微分算子第二特征值的上界不等式

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

應(yīng)用數(shù)學(xué)

微分算子第二特征值的上界不等式

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮微分算子第二特征值的上界不等式的問(wèn)題。 利用試驗(yàn)函數(shù)、多次分部積分、Rayleigh定理、Schwarz不等式與Young不等式等，得到用微分算子的第一個(gè)特征值來(lái)估計(jì)第二個(gè)特征值的不等式，其不等式在物理學(xué)和力學(xué)中應(yīng)用廣泛，在微分方程的理論研究中有重要的作用。

微分算子；特征值；特征函數(shù)；上界；不等式

Abstract：This paper considers the inequality of the upper bound of second eigenvalue for the differential operator. The inequality of the upper bound of second eigenvalue is deduced from first eigenvalue by using testing function， Rayleigh theorem，multiple partial integration，Schwarz inequality and Young inequality. The result is widely used in physics and mechanics，and it plays a significant role in the research of differential equations.

Keywords：differential operator；eigenvalue；eigenvaluefunction；upper bound；inequality

設(shè)(0，1)?R 是一個(gè)有界開(kāi)區(qū)間，考慮特征值問(wèn)題

式中：D-1y=0，D0y=y，k=1，2，…，s，s＞t≥1是任意整數(shù)；p( x)∈ Ci[0,1]，i=t+1，t+2，…，s；iq( x)∈ Ct[0,1]，還滿足條件

式中：0＜μ1≤μ2；0＜v1≤v2。

當(dāng)s＞t≥2時(shí)，問(wèn)題(1)特征值的上界估計(jì)已有一些結(jié)果[1-5]。在本文中，考慮微分算子(1)并且左端的最低導(dǎo)數(shù)階數(shù)比右端的導(dǎo)數(shù)階數(shù)恰好高二階的問(wèn)題，且s＞t≥1，這個(gè)問(wèn)題是文獻(xiàn)[1]的推廣。 運(yùn)用文獻(xiàn)[6]中的方法，對(duì)于任意整數(shù)s＞t≥1的微分算子，得到了問(wèn)題(1)的用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的不等式，其結(jié)果在微分方程的理論研究和力學(xué)的應(yīng)用中起著重要的作用[7]。

定理1 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，當(dāng)時(shí)，則有

定理2 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，當(dāng)時(shí)，則有

注 如果取s=t+1，a=0，b=1，得到文獻(xiàn)[1]中的(1.4)和(1.5)，即

當(dāng)時(shí)，

所以文獻(xiàn)[1]的結(jié)果是本文中的一個(gè)特例。

1 定理的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征函數(shù)為y1，簡(jiǎn)記y=y1，且滿足

利用t次分部積分和式(6)，得

利用s次分部積分和式(7)，有

利用式(2)和式(8)，得

利用式(3)和式(7)，有

利用分部積分，直接計(jì)算得

利用Rayleigh定理，得

計(jì)算得

利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，有

由式(13)和式(14)，得

利用式(15)，有

利用式(12)和式(16)，得

引理1 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ1的特征函數(shù)，則

證明 對(duì)于(a)，參考文獻(xiàn)[4]。

對(duì)于(b)，反復(fù)運(yùn)用引理1(a)和式(10)，得引理1(b)。

引理2 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ1的特征函數(shù)，則

證明 對(duì)于(a)，用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)r=t時(shí)，利用式(10)，不等式顯然成立。

當(dāng)r=k+1時(shí)，利用分部積分、Schwarz 不等式和歸納假設(shè)，得

化簡(jiǎn)整理，有

即引理2(a)成立。

對(duì)于(b)，反復(fù)運(yùn)用引理1(a)和式(10)，得

即得引理2(b)。

引理3 設(shè)y是問(wèn)題(1)所對(duì)應(yīng)的第一特征值λ1的特征函數(shù)，則

(b)式中δ是任意正實(shí)數(shù)；

式中δ是任意正實(shí)數(shù)。

證明 對(duì)于(a)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)、式(3)和式(7)，得

整理后得引理3(a)。

對(duì)于(b)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)和Young不等式，有

式中δ是任意正實(shí)數(shù)。

對(duì)于(c)，當(dāng)t≥2時(shí)，利用Schwarz不等式、引理1(b)、式(3)和式(7)，得

對(duì)于(d)，在引理2(b)中，取r=i-1，利用式(2)，得

對(duì)于(e)，利用Schwarz不等式、式(2)、引理2(b)和引理3(b)，得

式中δ是任意正實(shí)數(shù)。

引理4 設(shè)λ1是問(wèn)題(1)的第一特征值，則

式中δ是任意正實(shí)數(shù)，且

證明 利用分部積分和?(x) = (x ? d) y，得

當(dāng)t=1時(shí)，

不論當(dāng)t=1時(shí)，或者當(dāng)t≥2時(shí)，可得

利用式(18)、式(19)、式(20)和式(21)，有

利用式(22)和引理3，得

式中δ是任意正實(shí)數(shù)，且

引理5 對(duì)于φ(x)與λ1，則

證明 利用分部積分和φ(x)=(x-d)y，得

利用式(23)，有

利用式(10)和式(24)，得

在引理2(b)中，取r=t+1，利用式(10)、式(25)和Schwarz不等式，有

整理，可得引理5。

定理的證明：利用引理4和引理5，由式(17)，得到

式中δ是正實(shí)數(shù)，且滿足為了使式(26)的右端取到最小值，可以適當(dāng)選取正實(shí)數(shù)δ，由于以，當(dāng)時(shí)，取即可得到定理1的式(4)。當(dāng)取即可得到定理2的式(5)。

[1]陳靜，錢椿林.任意階微分方程第二廣義特征值的上界估計(jì)[J]. 江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2006(3)：43-45.

[2]盧亦平，錢椿林.高階微分算子帶權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，20(6)：4-7.

[3]盧亦平，錢椿林.一般混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計(jì)[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，27(4)：27-34.

[4]盧亦平，錢椿林.微分方程帶一般權(quán)的第二特征值的上界估計(jì)[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，19(10)：7-9.

[5]《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)》編委會(huì). 現(xiàn)代應(yīng)用分析卷[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1998.

[6]HILE G N，YEN R Z. Inequalities for eigenvalue of the biharmonic operator[J]. Pacific J.Math，1984(1)：115-133.

[7]PROTTER M H. Can one hear the shape of a drum? [J].SIAM Rev.，1987(2)：185-197.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

The Inequality of the Upper Bound of Second Eigenvalue for the Differential Operator

ZHAO Xiaosu，QIAN Chunlin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

O175.1

A

1008-5475(2017)03-0043-07

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.03.009

2017-03-30；

2017-04-28

趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，副教授，主要從事算子特征值估計(jì)研究。

趙曉蘇，錢椿林. 微分算子第二特征值的上界不等式[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28(3)：43-49.