混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下支付紅利的歐式期權(quán)定價

孫嬌嬌，芮紹平，張 杰

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下支付紅利的歐式期權(quán)定價

孫嬌嬌，芮紹平，張 杰

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

假定標(biāo)的資產(chǎn)價格由混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動時，考慮在買賣期權(quán)交易過程中支付紅利時歐式看漲期權(quán)的價值。在離散時間情景下，運(yùn)用自融資風(fēng)險對沖思想得到期權(quán)價值滿足的偏微分方程。為了便于求解，通過Mellin變換將偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕某Ｎ⒎址匠?，結(jié)合歐式看漲期權(quán)的終端條件，最終得到偏微分方程的解析解，即歐式看漲期權(quán)定價公式。

Mellin變換；混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；歐式期權(quán)；風(fēng)險對沖；解析解

Abstract：Assuming that the price of the underlying asset is driven by mixed bi-fractional Brownian motion，this paper considers the value of a European call option with paying dividends in the trade process of buying and selling options. By a self-financing risk hedging argument in a discrete-time setting， the partial differential equation for the option value is obtained. In order to facilitate is solution， the partial differential equation is transformed into ordinary differential equation through Mellin transform. Combined with the terminal conditions of the European call option， the analytic solution for the partial differential equation is derived. The pricing formula of the European call option with dividends under mixed bi-fractional Brownian motion is obtained.

Keywords：Mellin transform；mixed bi-fractional Brownian motion；European option；risk hedging；analytic solution

混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的推廣。Kruk，Russo和Tudor[1]在2007年研究了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的隨機(jī)積分。在此基礎(chǔ)上，我國眾多學(xué)者展開了對混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型的研究，如荊卉婷等[2]討論混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動在公司的違約概率、票息債券與股票權(quán)益以及信用價差中的應(yīng)用。當(dāng)股票價格由混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動時，徐峰[3]運(yùn)用風(fēng)險對沖原理建立歐式期權(quán)價值所滿足的偏微分方程模型，并結(jié)合邊界條件和熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解的形式得到歐式期權(quán)的定價公式。張杰等[4]研究混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下企業(yè)的違約概率隨參數(shù)值變化的期限結(jié)構(gòu)性態(tài)，為企業(yè)規(guī)避風(fēng)險提供一定幫助。

近些年來，Mellin變換常被用來求各種期權(quán)價值所滿足的解析式，因?yàn)檫@種變換會讓期權(quán)價值滿足的偏微分方程變得更簡單.Panini和Srivastav[5]運(yùn)用Mellin變換得到歐式期權(quán)和一籃子期權(quán)的定價公式，接著他們又在文獻(xiàn)[6]中對永久美式期權(quán)定價問題進(jìn)行了研究。Elshegmani和Ahmed[7]利用Mellin變換推導(dǎo)出算術(shù)平均亞式期權(quán)價值滿足的解析解。Frontczak[8]通過Mellin變換技巧來求解一個積分偏微分方程，從而得到跳擴(kuò)散模型下期權(quán)定價公式。Yoon和Kim[9]利用雙重Mellin變換得到Hull-White隨機(jī)利率環(huán)境下障礙期權(quán)的定價公式。Kim和Koo[10]運(yùn)用Mellin變換得到帶有信用風(fēng)險交換期權(quán)解析式并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)給出這類期權(quán)的一些重要性質(zhì)。本文主要運(yùn)用Mellin變換得到混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下帶有紅利支付的歐式期權(quán)定價公式。

1 預(yù)備知識

1.1 混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的定義與性質(zhì)

定義1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個完備的概率空間，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動指的是以σ，ε，H和K為參數(shù)的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和一個獨(dú)立布朗運(yùn)動的線性組合，其公式為

式中：Bt是布朗運(yùn)動；BtH,K是以H∈(0，1)，K∈(0，1]為指數(shù)的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；σ和ε是兩個實(shí)常數(shù)，且σε≠0。

根據(jù)定義，可以證明混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1XtH,K是中心高斯過程，但既不是Markov過程也不是半鞅。

性質(zhì)2 對任意的s，t∈R+，XH,K和XH,K的協(xié)方差函數(shù)為st

性質(zhì)3 混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動XtH,K(σ, ε)是H K-自 相似 的 ，即 對 ?h＞0，過程XhHt,K(σ, ε) 和XtH,K(σ hHK,εh12)具有相同的分布。

性質(zhì)4 當(dāng)HK＞1/2時，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有長相依性。

