在探索規(guī)律中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力

閆穎

[摘 要]探索規(guī)律的過(guò)程就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。在教學(xué)中，教師可以從探索數(shù)的規(guī)律（數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算規(guī)律）、探索圖的規(guī)律（圖形的特征、圖形的測(cè)量）、“探索規(guī)律”專題學(xué)習(xí)三個(gè)方面入手，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

[關(guān)鍵詞]探索規(guī)律；合情推理；數(shù)的規(guī)律；圖的規(guī)律；專題學(xué)習(xí)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）23-0072-02

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是探索并認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系及空間形式規(guī)律的過(guò)程。這一過(guò)程常常伴隨推理活動(dòng)，其中既有演繹推理，也有合情推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過(guò)歸納和類比等推斷出某些結(jié)果。合情推理是“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的必經(jīng)之路，在“探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師可以從三個(gè)方面發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

一、在探索數(shù)的規(guī)律中形成合情推理能力

數(shù)與代數(shù)的大量概念、性質(zhì)、法則、公式和規(guī)律的學(xué)習(xí)，往往都是通過(guò)具體的實(shí)例展開，對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)、理解和掌握，一般要經(jīng)過(guò)從具體到抽象、特殊到一般的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程正是合情推理的思維過(guò)程。

1.經(jīng)歷數(shù)的性質(zhì)抽象概括的過(guò)程

在理解數(shù)的意義，掌握數(shù)的讀寫后，一般都要探索數(shù)的性質(zhì)。數(shù)的性質(zhì)可通過(guò)推理歸納得出。

例如，教學(xué)“小數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生先聯(lián)系具體事實(shí)：“鉛筆的單價(jià)是0.3元，橡皮的單價(jià)是0.30元，它們的價(jià)格相等嗎？”“看圖比較0.1米、0.10米和0.100米的線段，它們的長(zhǎng)度一樣嗎？”通過(guò)有序觀察小數(shù)的變化，學(xué)生初步感知：都是小數(shù)末尾添上0或去掉0，而小數(shù)的大小相等。再通過(guò)舉例驗(yàn)證，進(jìn)而得出“小數(shù)末尾添上0或者去掉0，小數(shù)大小不變”的規(guī)律，即小數(shù)的性質(zhì)。

又如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，通過(guò)觀察直觀圖，學(xué)生判斷出，教師引發(fā)猜測(cè)：“像這樣分子、分母變了，但分?jǐn)?shù)的大小不變的現(xiàn)象是分?jǐn)?shù)的個(gè)別現(xiàn)象（板書：個(gè)別現(xiàn)象）還是普遍規(guī)律（板書：普遍規(guī)律）？其他的分?jǐn)?shù)有沒(méi)有這種現(xiàn)象呢？如果有的話，請(qǐng)舉例說(shuō)明（板書：舉例）。”在學(xué)生舉例，教師先明確：“這還只是我們的猜測(cè)（板書：猜測(cè)），要知道這個(gè)猜測(cè)是否正確，我們還需要驗(yàn)證（板書：驗(yàn)證）。那么，怎樣驗(yàn)證以下這些分?jǐn)?shù)一定與相等？”為了方便學(xué)生的研究，教師選擇了三個(gè)與相等的分?jǐn)?shù)，請(qǐng)學(xué)生按照提示先算一算、填一填，再分組觀察討論，說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生完成并在小組內(nèi)交流后全班匯報(bào)，教師初步小結(jié)：“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。”進(jìn)而引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑：“同時(shí)乘或除以的數(shù)既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，是不是任何一個(gè)數(shù)都行呢？”學(xué)生思考后得出“0除外”。最后，師生共同完善規(guī)律。

歸納是從特殊到一般，從個(gè)別事物概括一般規(guī)律的思維方法，小學(xué)階段主要采用的是不完全歸納法，即對(duì)若干個(gè)特例進(jìn)行觀察比較、抽象概括，進(jìn)而得出相關(guān)的規(guī)律。

2.體驗(yàn)探索數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的過(guò)程

數(shù)的運(yùn)算中存在著大量的運(yùn)算規(guī)律，如計(jì)算法則、運(yùn)算律、商不變規(guī)律和積的變化規(guī)律等，這些運(yùn)算規(guī)律都是高度概括的運(yùn)算知識(shí)，是在大量的計(jì)算現(xiàn)象中歸納出來(lái)的。這些內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值不僅在于讓學(xué)生掌握運(yùn)算規(guī)律，還要發(fā)展學(xué)生初步的推理能力。因此，教師要讓學(xué)生體驗(yàn)“解決個(gè)別實(shí)際問(wèn)題—看到數(shù)學(xué)現(xiàn)象形成猜測(cè)—大量舉例豐富例證—觀察比較抽象概括—符號(hào)表示規(guī)律”的探索規(guī)律的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

