淺析用基本不等式求函數(shù)最值

李莎

基本不等式：

在使用基本不等式時，要注意把握四個方面，即“一正，二定，三相等，四同時”。一正即各項都是正實數(shù)；二定即和為定值或積為定值；三相等即等號能否取得到，若取不到，可以利用“對勾函數(shù)“的單調(diào)性解題；四同時即多次使用基本不等式，等號要同時成立。

一、利用基本不等式求最值要注意條件的驗證

若 時，滿足不等式條件，可以直接利用基本不等式求最值；若 時，需要先轉(zhuǎn)化成 ，才能利用基本不等式求最值。

例1 若 ，求函數(shù) 的值域.

解：因為 ，所以 ，則 ，因為

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，即 時， .故函數(shù) 的值域為 .

二、通過代數(shù)變換配湊成使用基本不等式的形式

通常會出現(xiàn)“二次比一次”，“一次比二次”，“二次比二次”這三種類型.（1）對于“二次比一次”和“一次比二次”的類型，基本思路都是對一次函數(shù)整體換元，求出新的變量的范圍，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)；（2）對于“二次比二次”的類型，一般先分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成一次比二次的類型，再來求解。.

例2 已知 ，求 的最小值.

解：令 ，則 ，代回原式可得 ，

由 和對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng) 時，此時 ， .

三、“1”的變換或正常數(shù)a的變換

利用題目中的條件“1”或正常數(shù)a代換成給定的代數(shù)式，然后將需求解的函數(shù)乘以該代數(shù)式，化成可以使用基本不等的形式。

例3 已知 ，且 ，求 的最小值.

解：因為 ， ，所以

，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時， .

四、在求二元函數(shù)最值中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想和方程消元思想

例4 若實數(shù) ，滿足 ，求 的最小值。由等量關(guān)系可知，只要將需要求解的部分 之外的部分 利用不等式轉(zhuǎn)化為所求形式，然后解不等式即可。

解法一（基本不等式）：由 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號.令 ，則 ，整理得 ，解得 或 （舍去），即 ，此時， =3.

解法二（判別式法）：令 ，則 ，代入原式得， ，整理得：

， ，解得 或 （舍去）， ，解得 =3滿足題意，即 .

五、靈活選擇和運用基本不等式的變式

要靈活選擇和運用基本不等式，主要在于能觀察出所求式子與題目中給的條件的聯(lián)系，運用基本不等式靈活建立兩者之間的聯(lián)系。

例5 設(shè) ， ，求 的最大值.

解：因為 ， ，所以

，當(dāng)且僅當(dāng)， 時等號成立，解得 ，

故 .

縱觀上述求函數(shù)最值五種類型，在使用基本不等式時，一定都要把握住四個方面，即“一正，二定，三相等，四同時”。這四個方面缺一不可，若忽略了某個條件的檢驗，都有可能會出現(xiàn)。.