基于學(xué)生認(rèn)知水平的有效教學(xué)
——對(duì)“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例1”一課的教學(xué)思考與實(shí)踐

浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶第三小學(xué) 李國(guó)良

基于學(xué)生認(rèn)知水平的有效教學(xué)
——對(duì)“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例1”一課的教學(xué)思考與實(shí)踐

浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶第三小學(xué) 李國(guó)良

“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”是人教版數(shù)學(xué)（2014）新增的學(xué)習(xí)素材，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)和分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算后的內(nèi)容。用兩個(gè)課時(shí)完成此內(nèi)容的教學(xué)：第一課時(shí)是通過剪、涂、擺等教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)到把一些物體進(jìn)行平均分，其中的1份或幾份如何用分?jǐn)?shù)來表示，明確部分與整體的關(guān)系；第二課時(shí)是從分?jǐn)?shù)的意義入手，在操作與觀察中知道求一個(gè)數(shù)的幾分之幾可以用整數(shù)除法、乘法知識(shí)來解決。

筆者仔細(xì)分析了教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)例1主要是從一個(gè)物體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)拓展到一些物體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，它是學(xué)習(xí)例2的基礎(chǔ)與起點(diǎn)。但對(duì)剛接觸分?jǐn)?shù)的三年級(jí)學(xué)生來說在認(rèn)知上是否存在著一定的困難？存在著怎樣的困難？筆者覺得有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一次學(xué)前調(diào)查，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)及認(rèn)知的困惑點(diǎn)，以期達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

一、教學(xué)前測(cè)的思考

教學(xué)前測(cè)是指在學(xué)習(xí)新知前的一段時(shí)間里，通過書面、訪談、問卷等調(diào)查方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備和相關(guān)方法的預(yù)先測(cè)試，然后進(jìn)行有針對(duì)性的分析并設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，提出相應(yīng)的課堂教學(xué)策略。

1.教材的比較與分析

為使前測(cè)內(nèi)容更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更好地反映教材的特點(diǎn)，筆者翻閱了北師大版、蘇教版、浙教版等相關(guān)教材，發(fā)現(xiàn)這三套教材在安排這一內(nèi)容時(shí)結(jié)構(gòu)上與人教版基本一致，但呈現(xiàn)的順序、內(nèi)容上有一定的區(qū)別（具體見右表）。

教材版本涉及年級(jí)知識(shí)基礎(chǔ) 分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用教材呈現(xiàn)人教版 三上分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.涂色部分（1份）是一張大正方形紙的幾分之幾（平均分成4份）2.把一張大正方形紙剪成四個(gè)小正方形，涂色部分（1份）如何用分?jǐn)?shù)表示北師大版三下認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)（分一分例2）分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算1.用紅色、黃色、藍(lán)色進(jìn)行涂色，分別表示一張大正方形紙（平均分成9份）的幾分之幾2.把一張大正方形紙剪成9個(gè)小正方形，紅色、黃色、藍(lán)色各占9個(gè)小正方形的幾分之幾三上 分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算 ——蘇教版把一盤桃子（6個(gè)）平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃子的幾分之幾三下 分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）浙教版 三下認(rèn)識(shí)幾分之一認(rèn)識(shí)幾分之幾（一）分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算認(rèn)識(shí)幾分之幾（二）1.綠色部分是一個(gè)大正方形（平均分成9份）的幾分之幾2.把9個(gè)小正方形看成一個(gè)整體（有淡的紅的底色），綠色和黃色分別是9小正方形的幾分之幾

從上表中我們發(fā)現(xiàn)：“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”在年級(jí)安排上，除人教版安排在三上年級(jí)，其他均安排在三下年級(jí)；在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，北師大版直接安排在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)里，中間沒有安排分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算，其他版本均不是從一個(gè)物體直接過渡到一個(gè)整體；在內(nèi)容呈現(xiàn)上，除蘇教版外，其他是以一個(gè)大正方形剪開呈現(xiàn)4個(gè)或9個(gè)小正方形，來學(xué)習(xí)一份（幾份）占一個(gè)整體的幾分之一（幾），蘇教版和浙教版有盤子或淡淡的底色把一些物體看作一個(gè)整體的進(jìn)示。