例如，教學(xué)“加法交換律和結(jié)合律”時(shí)，教師先出示課本的情境圖，并提出問(wèn)題：“仔細(xì)觀察這幅圖，算一算跳繩的學(xué)生有多少人，應(yīng)該怎樣列式計(jì)算？”有學(xué)生回答：“28+17=45（人）?！苯處熥穯?wèn)：”還可以怎么列式？”另一個(gè)學(xué)生說(shuō)：“17+28=45（人）?！苯處熇^續(xù)追問(wèn)：“觀察這兩個(gè)算式，它們有什么異同點(diǎn)？”當(dāng)學(xué)生得出“兩個(gè)加數(shù)一樣，但加數(shù)的位置不同，和相等”的結(jié)論后，教師指出：“這兩個(gè)算式的得數(shù)是一樣的，可以用‘=把它們連起來(lái)，改寫成‘28+17=17+28的等式。你們能照樣子說(shuō)出一個(gè)這樣的等式嗎？”最后學(xué)生舉例驗(yàn)證，進(jìn)而抽象概括出加法交換律。教師采用歸納推理的方式展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)和歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng)中主動(dòng)認(rèn)識(shí)運(yùn)算律。

又如，教學(xué)“乘法交換律和加法結(jié)合律”時(shí)，教師在課始先回顧加法交換律和結(jié)合律，引發(fā)學(xué)生類比猜想：“加法運(yùn)算中有這樣的規(guī)律，乘法運(yùn)算中是不是也有類似的規(guī)律？你打算怎樣研究？”教師采用類比推理的方式，引導(dǎo)學(xué)生類比加法運(yùn)算律寫出一些乘法算式，再計(jì)算比較結(jié)果是否相等，通過(guò)觀察大量的例證進(jìn)而抽象概括出乘法的交換律和結(jié)合律。

不管是歸納推理還是類比推理，都是讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)算規(guī)律的探索過(guò)程，即由個(gè)別現(xiàn)象形成猜測(cè)，再舉例豐富例證，通過(guò)觀察大量例子抽象概括出運(yùn)算規(guī)律。

二、在探索圖的規(guī)律中形成合情推理能力

“圖形與幾何”的教學(xué)強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，在已有生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、操作、比較、猜想、驗(yàn)證、分析和推理等活動(dòng)，了解一些幾何體和平面圖形，探究它們的基本特征，掌握測(cè)量和畫圖的基本方法，并運(yùn)用測(cè)量方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。其中，探究圖形特征和掌握?qǐng)D形測(cè)量方法是發(fā)展合情推理能力的重要途徑。

1.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)圖形特征的過(guò)程

研究某一種圖形，一般從認(rèn)識(shí)其特征開始。發(fā)現(xiàn)圖形的特征，通常是在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的猜想、分析和推理。這里的推理多是從特殊到一般的合情推理。

例如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，教師先出示一副三角尺，讓學(xué)生計(jì)算同一塊三角尺上的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和，得出“每塊三角尺上的3個(gè)內(nèi)角的和都是180°”的結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生猜想：“其他三角形的內(nèi)角和是多少度？也會(huì)是180°嗎？”由此確定探究的內(nèi)容和目標(biāo)。接著，組織學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：選擇不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）進(jìn)行操作，一部分學(xué)生用“量”和“算”的方法，分別量出三角形的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)后再相加；另一部分學(xué)生用“剪”和“拼”（或“折”和“拼”）的方法，即把三角形的3個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)（或折起來(lái)）再拼在一起，看拼成的是什么角。在學(xué)生小組交流和全班匯報(bào)后，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，它們的3個(gè)內(nèi)角的和都是180°?！叭切蔚膬?nèi)角和等于180°”是三角形關(guān)于“角”的重要特征，教師不能僅僅讓學(xué)生知道這一特征，而應(yīng)讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)。因此，在教學(xué)中設(shè)計(jì)“質(zhì)疑—解疑—應(yīng)用”的線索，突出“猜測(cè)—實(shí)驗(yàn)—驗(yàn)證”的推理過(guò)程，正是讓學(xué)生體驗(yàn)了合情推理的“由特殊到一般”的思維過(guò)程。

