系統(tǒng)抽樣中的一點(diǎn)代數(shù)應(yīng)用

基金項(xiàng)目：南通大學(xué)教學(xué)改革課題（2013B122）

摘要： 系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣或機(jī)械抽樣，本文主要考慮總體單元數(shù) 不是樣本量 的整數(shù)倍時(shí)，利用代數(shù)的方法構(gòu)造等距抽樣，并且驗(yàn)證了均值的估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)。

關(guān)鍵詞：群；抽樣調(diào)查；系統(tǒng)抽樣

【分類號(hào)】O212.2

一、系統(tǒng)抽樣概述

系統(tǒng)抽樣（systematic sampling）又稱為等距抽樣、機(jī)械抽樣。即首先從總體中抽取第一個(gè)樣本點(diǎn)（隨機(jī)起點(diǎn)），然后按某種固定的順序和規(guī)律依次抽取其余的樣本點(diǎn)，最終構(gòu)成樣本。這種抽樣具有樣本量小，抽樣精度高的優(yōu)點(diǎn)，因此抽樣過(guò)程中系統(tǒng)抽樣是應(yīng)用最為廣泛的一種抽樣方法。

當(dāng)總體單元數(shù) 是樣本容量 的整數(shù)倍，即 ， 為抽樣間隔，此時(shí)，可以采取直線等距抽樣的方法。首先在 個(gè)單元中隨機(jī)抽取一個(gè)單元，假設(shè)為 ，然后每隔k個(gè)單元抽取一個(gè)單元，即分別為：r+k，r+2k，…….，直至抽取了n個(gè)單元，抽取的樣本編號(hào)為： 。

若總體單元數(shù)為 不是樣本容量為 的整數(shù)倍，此時(shí)用直線等距抽樣，將會(huì)導(dǎo)致實(shí)際樣本容量可能與n相差1，而且每個(gè)單元入樣的概率不等，因此用直線等距抽樣可能產(chǎn)生偏倚。鑒于此，文獻(xiàn)[1-2]中給出了循環(huán)等距抽樣、修正直線等距抽樣等方法。

本文主要考慮總體單元數(shù) 不是樣本量 的整數(shù)倍時(shí)，利用代數(shù)的方法構(gòu)造等距抽樣，并且驗(yàn)證了均值的估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)。

二、代數(shù)表示方法

設(shè) 為模 的剩余類環(huán)， 為 的 元子集族， 中的元素 為 個(gè)入樣單元的編號(hào)集。因此，等距樣本單元的編號(hào)集為 的 元子集，其確定方法如下：

Step1：由于總體單元數(shù)為 不是樣本容量為 的整數(shù)倍，所以通常取與 最接近的整數(shù)作為系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔 。

Step2：從 中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，不妨假設(shè)為 ，則第 個(gè)單元首先入樣。

Step3：根據(jù)抽樣間隔 確定另外 個(gè)入樣的單元編號(hào)，在模 的情況下依次為 ，從而抽取的樣本編號(hào)用集合表示為：

例：設(shè)總體 ，其標(biāo)志值分別為 ，總體均值為 ，則列出樣本容量 的等距樣本。

解：先計(jì)算間距 ，取 ，在0～8中取一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)，不妨假設(shè)為7，然后每隔2個(gè)單元取一個(gè)，則入樣序號(hào)是7、0、2，即 、 、 入樣。

三、無(wú)偏性

根據(jù)上述的抽樣方法，共有 種可能等距樣本，樣本編號(hào)集為：

以上集合可由集合 生成：

根據(jù)上述的 種可能等距樣本的編號(hào)集形式，下面的結(jié)論顯然成立。

引理1：每個(gè)等距樣本入樣的概率相等為 。

證明：由于等距樣本的編號(hào)集 與[0， ]上的隨機(jī)數(shù) 對(duì)應(yīng)，所以每個(gè)等距樣本入樣的概率相等為 。

引理2：每個(gè)單元入樣的概率相等為 。

證明：由上述可知，共有 種可能等距樣本，包含某個(gè)特定單元的等距樣本共有 種，所以某個(gè)特定單元入樣的概率為 。

定理：等距樣本均值 為總體均值 的無(wú)偏估計(jì)。

證明： 。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：

于志華 1979-02 性別：男 籍貫：江蘇南通 工作單位：南通大學(xué)理學(xué)院 講師 碩士 主要研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、組合數(shù)學(xué)。endprint