數(shù)學(xué)文化視角下的中考試題賞析與思考

楊虎+吳學(xué)文

數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，一直受到數(shù)學(xué)教育家的普遍關(guān)注，近年來中考中蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)文化價(jià)值的試題也頗受各地命題者的青睞。本文以近兩年部分省市的中考題為例，賞析中考試題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化。

一、鑲?cè)胫袊糯鷶?shù)學(xué)文化

世界上每個(gè)民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。古代中國也不例外，其傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著輝煌的成就。中國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用為主，卻也在算法上得到了長足的發(fā)展?！毒耪滤阈g(shù)》中的“勾股”；《周髀算經(jīng)》中的“趙爽弦圖”，都以算法見長；《易經(jīng)》中的方法論、計(jì)數(shù)原理；《算法統(tǒng)宗》里的方程與不等式思想；楊輝（賈憲）三角以及負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開根法，祖沖之的圓周率計(jì)算都是我們寶貴的民族數(shù)學(xué)文化。

例1（2016年孝感）《九章算術(shù)》是東方數(shù)學(xué)思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何?！逼湟馑紴椋骸敖裼兄苯侨切?，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少步?！痹搯栴}的答案是 步。

分析：根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，再由公式[r=a+b-c2]確定出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而得到直徑。

賞析：《九章算術(shù)》共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問題，分為九章。其中第九章“勾股”，利用勾股定理求解的各種問題，絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會生活密切相關(guān)的。本題正是以當(dāng)時(shí)人們的生活為背景提出的數(shù)學(xué)問題，對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活問題的能力起到了很好的訓(xùn)練。這里求解看似信手拈來，實(shí)際上要順利解決本題，要求學(xué)生對勾股定理以及直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式熟練掌握才行。

例2（2016年孝感）如圖1是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么[tan∠ADE]的值為 ？

分析：小正方形EFGH面積是[a2]，則大正方形ABCD的面積是[13a2]，則小正方形EFGH邊長是[a]，則大正方形ABCD的邊長是[13a]，設(shè)AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用正切函數(shù)即可解答。

賞析：《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，是算經(jīng)的十書之一，中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作。它在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應(yīng)用，以及怎樣引用到天文計(jì)算。三國時(shí)代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，利用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。故圖1也稱為“趙爽弦圖”。其既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。本題以“趙爽弦圖”為平臺，考查了正方形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義等知識點(diǎn)，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

例3（2016年紹興）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖2，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)。由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（ ）。

A.84 B.336 C.510 D.1326

分析：本題主要考查規(guī)律探索，因?yàn)椤皾M七進(jìn)一”，所以從右往左依次排列的繩子，分別代表結(jié)繩數(shù)乘以7的0、1、2、3次冪的天數(shù)。

賞析：以《易經(jīng)》規(guī)律為源頭的中華傳統(tǒng)文化的世界觀和方法論包含了：對立統(tǒng)一、陰陽互根、陽逆陰順、此消彼長、物極必反等規(guī)律以及中華文化的核心和精髓——和諧意識。其中結(jié)繩計(jì)數(shù)這種方法，不但在遠(yuǎn)古時(shí)候使用，而且一直在某些民族中沿用下來。在我國古代的甲骨文中，數(shù)學(xué)的“數(shù)”，它的右邊表示一只右手，左邊則是一根打了許多繩結(jié)的木棍：“數(shù)”者，圖結(jié)繩而記之也。本題鑲?cè)搿敖Y(jié)繩計(jì)數(shù)”是對學(xué)生冪的運(yùn)算的考查以及“滿七進(jìn)一”的進(jìn)制的理解。

二、嵌進(jìn)世界歷史中的數(shù)學(xué)文化

中考試題中嵌進(jìn)很多世界歷史中的數(shù)學(xué)文化名人、軼事、名題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，融知識性與趣味性一體，讓人耳目一新，給學(xué)生提供一個(gè)“面向世界”數(shù)學(xué)的平臺。

例4（2016年株洲）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermat point）。已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。若點(diǎn)P是腰長為[2]的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF= 。

分析：“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)，若給定一個(gè)△ABC的話，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小，這個(gè)特殊點(diǎn)對于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè)。基于這些理解，學(xué)生能正確作出圖形，問題就順利得到解決。

