學(xué)會逆向思考，讓學(xué)習(xí)事半功倍

楊馬榮

(云南省曲靖市富源縣勝境街道第一中學(xué)，云南 曲靖 655500)

學(xué)會逆向思考，讓學(xué)習(xí)事半功倍

楊馬榮

(云南省曲靖市富源縣勝境街道第一中學(xué)，云南 曲靖 655500)

在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維非常重要，在學(xué)生們的學(xué)習(xí)過程中會遇到一些題目，這些題目看起來是不難，但是會感到無從下手，即使會做也要耗費(fèi)大量時間.但是如果學(xué)生們能夠熟練運(yùn)用逆向思維，做到事半功倍會是一件輕而易舉的事情.

化簡為繁；反向推理；正難則反

逆向思維是初中教學(xué)過程中的難點(diǎn)，逆向思維的教學(xué)需要受到我們老師的高度關(guān)注.許多題目正面解決往往并不可行，耗費(fèi)了時間卻無法真正解決問題，而且一些證明題直接證明對于學(xué)生也有難度，而通過逆向思考，不但可以大大節(jié)省時間，還能明晰學(xué)生的解題思路，只要花費(fèi)很少的時間就能解決問題，真正做到事半功倍.

一、化簡為繁，巧妙化簡

對于一些分式化簡的題目，直接地化簡有時候會非常繁瑣，用常規(guī)的方法很難做出結(jié)果，但是如果此時根據(jù)實際題目，巧用逆向思維，往往會有意想不到的效果.

點(diǎn)撥對于本例，如果不能根據(jù)式子對1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即使花費(fèi)大量時間，也不能得到正確的結(jié)果，本題的關(guān)鍵在于“1”的妙用，進(jìn)行反向思考，化簡為繁，向后退一步的目的是為了邁出更大的一步.當(dāng)然化簡中的反向思考也不僅僅局限于此，其它的數(shù)字，其它的式子也都可以反向思考，而這就需要細(xì)心觀察，做好積累.

二、反向推理，巧妙證明

對于平面幾何的證明題，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的老大難問題，究其原因，學(xué)生的熟練程度固然是一個方面，另一方面就是學(xué)生對于反向推理比較陌生.如果學(xué)生能夠掌握反向推理，根據(jù)所給的結(jié)論進(jìn)行逆向推理，許多看似無法下手的證明題便會迎刃而解.

例2 如圖，AB=AD，CB=CD,E、F分別為AB、AD的中點(diǎn).求證：CE=CF.

解析本題看似條件充足，但是細(xì)看之后便會感覺無從下手，題干中所給的條件似乎無法聯(lián)系起來，此時不妨反其道而行，從所要證明的結(jié)論入手，進(jìn)行反向推理，然后可以發(fā)現(xiàn)題干中各個條件之間的聯(lián)系.

根據(jù)結(jié)論CE=CF，可以考慮什么條件下結(jié)論會成立，而根據(jù)已知條件CB=CD，BE=DF，自然而然的應(yīng)該知道△DFC≌△BEC，我們繼續(xù)反推，要想△DFC≌△BEC這一條件成立，要滿足什么條件呢？根據(jù)已知條件，已經(jīng)有兩條邊相等，需證明∠B=∠D，要想證明∠B=∠D，則可證明△ABC≌△ADC，我們可以添加輔助線AC，三邊相等，易得△ABC≌△ADC，然后剩下來的可以依次推倒，在此不再贅述.

點(diǎn)評在本例中，通過將所要證明的結(jié)論當(dāng)作已知條件，進(jìn)行反向推理，這樣做在推理過程中可以做到思路清晰，按部就班，對于此類證明題是很好的解決方法.學(xué)生掌握好反向推理，懂得逆向思維之后，對于此類平面證明題必然會游刃有余，不再慌亂.

三、正難則反，巧解實根

學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會遇到一些問題，這些問題如果直接求解會有許多種情況需要考慮，需要耗費(fèi)很多時間，如果正面求解會使得學(xué)生本就寶貴的時間更加匱乏.這種情況下不妨從問題的反面入手，通過仔細(xì)閱讀題目，找到問題的反面，也許求解過程會容易許多，能夠事半功倍.

例3 假設(shè)一下三個方程x2-2mx+m2-m=0，x2-(4m-1)+4m2+m=0和4x2-(12m+4)x+9m2+8m+12=0中至少有一個方程有實根，求m的范圍.

解析題干中“至少有一個方程有實根”，這就會牽扯到很多情況，是哪一個方程呢？有幾個方程呢？有實根的方程是有幾個實根呢？如果將那些情況都一一考慮，既耗費(fèi)大量時間，又會容易做錯，筆者認(rèn)為這種方法不可行，違背了數(shù)學(xué)思想中所追求的簡潔.此時，如果我們從逆向思考，“至少有一個實根”它的反面不就是“一個實根也沒有”，故我們只需考慮“一個實根也沒有”的情況，然后在根據(jù)結(jié)果求出“至少有一個實根”條件下m的范圍.

假設(shè)題中三個方程都沒有實根，那么

點(diǎn)撥在本例中，通過考慮問題的另一面，使得問題的解決容易許多.筆者認(rèn)為，老師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中提醒學(xué)生注意“至少”、“只有”等一些詞語，這些詞語的出現(xiàn)往往就意味著需要用到反向思維，學(xué)生們?nèi)绻茏⒁獾竭@一點(diǎn)，往往會少走許多彎路，節(jié)省本就寶貴的時間.

本文通過三個例子，論述了逆向思考的一些應(yīng)用，逆向思考在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛.要想訓(xùn)練學(xué)生的逆向思考能力，需要老師們的不斷努力，從日常的教學(xué)工作中總結(jié)、歸納和升華，讓學(xué)生們?nèi)轿坏馗惺苣嫦蛩季S，掌握逆向思維，讓學(xué)習(xí)事半功倍.

[1]趙春祥.補(bǔ)集思想在集合中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化,2013(07).

[2]韓承昀.怎么證明至少有一個方程有(無)實根[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2013(03).

G632

A

1008-0333(2017)23-0025-02

2017-07-01

楊馬榮(1980.4-)，男，云南曲靖人，中學(xué)高級教師，大學(xué)本科，初中數(shù)學(xué)教學(xué).

[責(zé)任編輯李克柏]