一“疊”激起千層浪

陸素娥

【摘要】教學(xué)“圓柱體的體積”時(shí)利用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，通過長方體的體積得出圓柱體體積計(jì)算公式是新教材所倡導(dǎo)的。實(shí)際教學(xué)中，把握好學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，利用學(xué)生已操作過的“面動(dòng)成體”的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)圓柱的體積，會讓學(xué)生更容易理解體積公式的產(chǎn)生與應(yīng)用，拓寬學(xué)習(xí)的思維，彰顯創(chuàng)新性。

【關(guān)鍵詞】圓柱體積 ； 面動(dòng)成體 ； 創(chuàng)新思維

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）35-0280-02

一、背景與問題

“圓柱的體積”是人教版義務(wù)教育教科書六年級數(shù)學(xué)下冊第三單元第1節(jié)的最后一個(gè)內(nèi)容。關(guān)于“圓柱的體積”計(jì)算公式推導(dǎo)，《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)讓學(xué)生以長方體體積計(jì)算的基礎(chǔ)，通過操作把圓柱體切拼成近似長方體，從而得出圓柱體體積的計(jì)算方法，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想以及極限思想。然而，教學(xué)“圓柱的體積”時(shí)，在我們給學(xué)生提供大量的學(xué)具操作后，推導(dǎo)公式時(shí)把“長”與“底面周長的一半”（？仔r）、“寬”與“半徑”（r）聯(lián)系時(shí)都得花費(fèi)一番唇舌，特別是因?yàn)閷W(xué)具操作的局限性，一部分學(xué)生不能領(lǐng)會極限的思想，無法認(rèn)可“長”就是拉直的“底面周長的一半”。我們也不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對圓柱的體積的簡單運(yùn)用問題不大，但一段時(shí)間后，接近60%的學(xué)生都只記得計(jì)算公式而忘記了公式產(chǎn)生的過程。我在思考：圓與圓柱有著緊密的聯(lián)系，對于“圓柱的體積”的計(jì)算，能否從“圓面運(yùn)動(dòng)形成圓柱體”角度出發(fā)教學(xué)？我作了嘗試。

二、案例呈現(xiàn)

師：我們研究圓柱的體積，首先想想在“圓柱的認(rèn)識”時(shí)，我們是怎么“做”出一個(gè)圓柱的？

生1：可以以長方形的一條邊為軸轉(zhuǎn)動(dòng)而成。

師：也就是說把一個(gè)長方形面垂直旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，就能產(chǎn)生一個(gè)圓柱體。那么還有別的平面圖形通過運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生一個(gè)圓柱體的嗎？

（學(xué)生分小組討論）

生2：我們認(rèn)為一個(gè)圓面通過向上運(yùn)動(dòng)就能產(chǎn)生圓柱！

生3：我們認(rèn)為把同樣大小的圓面不斷向上層疊就能產(chǎn)生一個(gè)圓柱！

師：很有意思！能不能用實(shí)際的例子進(jìn)行說明？

（各組組長進(jìn)行小討論后，開始收集班里同學(xué)的英語光碟）

生4：一個(gè)圓形作為底面，不斷地把圓形疊上去，這個(gè)圓柱就出現(xiàn)了，越疊越高，圓柱的體積就越大！

（此時(shí)，學(xué)生開始議論紛紛！）

師：能隨便層疊嗎？

生5：必須是對齊擺放，也就是垂直上升的。

師：也就是說這個(gè)圓柱的體積是以什么為基礎(chǔ)建立起來的？

生6：是底面積！這里有30張光碟，我們可以看成高是30！只要把底面積乘高就是它的體積！

生7：對！就是底面積向上升，包含很多層的圓形，1000層就是高是1000，10000層就是高是10000，底面積乘高就是體積。

……

師：同學(xué)們的意思是底面向上垂直運(yùn)動(dòng)一定的高度就形成圓柱，那么這個(gè)圓柱的體積=底面積×高？

……

教室開始“火”了起來，學(xué)生們對于圓面不斷垂直疊高就產(chǎn)生圓柱的體積都有著極高的興趣，并對“圓柱的體積=底面積×高”越來越篤定。當(dāng)我用準(zhǔn)備的教具圓形紙片重新演示了“疊圓”的過程，學(xué)生們大呼：圓柱的體積也太容易了吧！最后，為了驗(yàn)證學(xué)生的猜想與操作得出的結(jié)論是否正確，我又再一次讓學(xué)生利用學(xué)具以小組合作的方式用切拼的方法驗(yàn)證得出圓柱的體積V=r2h。

