兩點間距離公式在中考難題中的應用

薛 丹

(常州市清潭中學，江蘇 常州 215000)

兩點間距離公式在中考難題中的應用

薛 丹

(常州市清潭中學，江蘇 常州 215000)

常州中考是“畢業(yè)考試”與“升學考試”兩卷合一，這就要求在命題上兼顧“水平測試”與“選拔性考試”的雙重功能，在這大背景下，中考能力題難度加大大勢所趨，這就更需要學生對初中數(shù)學知識能綜合靈活運用，但某些難題如果借助高中數(shù)學知識可以輕易解決．因此，教師在日常教學中可以適當介紹一些利用初中數(shù)學知識可推導得出的高中數(shù)學公式，譬如本文所涉及到的平面直角坐標系中兩點間距離公式．

中考；兩點間距離公式；應用

一、預備知識

1.若兩點都在x軸上，且已知A(x1，0)，B(x2，0)時，有|AB|=|x2-x1|，即AB2=(x2-x1)2．

2.若兩點都在y軸上，且已知A(0,y1)，B(0,y2)時，有|AB|=|y2-y1|，即AB2=(y2-y1)2．

3.若已知兩點坐標為A(x1,y1)，B(x2,y2)．作點A關于x軸的垂線，再作點B關于y軸的垂線，兩條垂線交于C點．如右圖：

顯然∠C=90°，這樣我們就構(gòu)造出了一個直角三角形ABC，而我們要求的AB就是這個直角三角形的斜邊.由題意得C(x1,y2)，則AC2=(y2-y1)2，BC2=(x2-x1)2.

即兩點間的距離等于這兩點的橫坐標之差的平方與這兩點的縱坐標之差的平方和的算術平方根．

引例(1)已知A(3，0)，B(0，4)，求AB；(2)已知C(2，1)，D(-1，-1)，求CD.

解(1)AB2=(3-0)2+(0-4)2=25，則AB=5.

二、兩點間距離公式在中考難題中的應用

1.數(shù)量關系

解由題意得：點A(2，0)，點B(0，1)，

2.最值問題

例2 (2014年常州市中考模擬第17題)已知點A(0，-4)、B(1，0)、C(a，-a)，若過點C的圓的圓心是線段AB的中點，則這個圓的半徑的最小值等于________．

解∵點A(0，-4)，B(1，0)，

∵點C(a，-a)在⊙O上，

3.等腰三角形

②若AB=BC，則AB2=BC2，即

4.直角三角形

例4 (2016年常州市一模第27題)如圖，已知直線y=x+b(b>0)與x、y軸分別交于A、B兩點，點C(1，0)，過點C作垂直于x軸的直線l．在直線l上取一點P，滿足PA=PB．點A關于直線l的對稱點為點D，以D為圓心，DP為半徑作圓D．試說明：直線BP與圓D相切．

解由題意得：B(0,b)，D(2+b,0)，P(1,-1).

則BD2=(2+b)2+b2，PB2=12+(b+1)2，PD2=(b+1)2+12.

易得BD2=PB2+PD2，則DP⊥BP.

又∵BP經(jīng)過圓D半徑外端，

∴直線BP與圓D相切.

綜上所述，如果在平面直角坐標系中線段兩端端點可用未知元素表示，則我們可以利用兩點間距離公式將其所對應的線段長表示出來，線段長可表示即可尋找等量關系構(gòu)造方程進行求解，從而將未知元素求出．而如果純粹使用初中數(shù)學知識對類似問題加以解決的話，需要學生具有較強的識圖能力，能對初中數(shù)學知識加以綜合運用，這樣的要求對絕大多數(shù)考生而言略高．所以教師在中考總復習中還應適當補充學生能理解能使用的簡單高中數(shù)學公式．

[1]李朝東.2013年江蘇十三大市中考試卷匯編[M].寧夏:寧夏人民教育出版社，2013.

G632

A

1008-0333(2017)23-0005-02

2017-07-01

薛丹(1980.12-)，男，江蘇常州人，中學一級教師，大學本科，主要研究中考解題技巧.

[責任編輯李克柏]