2.內(nèi)容的確定與思考

對(duì)四個(gè)版本的教材進(jìn)行比較后，我們能清楚地發(fā)現(xiàn)教材要讓學(xué)生掌握的內(nèi)容和要點(diǎn)，于是擬定了三個(gè)大題6個(gè)小題作為前測(cè)的內(nèi)容（如下表）：

題次 內(nèi)容 意圖想一想，填一填，涂色部分用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示（1）這兩個(gè)小題的設(shè)計(jì)，主要是了解學(xué)生能否從一個(gè)物體的 1 2 1（ ）理由： 過渡到一些物體的12，符合人教版從一個(gè)正方形到一些正方形的過渡（2）（ ）理由：（）下面你能用分?jǐn)?shù)表示嗎2兩小題加了框，能清楚地把8個(gè)小圓和12個(gè)正方形看作一個(gè)整體，從直觀的角度知道涂色部分與整體的關(guān)系；也迎合了蘇教版和浙教版的編寫意圖想一想，涂一涂（）3涂出這些圓片的14這兩題屬于新課教學(xué)后的練習(xí)，意圖在于與第二題進(jìn)行比較，直觀感知與動(dòng)手操作哪種教學(xué)手段更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更正確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。涂出這些三角形的13

這三題調(diào)查的主要目的是：通過觀察、動(dòng)手實(shí)踐、對(duì)比分析等學(xué)習(xí)手段，了解學(xué)生從一個(gè)物體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)到一個(gè)整體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的前概念情況，明確學(xué)生是否了解運(yùn)用集合中的部分元素與整個(gè)集合的關(guān)系也可以用分?jǐn)?shù)來表示，便于在教學(xué)中正確、有效地把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，收到事半功倍的效果。

二、前測(cè)結(jié)果的分析

為使本次調(diào)查更具廣泛性與代表性，筆者選擇了城區(qū)學(xué)校和所屬鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心小學(xué)三年級(jí)各2個(gè)班共164名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求10分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，檢測(cè)后統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

題次 正確人數(shù)正確率 典型錯(cuò)誤 錯(cuò)誤歸因分析1（1） 160 97.6% 沒有填出 這些學(xué)生的智力相對(duì)低下，學(xué)習(xí)能力較差1（2） 62 37.8% 1 8。忽視了對(duì)平均分成4份思維定勢(shì)對(duì)學(xué)生有一定的干擾，他們只看到有8個(gè)圈，涂色部分是2個(gè)，自然而然想到2 2（1） 72 43.9% 2 8的關(guān)注；也缺少對(duì)平均分成幾份，每份是它的幾分之一的理解2（2） 76 46.3% 4 12與上一題的錯(cuò)誤原因基本一致，缺少對(duì)平均分成3份，一份是它的13（1） 121 73.8% 4個(gè) 主要是對(duì) 1由一個(gè)正方形變成2個(gè)小正方形后，在視覺上造成沖突，沒有看清中間的分割線，理解為獨(dú)立的小正方形，缺少整體意識(shí)3的深入思考4、 1 3的理解不3（2） 125 76.2% 3個(gè) 夠，造成涂的個(gè)數(shù)發(fā)生偏差

