讓思維可見(jiàn) 讓學(xué)習(xí)發(fā)生

張玉平

[摘 要]為了讓數(shù)學(xué)課堂體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值，為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，教師要借助觀察、猜想以及操作等活動(dòng)，幫助學(xué)生將機(jī)械的模仿記憶轉(zhuǎn)變?yōu)樽晕业膶?shí)踐探索。以“圓的面積”的教學(xué)為例，通過(guò)比較、分析、概括等方式，使得學(xué)生經(jīng)歷新知的推導(dǎo)過(guò)程，做到真學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]圓的面積;數(shù)學(xué)思維;小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）26-0016-02

特級(jí)教師竇桂梅說(shuō)過(guò)“教人語(yǔ)文，莫如以語(yǔ)文教人”，同樣的，我們也可以說(shuō)：“教人數(shù)學(xué)，莫如以數(shù)學(xué)（思維）教人?！毕旅鎸⒁浴皥A的面積”這一課為例，談?wù)勈裁礃拥慕虒W(xué)才是“數(shù)學(xué)（思維）教人”。

【片段一】

師（出示兩個(gè)圖形：一個(gè)是半徑為15cm的圓，另一個(gè)是邊長(zhǎng)為30cm的正方形（正方形被報(bào)紙遮住了）誰(shuí)來(lái)介紹一下這個(gè)圓？

生1：這是一個(gè)圓心為O，半徑為15cm的圓。

師：圓的直徑和周長(zhǎng)各是多少？

生2：直徑為30cm，周長(zhǎng)為94.2cm。

師：今天我們將要學(xué)習(xí)的是圓的面積。老師用報(bào)紙遮住了一個(gè)平面圖形，它與今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容有很大的關(guān)聯(lián)，你能猜出是什么圖形嗎？

生3：正方形。因?yàn)檎叫卫镎每梢援?huà)一個(gè)很大的圓。

師（揭開(kāi)報(bào)紙，出示正方形）：看來(lái)正方形和圓果然存在一定的關(guān)系。這個(gè)正方形和圓的面積哪個(gè)更大？

生4：正方形，因?yàn)檎叫卫锩嬲每梢援?huà)一個(gè)圓。

師：顯然，正方形的面積大。能確定這個(gè)圓就是正方形里最大的圓嗎？為什么？

生5：不能，因?yàn)闆](méi)有寫(xiě)出正方形的邊長(zhǎng)是多少，所以不能比較它們的大小是否相等。

師：現(xiàn)在老師給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，你能確定這個(gè)圓就是正方形里最大的圓嗎？

生6：圓的直徑是30厘米，正方形的邊長(zhǎng)是30厘米，所以這個(gè)圓是正方形里最大的圓。

師（補(bǔ)充）：顯然，這個(gè)圓的面積比這個(gè)正方形的面積小。

【自悟：在“圓”這一章節(jié)的三節(jié)課里，“圓的面積”這節(jié)課我是最沒(méi)有把握的。因?yàn)槲也恢缹W(xué)生該如何去認(rèn)識(shí)圓的面積，又該如何推導(dǎo)圓的面積，他們是否能理解教材上給出的方法，等等，這一系列的問(wèn)題一直困擾著我。因此，對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)，我做的都是“軟設(shè)計(jì)”，就是跟著學(xué)生的思維走，隨時(shí)調(diào)整課堂教學(xué)的走向。于是，課始我用一個(gè)猜圖形的游戲，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注正方形與正方形內(nèi)最大的圓的面積大小，為進(jìn)一步推導(dǎo)圓的面積指明方向?！?/p>

【片段二】

師：我們已經(jīng)知道這個(gè)圓是正方形里最大的圓，它的直徑是30厘米。假如沒(méi)有給出這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的具體數(shù)值，只知道正方形的邊長(zhǎng)是d，那么正方形的面積是——

生1：d2。

師：還可以怎么說(shuō)？

生2：4個(gè)r2。

師：我用虛線(xiàn)把r2標(biāo)出來(lái)。

師：你覺(jué)得圖1中的圓的面積是多少？

生3：圓的面積比r2的3倍多一些。

生4：圓的面積比r2的4倍少一些。

師：我們知道C除以d就等于圓周率π，那么■=π嗎？

師：這個(gè)問(wèn)號(hào)會(huì)是r2嗎？

【自悟：在圓內(nèi)，r2是一個(gè)看不見(jiàn)也摸不著的東西，這給學(xué)生的理解造成很大的障礙。將正方形內(nèi)最大的圓與該正方形的面積進(jìn)行大小比較，就可以通過(guò)它們之間的關(guān)系把正方形的面積分為四塊r2，這為學(xué)生進(jìn)一步理解r2打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，學(xué)生能從觀察與思考中猜想圓的面積是r2的三倍左右。同時(shí)，讓學(xué)生結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式猜想面積公式“C/d=π→S/r2=π”，能夠提升學(xué)生對(duì)圓周率的理性認(rèn)識(shí)?！?/p>

【片段三】

師：想一想，平行四邊形面積公式是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？

生1：先把平行四邊形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：三角形的面積公式是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？

生2：也是通過(guò)拼的方法。

師：平行四邊形和三角形的面積公式都是利用已知圖形拼一拼、剪一剪后得到的，那梯形的面積公式是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？

生3：也是通過(guò)拼的方法。

師：也就是說(shuō)，我們總是把未知圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形來(lái)推導(dǎo)，今天我們繼續(xù)用這個(gè)方法來(lái)推導(dǎo)圓的面積公式。

