p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問(wèn)題研究

朱勝蘭，李濤會(huì)

(無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 無(wú)錫環(huán)境科學(xué)與工程研究中心， 江蘇 無(wú)錫 214153)

p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問(wèn)題研究

朱勝蘭，李濤會(huì)

(無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 無(wú)錫環(huán)境科學(xué)與工程研究中心， 江蘇 無(wú)錫 214153)

p-Laplacian橢圓型方程；Pohozaev恒等式；解的不存在性

Keywords: p-Laplacian elliptic equations; Pohozaev constant equation; nonexistence of solutions

利用Pohozaev恒等式來(lái)證明偏微分方程沒(méi)有非平凡解始于1965年P(guān)ohozaev在文獻(xiàn)[1]中關(guān)于二階半線性橢圓型方程齊次Dirichlet問(wèn)題的正則解建立的積分恒等式。由于Pohozaev恒等式在研究解的不存在性的同時(shí)也就得到了解存在的必要條件，從而引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視，并被積極地推廣。

本文我們主要討論下面的p-Laplacian橢圓型問(wèn)題

(1)

不存在非平凡解。

關(guān)于問(wèn)題(1)解的存在性和非存在性及其多解性的研究已經(jīng)取得了豐富的成果。

2008年， Lari在文獻(xiàn)[2]中又研究了問(wèn)題(1)在f(x,u)=p(x)uα+q(x)uβ時(shí)，即

Δu=p(x)uα+q(x)uβ

(2)

整體解的存在性和不存在性。這里0<α≤β，p,q是非負(fù)連續(xù)函數(shù)。筆者通過(guò)研究得到如下結(jié)果：

1) 假設(shè)0<α≤1<β且函數(shù)p,q滿足條件

(3)

2) 若方程Δv=q(x)vβ(β>1)沒(méi)有非負(fù)整體大解，那么半線性橢圓方程(2)也沒(méi)有非負(fù)整體大解。

另外，在文中 Lari還證明了方程

Δu=u+e-|x|uβ(β>2)

(4)

也沒(méi)有正的整體大解。

最近， Wu在文獻(xiàn)[3]中對(duì)式(1)中的

(5)

解的存在性問(wèn)題進(jìn)行了探索，筆者通過(guò)變分方法發(fā)現(xiàn)其在滿足一定條件時(shí)在RN上存在多個(gè)正解。這里1

與上面文獻(xiàn)不同的是：本文主要是利用Pohozaev恒等式來(lái)證明幾類p=2的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性。

1 主要結(jié)論

(6)

(7)

(8)

注意到

(9)

(10)

那么對(duì)于等式(8)有

(11)

(12)

注意到

(13)

所以

(14)

(15)

即存在rn→∞使得

(16)

下面用反正法來(lái)證明結(jié)論式(15)。

(17)

那么就可以取rn=r0+n,n=1,2,3,…，當(dāng)所有n→∞時(shí)，rn→∞且r0

(18)

所以有

(19)

在式(14)中取r→∞得

(20)

結(jié)論得證，到此，定理1的證明全部結(jié)束。

定理2 假設(shè)定理1中的條件滿足，且f(x,u)∈L1(R1)，若存在α∈R1,u≠0，使得

(21)

則方程

-Δu+f(x,u)=0x∈R

(22)

沒(méi)有非平凡解。

2 實(shí)例認(rèn)證

下面用一個(gè)具體的例子進(jìn)行說(shuō)明。

例如：在全空間上考慮方程

(23)

這里，1

證明：由式(23)知此時(shí)式(6)中

所以

(24)

(25)

則可以得到

(26)

所以

(27)

從而可得

(28)

那么根據(jù)所給的條件，方程(23)在下列3種情況下于空間εr,s內(nèi)均無(wú)平凡解：

1)r<2*，s<2*，λ1,λ2≥0；

2)r>2*，s>2*，λ1,λ2≥0；

3)r<2*，s>2*，λ1,λ2≤0。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先介紹了由Pohozaev 提出的恒等式，然后運(yùn)用它證明相關(guān)的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性，得到更廣泛的解存在的必要條件，并給出了一些具體的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證結(jié)論。

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[3] WU T F.Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in RN involving sign-changing weight[J].Funct.Anal.,2010,258:99-131.

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[12] LARI A V,WOOD A W.Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems[J].Diff.Equat,2000,164:380-394.

(責(zé)任編輯何杰玲)

StudyontheNonexistenceofSolutionsforP-LaplacianEllipticEquation

ZHU Shenglan, LI Taohui

(Wuxi Environmental Science and Engineering Research Center, Wuxi City College of Vocational Technology, Wuxi 214153, China)

2016-12-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201115); 江蘇省科技廳基礎(chǔ)研究計(jì)劃(自然科學(xué)基金)——青年基金項(xiàng)目(BK20140126)

朱勝蘭(1984—)，女，博士，講師，主要從事偏微分方程研究，E-mail:zhushenglan2164@126.com。

朱勝蘭，李濤會(huì).p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問(wèn)題研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(9):200-204.

formatZHU Shenglan, LI Taohui.Study on the Nonexistence of Solutions for P-Laplacian Elliptic Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(9):200-204.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.031

O29

A

1674-8425(2017)09-0200-05