三、分析與研究

學(xué)習(xí)不是簡單的知識傳授，而是應(yīng)該建立在學(xué)習(xí)者已經(jīng)具有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，并主動(dòng)構(gòu)建新知識網(wǎng)絡(luò)的過程。從“面動(dòng)成體”的角度教學(xué)“圓柱的體積”一課中，設(shè)計(jì)的目的就是在于從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，把探索的可能性建立在學(xué)生已對“面動(dòng)成體”略有體會、對圓的面積計(jì)算相當(dāng)熟悉的基礎(chǔ)上。所以，當(dāng)我提出：“還有別的平面圖形通過運(yùn)動(dòng)就產(chǎn)生一個(gè)圓柱體的嗎？”學(xué)生很快就想到層疊圓面的方法，然后用光盤來說明自己的想法。因此，他們很快找到了底面積和高的關(guān)系，從而初步推出公式。

不可否認(rèn)，這樣的操作過程顯得粗糙而且不嚴(yán)謹(jǐn)，但這樣的操作方式必定是直觀而有著很大的啟迪作用，并確定是可行的?！懊鎰?dòng)成體”所蘊(yùn)含的內(nèi)涵并不會在小學(xué)階段出現(xiàn)，然而從教材編排來看，我認(rèn)為教材是有向?qū)W生滲透平面圖形運(yùn)動(dòng)過渡到立體圖形的意圖的。我們可以發(fā)現(xiàn)在本冊教材的18頁“圓柱的認(rèn)識”中，編排了一個(gè)活動(dòng)：快速轉(zhuǎn)動(dòng)長方形硬紙，從而形成一個(gè)圓柱體，讓學(xué)生感受從平面圖形到立體圖形的變化。包括接下來在32頁中也編排了“旋轉(zhuǎn)直角三角形形成圓錐”的操作活動(dòng)，其目的跟前面敘述一致。圍繞“面動(dòng)成體”角度我對圓柱的體積、圓錐的體積進(jìn)行了3個(gè)假設(shè)的計(jì)算驗(yàn)證。（1）假設(shè)以長方形的一邊旋轉(zhuǎn)形成圓柱，那么體積的形成是建立在長方形這個(gè)面上，而移動(dòng)的長度是圓的一周，但只有兩個(gè)點(diǎn)是有運(yùn)動(dòng)效率的，因此圓柱的體積公式應(yīng)該表示為：V=rh×2？仔r÷2=？仔r2h。（2）假設(shè)以圓形為底面垂直上升運(yùn)動(dòng)形成圓柱體，那么毫無疑問，圓柱的體積公式應(yīng)該表示為：V=Sh。（3）假設(shè)以直角三角形的一直角邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐，那么體積的形成是建立在這個(gè)直角三角形這個(gè)面上，而移動(dòng)的長度是圓的一周，但只有1個(gè)點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的，因此圓錐的體積公式應(yīng)該表示為：V=rh÷2×2？仔r÷3=？仔r2h。通過深入的研究以及聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際，于是就有了從“面動(dòng)成體”角度教學(xué)“圓柱的體積”的嘗試。課堂教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生對于這樣的探索方式富有興趣，更具有探索的欲望與熱情，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，收到較好的教學(xué)效果，可以說這一“疊”，激起了學(xué)生思維的千層浪。

四、引申與思考

新課程理念認(rèn)為：課堂教學(xué)不是簡單的知識學(xué)習(xí)的過程是深刻領(lǐng)悟，靈活的運(yùn)用與創(chuàng)新。從“面動(dòng)成體”角度教學(xué)“圓柱的體積”并非是拋棄了教材中安排的通過操作把圓柱體切拼成近似長方體的教學(xué)內(nèi)容，相反，先通過知識本原的探尋以及親身操作、猜想過程，使學(xué)習(xí)建立在簡單的問題情景中而更逐步深入知識根源中，這是一個(gè)對知識從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的內(nèi)化過程。在接下來的對應(yīng)練習(xí)中，可以檢測出學(xué)生對這部分知識的掌握程度。如：教材的29頁的第12題：求一根鋼管的體積，有超過80%的學(xué)生能自我解決題目。不少學(xué)生對此題的題意理解為：這是一個(gè)圓環(huán)垂直運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的立體圖形，所以體積的計(jì)算是圓環(huán)的面積乘高即可。

本案例產(chǎn)生于對教材編排的自我解讀，并源于對學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)起點(diǎn)的捕捉。我相信，只有在深入解讀教材，大膽地、創(chuàng)造性地使用教材，才能組織更有效的教學(xué)活動(dòng)，會對課堂教學(xué)衍生出更多的思考，促使個(gè)人教學(xué)開辟新思路。

參考文獻(xiàn)

[1]周盈借“演繹推理”，小吾“面動(dòng)成體”——《認(rèn)識圓柱體》的教學(xué)片斷與思考，《知識窗》，2015年第6期.http：//www.cqvip.com/QK/80296X/201506/664551956.html