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    圓來是你
    ——識別基本圖形,突破圓綜合

    2017-10-20 07:36:11何麗晶
    數(shù)理化解題研究 2017年23期
    關(guān)鍵詞:垂徑平分切線

    何麗晶

    (北京市文匯中學(xué),北京 100022)

    圓來是你
    ——識別基本圖形,突破圓綜合

    何麗晶

    (北京市文匯中學(xué),北京 100022)

    初三幾何《圓》這一章屬于幾何的提高階段,要求學(xué)生綜合運用前面所學(xué)過的知識,解決問題.圓通常作為背景圖形,要用到圓的相關(guān)定義,定理,掌握一些輔助線的基本做法.同時,《圓》這一章作為幾何的綜合章節(jié),會把以前學(xué)過的其它章節(jié)融入其中,使得圓的問題更加綜合,更加復(fù)雜,也使得很多學(xué)生束手無策,望圓興嘆.如何解決這一問題呢,筆者通過對大量初三模擬題,中考題的研究,發(fā)現(xiàn)其中不乏一些解題的技巧和規(guī)律,下面將逐一探討.

    圓;做法;技巧

    圓之所以難,在于圖形復(fù)雜.所以要破解圓,最主要的是要發(fā)現(xiàn)其中的核心圖形,基本圖形.抓住這個牛鼻子,圓的問題就迎刃而解了.本文探討了圓中的基本模型.

    一、垂徑定理模型

    垂徑定理定理是圓中重要定理.其定理和推論可概括為①過圓心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?;知二推三.由半徑,弦心距,半弦長組成基本量三角形,如圖1,在這個直三角形中可應(yīng)用勾股定理.在解題中給出弦長或給出弦心距時,要注意到這個垂徑定理模型的應(yīng)用.

    例1 如圖2,已知:AB是⊙O的直徑,AE是弦,C是劣弧AE的中點,過C作CG∥AE交BA的延長線于點G.求證:CG是⊙O的切線.

    圖1圖2

    分析要證CG是⊙O的切線,需連接OC,證明∠GCO=90°.題中給出C是劣弧AE的中點,由垂徑定理知OC滿足條件過圓心,平分劣弧.所以O(shè)C⊥AE.再由CG∥AE,可知∠GCO=90°,此題得證.

    二、平行線相似模型(A字模型)

    圖3圖4

    例2 如圖4,AB是⊙O的直徑.半徑OD垂直弦AC于點E,F是BA延長線上一點,∠CDB=∠BFD.

    (1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系,并證明; (2)若AB=10,AC=8,求DF的長.

    解析(1)∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD,∴∠CAB=∠BFD.∴AC∥DF.又由于OD⊥AC,可得∠FDO=90°,即DF與⊙O相切.

    (2)由(1)問知AC∥DF,而DF在由上述平行線形成的A型相似中,所以如果知道這里的其它線段AE,EO,就可以由相似的比例關(guān)系,求出DF.

    三、雙垂模型

    在圓中,根據(jù)圓的性質(zhì),直徑所對的圓周角是直角,切線垂直于過切點的半徑.圓中經(jīng)常會有垂直條件,因此在圓中雙垂模型(兩個垂直條件)如圖5,得到的線段或角的關(guān)系有著廣泛的應(yīng)用.

    圖5圖6

    例3 已知如圖10,在ΔABC中,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,且AD=CD.

    (1)求證:AB=BC;

    (2)過點B作⊙O的切線,交AC的延長線于點F,且CF=CD,求sin∠CAE的值.

    解析(1)由于AB為直徑,所以∠ADB=90°,且AD=CD,由垂直平分線的性質(zhì)知AB=BC.

    總之,對于圓的綜合題,是初中幾何學(xué)習(xí)的重點,也是難點.方法靈活多樣,需要我們在夯實基本定義定理的基礎(chǔ)上多多感受和總結(jié).如果能夠在復(fù)雜的圖形背景中識別出這些常見的幾何模型,將會對圓的綜合能力提高有很大幫助,希望本文這些歸納能對你的學(xué)習(xí)有所裨益,有柳暗花明之感,“圓”來是你.

    [1]左文慧.淺析初中數(shù)學(xué)中圓的解題方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016(10):103.

    [2]崔楓,鮑俊林.中學(xué)數(shù)學(xué)幾何課教學(xué)模式探討[J].中學(xué)教學(xué)參考,2013(2):28.

    G632

    A

    1008-0333(2017)23-0022-02

    2017-07-01

    何麗晶(1981.3-), 女, 黑龍江省佳木斯市,北京科技大學(xué)碩士,中學(xué)一級 ,從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

    [責(zé)任編輯李克柏]

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