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    圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    2017-10-24 23:59:16尹麗
    未來英才 2017年18期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)應(yīng)用

    尹麗

    摘要:BaconRoger曾經(jīng)說過:數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門鑰匙,忽視數(shù)學(xué)必將傷害所有的知識,因為忽視數(shù)學(xué)的人是無法了解任何其他科學(xué)乃至世界上任何其他事物的。數(shù)學(xué)是多種學(xué)科里面最為重要的學(xué)科,隨著學(xué)習(xí)的深入,數(shù)學(xué)的難度也隨之增加,高中階段的數(shù)學(xué)中讓學(xué)生較頭疼的就是圓錐曲線參數(shù)方程這一塊的知識點了,這一方面的知識不僅難度較大,而且占有較高的分值,如何突破圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是本文重點討論的對象。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);圓錐曲線方程;應(yīng)用

    圓錐曲線類數(shù)學(xué)題目的解題關(guān)鍵是利用橢圓、雙曲等其它變形的圓錐曲線上的不同焦點進(jìn)行解題。橢圓方程、雙曲線方程在一些公式上面非常相似,所以在解答時,一定要認(rèn)真分析,牢記二者的相關(guān)概念,不要混淆,相互轉(zhuǎn)化,由點至面,熟練運(yùn)用各類方法技巧解答圓錐曲線參數(shù)方程問題。

    一、靈活轉(zhuǎn)換,利用圓錐曲線參數(shù)方程解決最值問題

    很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候存在一個誤區(qū),總認(rèn)為數(shù)學(xué)成績提不上去的原因是習(xí)題量不夠,所以有的學(xué)生會陷入一種盲目的刷題狀態(tài),而忽略學(xué)習(xí)方法和思維模式上存在的不足。學(xué)生要根據(jù)自身知識水平以及學(xué)習(xí)習(xí)慣安排數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),善于總結(jié)和歸納,了解自身知識掌握情況,有針對性的進(jìn)行習(xí)題設(shè)計,而非一味追求練習(xí)量,認(rèn)清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是建立數(shù)學(xué)思維,而不是培養(yǎng)做題機(jī)器。

    例如在這道題中:橢圓x2/a2+y2/b2(a>b>0),橢圓內(nèi)接四邊形為ABCD,各邊和對應(yīng)的坐標(biāo)軸平行,求該四邊形的周長和面積??吹竭@道題時,首先要根據(jù)已知條件畫出相應(yīng)的圖形,不難分析出該題目中的四邊形是長方形,在長和寬未知的情況下計算長方形的周長和面積有一定的難度,所以要運(yùn)用轉(zhuǎn)換思想,將長和寬和橢圓聯(lián)系起來。我們在學(xué)習(xí)橢圓概念的時候知道,x=a×cosθ,y=b×sinθ,S=4xy=4ab cosθsinθ= 2absin2θ。由于y=sinx函數(shù)的最大值是1,所以當(dāng)sin2θ=1時,四邊形的面積達(dá)到最大值,此時S=2ab;當(dāng)sin(θ+β)=1時,周長取到最大值,為(4a2+b2)1/2。這種由一般規(guī)律總結(jié)的公式可以直接拿來應(yīng)用,在做選擇題和填空題時可以有效節(jié)省計算過程,提高做題質(zhì)量。

    二、牢記定義,熟練應(yīng)用正余弦定理

    高斯曾經(jīng)說過:寧可少些,但要好些,二分之一個證明等于0,波利亞也曾說過:從最簡單的做起,這些都是說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要從基礎(chǔ)抓起,只有牢記基礎(chǔ)概念,才能有所創(chuàng)新,才能有更多發(fā)散式的思維。圓錐曲線問題復(fù)雜多變,不可能記住所有的題型,但是基礎(chǔ)知識都是通用的。解題時,可以多于同學(xué)互相討論,尋求解決問題的最簡單方法,著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過,“新的數(shù)學(xué)方法和概念,常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要”[1]。

    例如在下面這個問題中:已知雙曲線x2/a2+y2/b2(a<0,b>0),P為雙曲線上的一個動點,∠F1PF2=θ,求三角形F1PF2的面積。首先由面積公式列出S=1/2| PF1|×| PF2| sinθ,(2c)2=| PF1|2+| PF2|2- 2| PF1|×| PF2| cosθ,聯(lián)立上述兩個方程,就可以得到| PF1|×| PF2| =2b2/(1-cosθ),帶入面積公式,即可求得問題答案。