師：前一節(jié)課我們知道把一個(gè)正方形對(duì)折，再對(duì)折，然后剪得的圖形會(huì)越來(lái)越接近一個(gè)圓，那么，怎么把圓進(jìn)行剪和拼才能夠得到我們學(xué)習(xí)過(guò)的圖形？

生4：對(duì)折兩次后再剪。

生5：對(duì)折四次后再剪。

師：有剪刀的同學(xué)請(qǐng)?jiān)囍僮?，?qǐng)先剪那個(gè)16等分的圓，不要剪32等分的圓。剪了以后想一想，我們?cè)趺雌床拍艿玫揭粋€(gè)以前學(xué)過(guò)的圖形？

（學(xué)生操作）

師：請(qǐng)拼出平行四邊形的同學(xué)描述是怎么拼出來(lái)的。

生6：把圓平均分成16份，可以將16個(gè)扇形拼成一個(gè)平行四邊形。

師：平均分成16份，剪出扇形，這兩種顏色（黃色和粉色）的扇形應(yīng)該怎么拼？

生7：黃色扇形的尖朝上，粉紅色扇形的尖朝下。

師：將兩種顏色間隔排列，的確可以拼成一個(gè)近似的平行四邊形。

師：有同學(xué)拼成長(zhǎng)方形，請(qǐng)說(shuō)說(shuō)是怎么拼出來(lái)的。

生8：用15個(gè)三角形先拼成一個(gè)近似的平行四邊形，剩下的一個(gè)一分為二，拼在兩邊，就得到一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。

師：這個(gè)近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓有什么關(guān)系？

生8：寬是圓的半徑，長(zhǎng)是半圓的周長(zhǎng)。

生9：應(yīng)該說(shuō)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半。endprint

師：說(shuō)得很準(zhǔn)確，應(yīng)該是圓周長(zhǎng)的一半，不是半圓的周長(zhǎng)。如果把圓平均分成32份、64份、128份……拼成的圖形是不是越來(lái)越接近長(zhǎng)方形？那么圓的面積公式能推導(dǎo)出來(lái)了嗎？

生10：圓周長(zhǎng)的一半是πr，再乘以r，就是πr2。（教師板書(shū)：S=πr2）

師：我們還可以把剪出來(lái)的扇形看成是一個(gè)三角形，三角形的面積是底乘高除以r2。沿著這個(gè)思路能不能推導(dǎo)出圓的面積公式？

生11：可以。一個(gè)小三角形的面積是16分之2πr，將其乘以r再除2，也就是πr2/16，再乘以16就是πr2。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家求出黑板上這個(gè)圓的面積。

生12：15×15×3.14=706.5（cm2）。

師：這是一個(gè)圓心為O，半徑為15cm，直徑為30cm，周長(zhǎng)為94.2cm，面積為706.5cm2的圓。

【自悟：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！睂W(xué)生經(jīng)歷了剪拼的過(guò)程，想象就有了根基，就能在不同的認(rèn)知中把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形、長(zhǎng)方形和三角形，從而極大地豐富了圓的面積公式的推導(dǎo)方式。正是在這樣多元的思考表達(dá)中，學(xué)生的思維進(jìn)入了更深的層次，學(xué)習(xí)才真正發(fā)生。】

【片段四】

師：如果這個(gè)正方形的面積是100平方厘米，那么正方形里最大的圓的面積是多少？

生1：78.5平方厘米。

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你是怎么算的。

生1：正方形的面積是100平方厘米，正方形的邊長(zhǎng)就是10厘米，那么圓的直徑也是10厘米，半徑就是5厘米，圓的面積等于πr2 ，所以就得到π乘5的平方，就是78.5平方厘米。

師：如果這個(gè)正方形的面積是10平方厘米，那么正方形里最大的圓的面積是多少？

生2：正方形的面積是10平方厘米，那么邊長(zhǎng)是……（學(xué)生說(shuō)不出來(lái)）

師：能用其他方法解決嗎？

生3：圓的面積是7.85平方厘米。

師：請(qǐng)說(shuō)說(shuō)理由。

生4：除以10就可以了，原來(lái)的面積是現(xiàn)在的10倍。

師：按原來(lái)的方法進(jìn)行計(jì)算有一定的難度，而把數(shù)據(jù)縮小10倍就能得到答案了。（教師板書(shū)：3.14×（10÷4）=7.85）

師：這里的“10÷4”是什么？與r2 有什么關(guān)系？

生5：正方形的面積是10，那么10÷4=2.5，2.5就是r2 。

師：也就是說(shuō)，我們?cè)谟?jì)算圓的面積時(shí)，不是一定要知道圓的半徑是多少，只要知道半徑的平方是多少就可以了。這真是“思路一轉(zhuǎn)天地寬”呀！

【自悟：對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，求圓的面積要按公式來(lái)套，也就是要先知道圓的半徑或直徑，這樣的認(rèn)知很容易造成學(xué)生思維的定式。通過(guò)兩個(gè)不一樣的題目，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生有了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的欲望，因?yàn)橹坝辛藢?duì)r2的深入認(rèn)識(shí)，學(xué)生能想到用整體思維去解決問(wèn)題，這樣的問(wèn)題能引領(lǐng)學(xué)生對(duì)整個(gè)知識(shí)進(jìn)行回顧，培養(yǎng)學(xué)生不斷挑戰(zhàn)和探索的科學(xué)精神?！?/p>

總之，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗(yàn)證等過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)知識(shí)遷移，主動(dòng)將新知與舊知進(jìn)行聯(lián)系，通過(guò)比較、分析、概括等方式，自主經(jīng)歷新知的推導(dǎo)過(guò)程，這才是真正的讓思維可見(jiàn)、讓學(xué)習(xí)發(fā)生。

（責(zé)編 童 夏）endprint