由混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的定義和性質(zhì)知，當(dāng)H=1時，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動退化成混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動。

1.2 Mellin變換

定義2 對于可積函數(shù)f(x)，x∈R+，定義Mellin變換M[f(x)，z]，z∈C為

式中a＜c＜b。

事實(shí)上，當(dāng)a＜R(z)＜b時，由式(2)定義的Mellin變換是收斂的，其中

引理1 (Mellin變換的卷積公式)假定Mellin變換f?( z )，g?( z )存在，則對于可積函數(shù)f(x)和g(x)，x∈R+，利用?( z)( z )可給出f和g的卷積公式

2 混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下期權(quán)價格模型

2.1 模型假設(shè)

模型假設(shè)：①買賣證券過程中不考慮交易費(fèi)用，即市場是無摩擦的；②證券交易是連續(xù)進(jìn)行的，且允許被賣空；③不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；④投資組合每隔δt時間段調(diào)整一次，其中δt表示較小的時間步長；表示債券D在t時刻的價值，滿足方程

式中短期市場利率r是常數(shù)。⑥令St為標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻的價格，假定滿足隨機(jī)微分方程

式中股票的期望回報(bào)率μ與紅利率q均為非負(fù)常數(shù).為方便研究，假定1/2＜HK＜1。

2.2 模型推導(dǎo)

定理1 設(shè)Ct=C( St, t )為歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格，K為到期日股票的執(zhí)行價格，則在股票價格滿足隨機(jī)微分方程(7)的條件下歐式看漲期權(quán)價值所滿足的偏微分方程模型為

且Ct滿足終端條件

證明 構(gòu)造投資組合：Y1( t )單位的股票和Y2(t )單位的無風(fēng)險債券.該組合在時刻t的價值為

式中δSt，δDt分別表示股票價格和無風(fēng)險債券價格的變化量。

由于時間步長δt很小，從而由Taylor公式得到期權(quán)價格在時間區(qū)間內(nèi)的變化量為

由假設(shè)③知，為了降低套利機(jī)會，投資組合的價值必等于期權(quán)的價值，即

由假設(shè)④，交易僅發(fā)生在t和t+δt處，故由式(12)和式(13)，得

從而得到混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式期權(quán)價值所滿足的模型，即式(8)。

3 模型的求解

主要運(yùn)用Mellin變換求出偏微分方程(8)的解析解，由此得到定理2。

定理2 假定到期日為T，敲定價格為K，則混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)在任意時刻t∈ [ 0 ,T ]的價格Ct為

證明 令C?( St, t )表示歐式看漲期權(quán)價格C( St, t )的Mellin變換，則利用Mellin變換定義，將偏微分方程(8)變成

其解為

根據(jù)Mellin逆變換的定義得

則由引理2，知

由Mellin變換的卷積公式(引理1)及式(20)，得期權(quán)的價格

4 結(jié)論

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型，利用自融資策略得到帶有紅利支付的歐式看漲期權(quán)價值所滿足的偏微分方程。運(yùn)用Mellin變換得到混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)價值的定價公式，這種變換方法使得求解偏微分方程過程變得更簡單，可用于奇異期權(quán)的定價問題。采用混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價格變化過程更符合現(xiàn)實(shí)的金融環(huán)境，在某種程度上比傳統(tǒng)的Black-Scholes模型有所改進(jìn)。

[1]KRUK I，RUSSO F，TUDOR C A .Wiener integrals，malliavin calculus and covariance structure measure[J].J Funct Anal，2007，249：92-142.

[2]荊卉婷，龔天杉，牛嫻，等.混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的信用風(fēng)險模型[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，29(5)：586-601.

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[4]張杰，陳宗新，馬海燕.混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下違約概率的動態(tài)研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，32(1)：26-27.

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[11]RUSSO F，TUDOR C. On the bifractional Brownian motion[J].Stochastic Processes and Their Applications，2006，116(5)：830-856.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Pricing European Option with Dividends Under Mixed Bi-fractional Brownian Motion

SUN Jiaojiao，RUI Shaoping，ZHANG Jie
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China)

O211.6

A

1008-5475(2017)03-0050-05

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.03.010

2017-03-08；

2017-04-05

安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1508085SMA204)

孫嬌嬌(1987-)，女，安徽懷寧人，助教，碩士， 主要從事金融數(shù)學(xué)研究。

孫嬌嬌，芮紹平，張杰. 混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下支付紅利的歐式期權(quán)定價[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28(3)：50-54.