    三、發(fā)散思維,利用圓錐曲線公式解決參數(shù)方程

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的連貫性很強(qiáng),知識點的關(guān)聯(lián)性也很緊密,所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中切忌偷懶,因為有可能課堂上稍微偷個懶,老師就講過一個知識點了,自己在課下所花費的時間要遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這一節(jié)課的時間。如果課堂上有不明白的地方,要課下及時問老師或者跟同學(xué)討論,爭取不把問題留給明天,今天的問題今天解決。圓錐曲線是歷年來必考的題目,靈活多變,公式繁多,除了多練習(xí)之外,一些公式也是需要不斷背誦的,這樣才能強(qiáng)化記憶??梢远喔皩W(xué)霸”交流解題方法,以培養(yǎng)自己的發(fā)散思維[2]。

    例如在下面這道題中:已知橢圓方程是x2/a2+y2/b2(a>b>0),與x軸正半軸的交點記為M,,若是曲線上存在懂點N ,并且滿足ON垂直O(jiān)P,求橢圓的離心率范圍。在解這道題之前,要先畫草圖進(jìn)行分析,再結(jié)合自己已經(jīng)掌握的知識進(jìn)行發(fā)散式思維拓展,當(dāng)遇到瓶頸時,可以先放一放,跟同學(xué)進(jìn)行討論,如果仍然沒有想出解決方法,就要向老師尋求幫助。如果這是在考場上,不要因為一道題浪費太多時間,要懂得取舍,此外,對于這種常規(guī)題目,多多少少能寫出來一點解題步驟,能寫到哪一步就寫到哪一步,多一個公式就會多幾分。這道題就可以按照常規(guī)的步驟來寫,首先是設(shè)N點的坐標(biāo)是N(a×cosθ,b×sinθ),由已知得M(a,0),y然后由MP垂直O(jiān)N得(b×sinθ/ a×cosθ)×{b×sinθ/(a×cosθ- a)}=- 1,化簡得到b2/a2=1- 1/(1+ cosθ),再根據(jù)橢圓方程的基本定義a2=c2+b2,順利求出離心率范圍。

    四、圓錐曲線方程解題注意事項

    很多學(xué)生一看到圓錐曲線方程就頭大,會下意識認(rèn)為很難,甚至直接跳過去不做,其實圓錐曲線方程主要考察的是學(xué)生對于概念、公式的掌握情況,題目較常規(guī),尤其是大題,基本不會出得特別刁鉆。同學(xué)們利用掌握的公式和積累的解題技巧來答題,就算計算結(jié)果有誤,也會拿到一定的分?jǐn)?shù)的。這種常規(guī)題目的解題技巧關(guān)鍵在于認(rèn)真,以及平時打下的良好基礎(chǔ),在平常練習(xí)時,多總結(jié)、多歸納、多思考、多記憶,在考試的時候才不會無從下手,被它“嚇到”。學(xué)生在平時練習(xí)的時候要養(yǎng)成隨手將題目中的重點內(nèi)容圈出來,以免出現(xiàn)遺漏的地方。不要執(zhí)迷于計算結(jié)果,重點是熟悉解題思路和過程,時間充足的話,還可以嘗試突破常規(guī)解題方法,尋找新的解題途徑[3]。

    五、結(jié)語

    高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是積累解題技巧和培養(yǎng)思維習(xí)慣,學(xué)生不應(yīng)該為了“刷題”而“刷題”,而是結(jié)合自身知識水平以及做題習(xí)慣,有針對性地練習(xí)。高中數(shù)學(xué)較難,學(xué)生可以準(zhǔn)備錯題本,及時將不會或是做錯的題目記錄下來,以便考試之前翻閱,有效提高復(fù)習(xí)的效率[4-6]。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 雷鵬.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊,2016,09:134.

    [2] 王琦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育),2017,01:28.

    [3] 杜素麗.淺談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊,2014,21:126.

    [4] 毛芹.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].理科考試研究,2014(05).

    [5] 梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012(05).

    [6] 陳堯明.直線參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計[J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2011(12).endprint

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