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，我們可以發(fā)現(xiàn)：第1題第（1）小題屬于分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)的鞏固性練習(xí)，回答的正確率較高。由此可見，一個(gè)物體（圖形）的對(duì)絕大部分學(xué)生來說已不存在認(rèn)知上的困難；而第（2）小題錯(cuò)誤率高達(dá)62.2%，顯然學(xué)生不能把兩個(gè)正方形看作一個(gè)整體來理解，這一知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該作為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。第2題兩個(gè)小題是把一些圓和一些小正方形看作一個(gè)整體，涂色部分用合適的分?jǐn)?shù)來表示，它們的錯(cuò)誤率也較高，但與第1題的第（2）小題相比正確率有所提高，說明在一些圖形的外面加一個(gè)圈（框）對(duì)正確理解一個(gè)整體有一定幫助，在實(shí)際教學(xué)中有必要借助這一素材。這也印證了蘇教版、浙教版采用盤子和淡淡底色的道理。第3題兩個(gè)小題雖然屬于應(yīng)用性的題目，但它們的正確率明顯比第2題高，這種“倒置”現(xiàn)象的出現(xiàn)也有著其原因：一些物體平均分成若干份，得到每份是幾個(gè)，可以用物體個(gè)數(shù)除以份數(shù)得到每份數(shù)。很多學(xué)生并不是把它們看作一個(gè)整體來進(jìn)行平均分，一份是整體的幾分之一，由此，學(xué)生的大腦中還不能把部分與整體進(jìn)行有效溝通，也就是部分占整體的幾分之一（幾）還是比較模糊的。

三、前測(cè)后的教學(xué)實(shí)踐

通過對(duì)前測(cè)中相關(guān)數(shù)據(jù)的整理、統(tǒng)計(jì)與分析，初步了解了學(xué)生對(duì)從一個(gè)整體來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知情況，也看到了其中存在的問題。因此，筆者認(rèn)為這節(jié)課必須在以下兩個(gè)維度上有所突破：一是通過剪，實(shí)現(xiàn)了“1”由一個(gè)物體到一組物體的自然過渡，把一些物體平均分成這樣的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)來表示，借助分?jǐn)?shù)的含義理解部分與整體的關(guān)系；二是通過多重對(duì)比、分析，讓學(xué)生體會(huì)到當(dāng)“1”是一些物體時(shí)，如何用分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)到一個(gè)物體與一個(gè)整體有相同的地方，就是平均分成幾份，分母就是幾、其中的幾份分子就是幾。

課始，多媒體出示把一個(gè)正方形平均分成4份的圖形（下左圖），設(shè)問：涂色部分能用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示，為什么？這樣不僅復(fù)習(xí)了把一個(gè)圖形平均分成4份，1份是它的也讓學(xué)生回憶了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的緣由，由此引入新課。隨后課件復(fù)制左圖，用剪的方法依次出示下中、右圖（并消失中間圖），設(shè)疑：現(xiàn)在這幅圖的涂色部分還能用分?jǐn)?shù)來表示嗎？為什么？學(xué)生出現(xiàn)了兩種聲音：

生1：不能用分?jǐn)?shù)來表示，因?yàn)楝F(xiàn)在已經(jīng)剪開了，變成一個(gè)個(gè)獨(dú)立的小正方形，可以用數(shù)1來表示。

此時(shí)，教室內(nèi)一片寂靜，但充滿了疑惑。慢慢有小手舉起：

通過上述兩次比較，學(xué)生在認(rèn)知上已對(duì)一個(gè)圖形的幾分之一過渡到一個(gè)整體的幾分之一有了突破，對(duì)部分量與整體量之間的關(guān)系有了初步感知，為下面的深入學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。于是，筆者布置自主探索的作業(yè)，用兩種不同的方法表示出，以此來鞏固一個(gè)物體作為單位“1”和一些物體作為單位“1”的區(qū)別與聯(lián)系。

第二層次：相同個(gè)數(shù)用不同的分?jǐn)?shù)表示及相同分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)不同個(gè)數(shù)的比較，深化部分與整體的關(guān)系。

奧蘇伯爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)就是要增加新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以利于學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)，使新知變得易于理解，并促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移，提高學(xué)習(xí)效率。通過第一層次的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于把一個(gè)整體平均分成幾份，每份占整體的幾分之一，已經(jīng)在大腦中建構(gòu)起來。

接著，課件依次出示下面三幅圖。設(shè)問：涂色部分能用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示？為什么？

