重基礎 求創(chuàng)新 多整合

馮麗娟

摘 要：緊張忙碌的中考早已結束，靜下心來重新審視試卷，分析試題，尋找出處，提出合理化教學建議。以2017年杭州市數(shù)學中考第21題為例，從試題賞析、試題出處、解法展示、拓展延伸、教學建議幾方面作簡單分析，希望對今后的數(shù)學教學有所幫助。

關鍵詞：解題能力；綜合運用；重視課本；拓展延伸；融會貫通

緊張忙碌的中考早已結束，靜下心來重新審視試卷，分析試題，尋找出處，提出合理化教學建議。一般大家都會比較關注最后一題，也就是壓軸題。壓軸題固然重要，但不是每一個學生都能做好，對于大部分學生來說，做好基礎部分，做對、會做的部分才是至關重要的。即使是尖子生，不也要保證基礎部分不丟分，不繞彎路嗎？第21題的位置是在解答題的第5題，此題至關重要，一般來說，此題不會太簡單，不會像前幾個解答題那么一目了然就能解決，但也不像后兩題那么難，需要花費大量的時間。對于中下同學來說，此題做對了，那分數(shù)就會提高一個檔次。對于中上同學來說，在此題中不卡題，順利通關，才能留有足夠時間完成后兩題，同時也會更有底氣繼續(xù)答題。所以，無論對于哪一類學生，中考第21題必須拿下。下面就2017年杭州市數(shù)學中考第21題作簡單分析：

一、試題賞析

2017年杭州市數(shù)學中考第21題：如圖1，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B，D重合）GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，聯(lián)結AG。

（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長。

題目條件簡單明了，主要考查了特殊平行四邊形、三角形全等、勾股定理、特殊直角三角形的邊長之間的關系。但是每一小題的解答都需要添加輔助線，這就給此題增加了難度。有關特殊平行四邊形的內(nèi)容是在浙江版八上第五章，繼第四章平行四邊形之后學的。至此，初中階段由線段所組成的平面圖形基本上已經(jīng)介紹完畢。正方形是一種最特殊的平行四邊形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形。因此，它具有平行四邊形、矩形、菱形所有的性質，它還可以分割出三角形、特殊三角形等，所以把正方形放入題中，需要綜合運用多方面的知識，可以說是集合了大部分平面幾何圖形的內(nèi)容和性質，考查得比較細致，比較全面。在2016年的杭州市數(shù)學中考中，第21題也是由正方形構造的圖形，同樣需要運用正方形的性質、三角形的全等和三角函數(shù)等知識解決。說明近兩年中考，在對幾何圖形的考查上有一定的吻合性。由此可見，在幾何圖形的考查中，放入一個關于正方形的題型，并分割出一些三角形，既能考查四邊形的內(nèi)容，又涉及三角形的知識，可以比較全面地考查學生對平面幾何圖形的掌握情況，以及綜合運用相關性質的解題能力。

二、試題出處

尋找試題出處，在浙教版數(shù)學八下第五章特殊平行四邊形，課本第126頁例2：

已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，聯(lián)結AG，EF，求證AG=EF。

這個例題與中考第21題的第（1）小題相似，圖形大致一樣，只是多了一條聯(lián)結EF，解答過程都需要添加輔助線：聯(lián)結GC，不同的是課本原題是要求證AG=EF，是一個明確的結果，而要證明兩條線段相等，學生馬上可以想到證三角形全等，相對來說方法容易形成。而中考題是要寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關系，并說明理由；這是一個開放的問題，不清楚它們之間有怎樣的關系，一時間可能不易得到方法，這就在課本例題的基礎上提升了一個檔次，需要學生有足夠的平面圖形的相關知識，才能聯(lián)系這三條線段之間的數(shù)量關系，從而猜想結果并進行證明。而第（2）小題，是在原圖的基礎上又增加了一個條件，這樣的改編是源于課本，又高于課本的體現(xiàn)。其實借助正方形的一條對角線平分一組對角后，可以單獨拎出△ABG，這個三角形中，已知兩角分別為45°和60°，并且一條邊長為1，這種圖形實際上在九下第一章解直角三角形中是很常見的，準確地說應該是解斜三角形，在解直角三角形的應用中有很多這樣的實際情境。在這里，只是把這類解斜三角形放在了正方形中，與正方形的性質結合起來，增加了難度，也體現(xiàn)了數(shù)學知識之間的整合。

三、解法展示

（1）聯(lián)結GC，運用正方形邊長相等和一條對角線平分一組對角的性質，證明△ABG≌△CBG（SAS），或證明△ADG≌△CDG（SAS），得到AG=GC，再根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，證明四邊形GFCE是矩形，得到GF=EC，最后利用勾股定理得到GF2+GE2=AG2。此題中，三條線段之間的數(shù)量關系，與以往的題目有不同之處，以往判斷兩條或三條線段之間的數(shù)量關系，結果通常是兩條線段相等，或是兩條較短線段的和等于較長那條線段，像這樣的最終利用勾股定理得到三條線段的數(shù)量關系，比較少見、新穎。

四、拓展延伸

為進一步提高，以及想把一個題目的功效發(fā)揮的盡可能大，于是想到對此題進行拓展延伸。此題的第（1）問，條件不變，結論可以改為“探索AG與EF之間的關系”，這也是一個開放性的問題，而這里的關系應分為數(shù)量關系和位置關系，數(shù)量關系的證明跟之前的方法一致。位置關系的證明相對來說有一定的難度。需要延長AG，與EF相交于點M，延長FG，與AD相交于點N，證明△ANG≌△FGE（SAS）得∠NAG=∠GFE，再利用對頂角∠AGN=∠FGM，于是得到第三個角相等，即∠GMF=∠ANG=90°。這樣的改動要求學生有較完整的平面幾何圖形的性質，及較強的綜合解題能力。

