把它和三角形中線進(jìn)行比較分析，讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別主要在于端點(diǎn)位置的不同；接著隨便畫(huà)出一個(gè)三角形，讓學(xué)生畫(huà)出它的中位線，于是得出任意三角形都有中位線的結(jié)論；最后教師畫(huà)出多個(gè)三角形，要求學(xué)生逐個(gè)畫(huà)出它們的中位線，再結(jié)合圖形寫(xiě)出數(shù)學(xué)形式——△ABC。在具體的運(yùn)用過(guò)程中，教師要叮囑學(xué)生注意中線和中位線的差別，雖然只有一字之差，但是得出的解題過(guò)程和結(jié)論是截然不同的，學(xué)生很有可能會(huì)因?yàn)轳R虎大意而丟分，所以教師要注意強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)真審題意識(shí)。

三、重視培養(yǎng)學(xué)生的基本推理技能

在教學(xué)過(guò)程中，首先要讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)幾何證明的意義和要求。在進(jìn)行推理論證的時(shí)候，要注意滿足客觀實(shí)際的要求。論證要充分有說(shuō)服力，不能憑借主觀臆想去解題，每一步推理證明的依據(jù)都只能是題目已經(jīng)給出的，或者根據(jù)有關(guān)定理和公式可以推出來(lái)的已經(jīng)存在的定理，也就是說(shuō)幾何證明得出的結(jié)論一定是要有充分論據(jù)的，然后再通過(guò)縝密的思維進(jìn)行邏輯推理，最后得出可靠的結(jié)論。其次是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。幾何證明的命題非常復(fù)雜，而且有很多種類型。要想培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，可以教會(huì)學(xué)生幾個(gè)常用的分析推理方法。第一種，綜合法：就是從已知條件出發(fā)進(jìn)行推理，然后逐步推出結(jié)論，這是一種定向思維方式。第二種，反證法：就是先假設(shè)命題是錯(cuò)的，然后推出和已知條件或定理相反的結(jié)果，從而證明該結(jié)論是成立的。反證法是一種間接的證明方式，它的主要依據(jù)是排中律，也就是說(shuō)兩個(gè)互相矛盾的結(jié)論一定有一個(gè)是真的，一個(gè)是假的。用反證法進(jìn)行推理證明的步驟一般包括這三步：第一步是假設(shè)給定的結(jié)論是不成立的；第二步是將假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用正確的推理方法得出和已知條件或者已有定理相矛盾的結(jié)論；第三步是判定假設(shè)的命題為假命題，從而得出題目給出的結(jié)論是正確的。最后是添加輔助線，要讓學(xué)生知道在幾何證明中恰當(dāng)使用輔助線，可以讓推理證明變得更加簡(jiǎn)單。但是輔助線也不是隨意添加的，而是需要有一定依據(jù)和目的，主要是為推出結(jié)論提供服務(wù)，是已知條件通向結(jié)論的橋梁。

四、詳細(xì)講解數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)過(guò)程

定理是平面幾何的核心內(nèi)容，也是進(jìn)行邏輯推理的根據(jù)。一個(gè)定理通常都是由一道例題來(lái)呈現(xiàn)的，學(xué)生必須要掌握它的證明過(guò)程。教師在教學(xué)過(guò)程中也要充分重視，一定要把定理內(nèi)容剖析透徹，還要要求學(xué)生記住定理的內(nèi)容，并掌握推導(dǎo)過(guò)程和方法。在推導(dǎo)定理時(shí)，最關(guān)鍵的是要啟發(fā)學(xué)生結(jié)合已知條件和圖形進(jìn)行分析，然后通過(guò)觀察、推理和歸納得出結(jié)論。完成定理證明環(huán)節(jié)以后，教師要對(duì)整個(gè)過(guò)程進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生了解在推導(dǎo)過(guò)程中運(yùn)用了哪些知識(shí)點(diǎn)，主要的證明思路是什么，是否存在其他證明方法，最后要讓他們知道這個(gè)定理的適用范圍和使用方法。例如，在講解“三角形中位線定理”時(shí)，首先教師要把原本的定理內(nèi)容改成如果某條線是三角形的中位線，那么它就會(huì)和第三邊平行，而且長(zhǎng)度是第三邊的二分之一。然后結(jié)合圖形寫(xiě)出已知條件和需要求證的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生分析定理結(jié)論主要包括兩個(gè)：中位線和第三邊是平行的位置關(guān)系，中位線的長(zhǎng)度等于第三邊的一半。接著再啟發(fā)學(xué)生考慮數(shù)量關(guān)系，要想證明一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段的一半，通常都會(huì)采用畫(huà)輔助線的方式，于是學(xué)生就知道用加倍法畫(huà)出輔助線，繼而畫(huà)出分析圖，最后順利地寫(xiě)出證明過(guò)程。教師講解推導(dǎo)過(guò)程以后，學(xué)生已經(jīng)對(duì)定理有了充分的理解，教師就可以讓他們做幾道例題，使其學(xué)會(huì)活學(xué)活用，最后總結(jié)出以下幾個(gè)結(jié)論：第一，三角形的中位線性質(zhì)與平行線等分線段定理是存在很多的區(qū)別的，如果只知道三角形兩邊的中點(diǎn)就要用三角形中位線定理，如果題目告知三角形某條邊的中點(diǎn)且平行于另一邊的直線，就可以使用平分線等分線段定理。第二，如果出現(xiàn)兩個(gè)以上的中點(diǎn)，一般選用三角形中位線定理，圖形小的可通過(guò)畫(huà)輔助線來(lái)補(bǔ)全圖形，然后再進(jìn)行推理證明。

五、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理證明能力需要教師進(jìn)行科學(xué)的指導(dǎo)，詳細(xì)地講解有關(guān)概念和定理，為學(xué)生打好理論基礎(chǔ)，從而使其能夠順利地進(jìn)行邏輯推理，逐步實(shí)現(xiàn)由知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰Φ倪^(guò)程，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效率不斷提升。

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