賞析：皮埃爾·德·費(fèi)馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家。他在數(shù)學(xué)上的成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差，其對數(shù)論最有興趣，亦對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn)，故被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”?！百M(fèi)馬點(diǎn)”在生活中有重要的應(yīng)用，例如“有三個(gè)城市，要蓋一個(gè)交通中心，到這三個(gè)城市的距離最短”就屬于這一類型的問題。數(shù)學(xué)來源于生活，需要我們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的慧眼。

例5（2015年常州）數(shù)學(xué)家哥德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個(gè)著名的猜想。

4=2+2； 12=5+7；

6=3+3； 14=3+11=7+7；

8=3+5； 16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；

……

通過這組等式，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 （請用文字語言表達(dá)）。

分析：本題是一道以數(shù)學(xué)家哥德巴赫為背景的新穎試題，其實(shí)質(zhì)是通過已知的幾個(gè)式子尋找規(guī)律，再用文字表達(dá)。當(dāng)然試題直接滲透了對數(shù)學(xué)主流文化的考查，如果學(xué)生喜歡課外閱讀，知道哥德巴赫猜想的話，就可以直接寫出答案。endprint

賞析：謝爾賓斯基地毯是數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基提出的一個(gè)分形圖形，與謝爾賓斯基三角形基本類似，不同之處在于謝爾賓斯基地毯采用的是正方形進(jìn)行分形構(gòu)造， 而謝爾賓斯基三角形采用的等邊三角形進(jìn)行分形構(gòu)造。其將一個(gè)實(shí)心正方形劃分為的9個(gè)小正方形，去掉中間的小正方形，再對余下的小正方形重復(fù)這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。本題是通過幾何圖形的變化，要求學(xué)生從面積關(guān)系上尋找規(guī)律，圖形越“挖”越復(fù)雜，重復(fù)進(jìn)行達(dá)到極限。

三、數(shù)學(xué)文化滲透教學(xué)的思考

1.重視數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值及意義

數(shù)學(xué)文化在本質(zhì)上體現(xiàn)了文化整體育人的基本要求，也是素質(zhì)教育的基本要求。隨著課改的持續(xù)推進(jìn)，對數(shù)學(xué)文化的研究也更加深入。中小學(xué)課堂中數(shù)學(xué)文化已滲入實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)，旨在讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學(xué)的文化品位，體察社會文化和數(shù)學(xué)文化之間的互動(dòng)。

數(shù)學(xué)文化滲透了數(shù)學(xué)這一門學(xué)科發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì)，它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展對整個(gè)人類文明所帶來的影響。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)史中的重大事件、名人、趣事，不但可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以使學(xué)生受到科學(xué)方法論的啟迪，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀、價(jià)值觀，通過數(shù)學(xué)文化的熏陶，促進(jìn)學(xué)生健全人格的形成，其意義十分重大。

2.正視數(shù)學(xué)文化的教育路徑與手段

注重?cái)?shù)學(xué)文化的育人功能是素質(zhì)教育的一種美好的理念，在具體實(shí)施過程中還需各方努力。特別是一線教師，數(shù)學(xué)文化的教育實(shí)施還有好多工作要做，如何讓所有學(xué)生一樣體驗(yàn)并領(lǐng)會數(shù)學(xué)的文化性，提高每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生更好地適應(yīng)課程改革中不斷出現(xiàn)的變化創(chuàng)新和素質(zhì)教育的新需求等，這些問題將有待于教育專家、一線教師在實(shí)踐中繼續(xù)不斷探索和總結(jié)。數(shù)學(xué)文化教學(xué)，也絕不是教學(xué)生簡簡單單地死記硬背幾條數(shù)學(xué)文化知識，而是要遵循繼承、弘揚(yáng)、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重?cái)?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新性發(fā)展，不斷地挖掘、創(chuàng)造性地開展教學(xué)。

筆者以為，在中考試題中滲透數(shù)學(xué)文化，是新課程理念下數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容與能力改革考查的目標(biāo)之一。近幾年來，中考數(shù)學(xué)試題在數(shù)學(xué)文化的考查上作出了大膽的嘗試，諸如本文所列舉的題目都是各地中考數(shù)學(xué)文化試題的典范。但是試題的考查方式與內(nèi)容還是顯得過于單一，所以筆者還是繼續(xù)呼吁中考試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵，通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式、選取適合的知識內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化。當(dāng)然我們也期待更多的專家、教師編撰更多的有思想、有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)文化題目來，讓數(shù)學(xué)文化試題的考查更加厚重，有內(nèi)涵。

（作者單位：甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校；甘肅省隴南市西和縣太石河鄉(xiāng)崖灣小學(xué)）

責(zé)任編輯 陳建軍endprint