在“2017年杭州市中小學教師專業(yè)技術職務晉升教學能力水平考試”中，更是將此題條件中的“正方形”改為“長方形”，并使AG⊥BD（其他條件不變），要求寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關系，并說明理由；看似小小的改動，但是卻難倒了很多參加考試的老師們。因為這樣一來，雖然點G由一個動點變?yōu)楣潭c，但是正方形特有而長方形不具有的性質不能用了，缺少了很多條件，全等就不能證了，而是要利用三角形相似等內(nèi)容來解決了，確實有點復雜，但作為教師自己可以研究探索。只有教師本人具備探索創(chuàng)新的精神，才能在平時的教學中，慢慢地滲透給學生，潛移默化地影響學生，逐步提高學生的數(shù)學綜合能力。

五、教學建議

2017年杭州市數(shù)學中考第21題注重基礎考查，題型回歸課本，又有一定的創(chuàng)新提高，貼近初中數(shù)學的教學實際。鑒于此，提出如下教學建議：

1.回歸課本，重視對課本例題的教學

課標指出，數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標，實施數(shù)學教學的重要資源。因此，在平時數(shù)學教學中應重視回歸課本，認真鉆研教材，講好、用好、學好課本，充分發(fā)揮教材的優(yōu)勢，注重學生對基礎知識的掌握和理解，才能使學生各方面的能力得到提高。同時，我們要重視對課本例題的教學，教材中所選的例題都是很典型的，是經(jīng)過精選，具有一定代表性的，例題教學具有相當重要的地位，它是學生接受新知識的起點，搞好課本例題的剖析教學，不僅能加強對概念、公式、定理的理解，而且對培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力以及抽象思維能力等方面，能發(fā)揮其獨特的功效。例題教學不是簡單地讓學生看一遍例題，或是教師說一遍例題，而是教師要設計一些有效的問題，一步步引導學生，讓學生通過自主探索，自主發(fā)現(xiàn)結論，并能通過某個例題，有一定的數(shù)學解題方法掌握。近兩年的數(shù)學中考題，都有課本例題或練習改編的，說明中考的考查也越來越趨向回歸課本，重視對學生基礎知識、基本技能的考查。學生只有順利完成了基礎部分的題目，才有能力和精力去鉆研較難的題。

2.立足課本，適時進行改編及延伸

每次的考試，題目有可能跟課本中的某個題目相似，但不可能一模一樣，有的學生學得比較死，只要題目稍稍改動，就不知如何動手，這就需要教師在平時的教學活動中慢慢滲透，逐步培養(yǎng)這方面的能力。比如在某個題目教學時，教師能適當?shù)馗淖兡硞€條件或結論，或者增加條件，進行題目的改編及再生，讓學生進一步思考，從而總結由一個題目出發(fā)，由一個知識點出發(fā)，能拓展到幾個題目，能拓寬到幾個知識點，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和整合性，有利于學生綜合數(shù)學能力的提高。在平時的教學活動中，切忌單純的就題講題，要能舉一反三，這就需要教師有足夠的基本功，課前做過大量的準備，嘗試改編及拓展，要把一個題目的功效發(fā)揮得盡可能大。

3.單元結束，及時進行歸納整理

在平時教學工作中，當每一章結束時，應及時引導學生對本章內(nèi)容進行歸納整理，才能使學生更好地掌握所學內(nèi)容。如上述題目中，有些學生不知道矩形、正方形有哪些性質，或是漏了某條性質，那么此題就不易解決。而在學習特殊平行四邊形時，確實有很多的性質和判定，學生記憶比較困難，且容易搞混。因此在復習時，應系統(tǒng)地歸納整理，把零碎的知識點串起來，可以用列表格的形式進行比較，可以借助圖形進行記憶，而不是單純地背文字，這是數(shù)學與其他功課的不同之處。讓學生的頭腦里有這樣的一些圖表，這樣學生印象比較深刻。將前后知識點融會貫通，培養(yǎng)學生綜合解決問題的能力。同時，還可以讓學生進行糾錯整理，把平時練習、考試時做錯的題目整理、歸類，再進行重點復習。

4.融會貫通，加強知識之間的聯(lián)系和整合

數(shù)學教學雖然按單元進行分類，但是每一個單元之間又有著千絲萬縷的聯(lián)系，最終的題型大多數(shù)都是你中有我，我中有你。在中考題中，經(jīng)?？梢钥吹酱鷶?shù)與幾何的碰撞，函數(shù)與圖形的結合等。如上述的題目中，有特殊平行四邊形的內(nèi)容，也有之前學的三角形全等的證明，還有之后學的三角函數(shù)的應用。往往一個題目不會是單純的一塊知識點，必定是很多知識的整合，這就需要學生在平時的學習過程中，能把前后知識融會貫通，串聯(lián)起來，而不是學了這個，丟了那個，解題過程中，如果某個知識點的遺忘或斷層，就無法順利進行下一步操作。而培養(yǎng)學生的綜合運用能力，還得靠我們教師的引導和滲透。

參考文獻：

1.郝旭嵐.2014年河北省中考數(shù)學試題賞析及反思[J].中國數(shù)學教育，2014（21）：52-55.

2.葉聰.高中數(shù)學教學應重視回歸課本[J].文理導航，2012（23）：32.