于是，教師對(duì)比性質(zhì)疑：為什么三幅圖的涂色部分都是1個(gè)三角形，卻分別用來表示呢？經(jīng)過思考、討論，學(xué)生明白第一幅圖是2個(gè)三角形中的1個(gè)，第二幅圖是3個(gè)三角形中的1個(gè)，第三幅圖是5個(gè)三角形中的1個(gè)。背后的本質(zhì)意義就是它們的整體不同，平均分成的份數(shù)不同，但涂色部分都表示了整體中的一份。通過上述對(duì)比練習(xí)，理解了只要把一個(gè)整體平均分成幾份，其中的一份就是幾分之一，幾份就是幾分之幾。隨后，課件出示下左邊三幅圖，要求在每幅圖中把其中的涂上顏色，學(xué)生依次涂出了下右邊的圖形。教師再次設(shè)疑：為什么同樣都涂，它們的數(shù)量不相同，都表示了它們的部分嗎？

生1：第一個(gè)是把4個(gè)圓片看作一個(gè)整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是3個(gè)；第二個(gè)是把8個(gè)圓片看作一個(gè)整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是6個(gè)；第三個(gè)是把12個(gè)圓片看作一個(gè)整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是9個(gè)。

生2：其實(shí)，這道題就是4÷4×3=3個(gè)，8÷4×3=6個(gè)，12÷ 4×3=9個(gè)。

生3：因?yàn)檎w不同，都是平均分成4份，表示這樣的3份，所以個(gè)數(shù)會(huì)不一樣。

通過這一層次的練習(xí)，學(xué)生知道了相同數(shù)量可以用不同的分?jǐn)?shù)來表示，不同的數(shù)量也能用相同的分?jǐn)?shù)來表示，其原因就是整體與等分的關(guān)系，進(jìn)一步明確一個(gè)整體和平均分在分?jǐn)?shù)中的重要性。

第三層次：不同分?jǐn)?shù)相同長(zhǎng)度的比較，提升部分與整體的關(guān)系。

有了上述兩個(gè)層次的研究，筆者認(rèn)為有必要對(duì)這節(jié)課的核心知識(shí)部分與整體的關(guān)系進(jìn)行一個(gè)拓展。于是，出示了如下題目：

經(jīng)過獨(dú)立思考、操作、比較，發(fā)現(xiàn)它們所表示的長(zhǎng)度是一樣的。教師提問：現(xiàn)在你有什么想法或疑問？學(xué)生紛紛說出了自己的困惑：為什么不同的分?jǐn)?shù)在這兩個(gè)線段圖中所表示的長(zhǎng)度是一樣的？通過討論、分析，發(fā)現(xiàn)第一題要求把1米平均分成5份，表示這樣的3份；而第二題要求把3米平均分成5份，表示這樣的1份。雖然平均分成的份數(shù)都一樣，但是它們各自的整體不同，第一題以1米的長(zhǎng)度作為一個(gè)整體，第二題以3米的長(zhǎng)度作為一個(gè)整體，在變與不變中充分感知部分與整體中的辯證關(guān)系。

學(xué)生通過自己的操作實(shí)踐與觀察反思，充分結(jié)合分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，理解具體情境中的數(shù)量關(guān)系，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系奠定基礎(chǔ)，也為下一節(jié)課“分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用 例2”的學(xué)習(xí)做一定的鋪墊。

上述教學(xué)思考與實(shí)踐中，筆者體會(huì)到，教學(xué)前測(cè)的設(shè)計(jì)應(yīng)充分考慮文本所隱含的思想與文本所要體現(xiàn)的價(jià)值取向。而了解學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)正需要有“接地氣”的教學(xué)前測(cè)，通過對(duì)前測(cè)的深入分析與思考，設(shè)計(jì)出貼近學(xué)生實(shí)際、符合數(shù)學(xué)本體性知識(shí)的教學(xué)方案，讓課堂教學(xué)有厚度、有深度，更好地體現(xiàn)“生本教育”理念。?