2.經(jīng)歷圖形測(cè)量的過(guò)程

對(duì)圖形的研究具有定性的一面，也有定量的一面。量的研究離不開測(cè)量，測(cè)量是按照某種規(guī)律，用數(shù)據(jù)來(lái)描述觀察到的現(xiàn)象，即對(duì)事物做出量化描述。測(cè)量一般包括確定所要測(cè)量物的屬性、選擇具有同一屬性的測(cè)量單位和通過(guò)比較待測(cè)物體與測(cè)量單位進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量過(guò)程中蘊(yùn)含的合情推理思想有助于提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

例如，教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，教師應(yīng)利用“猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用”的線索，讓學(xué)生有意識(shí)地獲得并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，同時(shí)體驗(yàn)合情推理的思想。求圓的周長(zhǎng)的過(guò)程不同于求多邊形的周長(zhǎng)，教師具體可以分五步展開教學(xué)。第一步是對(duì)比感知，初步猜想。通過(guò)對(duì)比幾個(gè)不同直徑長(zhǎng)度的圓，引導(dǎo)學(xué)生初步猜想——圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)。第二步是深入對(duì)比，量化猜測(cè)。將圓與它的內(nèi)接正六邊形和外切正方形比較，把猜想進(jìn)一步“量化”——圓的周長(zhǎng)比它的直徑的3倍長(zhǎng)，比它的直徑的4倍短。第三步是操作計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。測(cè)量幾個(gè)大小不同的圓的周長(zhǎng)，計(jì)算各個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值，發(fā)現(xiàn)所有的圓的周長(zhǎng)總是它的直徑的3倍多一些。第四步是分析數(shù)據(jù)，驗(yàn)證猜想。明確圓的周長(zhǎng)和直徑的比值都是一個(gè)固定的數(shù)，即圓周率，同時(shí)介紹圓周率的性質(zhì)。第五步是推導(dǎo)公式。根據(jù)圓的周長(zhǎng)是它直徑的π倍推導(dǎo)出C=πd或者C=2πr。

三、在“探索規(guī)律”專題學(xué)習(xí)中形成合情推理能力

規(guī)律是客觀存在的，是隱含且可以被發(fā)現(xiàn)的，只要對(duì)豐富的具體現(xiàn)象進(jìn)行深入細(xì)致的研究，從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。蘇教版教材從三年級(jí)上冊(cè)開始，每?jī)?cè)都編排一次“探索規(guī)律”的專題學(xué)習(xí)。這部分內(nèi)容有特定的編寫形式，教學(xué)一般分四步展開：第一步是呈現(xiàn)現(xiàn)象、引發(fā)注意，激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的興趣；第二步是組織觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生探索并找到規(guī)律；第三步是學(xué)生踴躍表達(dá)、交流所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，提升數(shù)學(xué)思考；第四步是引導(dǎo)學(xué)生回顧探索過(guò)程，反思收獲、積累經(jīng)驗(yàn)。這一過(guò)程既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展脈絡(luò)，又體現(xiàn)了由具體到抽象、特殊到一般的合情推理特征，是培養(yǎng)學(xué)生合情推理的重要素材。

例如，教學(xué)“一一間隔排列”時(shí)，教師首先出示有趣的現(xiàn)象，學(xué)生通過(guò)“看”“數(shù)”“比”“圈”等活動(dòng)，由表及里逐步體驗(yàn)現(xiàn)象中的規(guī)律，再通過(guò)變換情境讓學(xué)生體會(huì)到情境里的物體數(shù)量增加了，但排列規(guī)律沒(méi)有改變，即兩種物體之間依舊相差1，且兩端物體的個(gè)數(shù)比中間物體多1。接著，組織擺學(xué)具的操作活動(dòng)，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作繼續(xù)探索間隔排列的規(guī)律，在直觀感知的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生交流，采用不同形式（語(yǔ)言描述、畫圖、寫式子等）來(lái)表征規(guī)律。最后，引導(dǎo)學(xué)生反思探究活動(dòng)過(guò)程，探索規(guī)律需要科學(xué)的態(tài)度，既要大膽猜想，又要及時(shí)驗(yàn)證，讓學(xué)生深刻體會(huì)到平時(shí)經(jīng)常使用的數(shù)一數(shù)、比一比、畫一畫等方法都可以應(yīng)用于探索規(guī)律。規(guī)律是數(shù)學(xué)化程度較高的思維活動(dòng)，其重要思維方式就是合情推理，因此，在以上的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不僅探究了數(shù)學(xué)規(guī)律，而且經(jīng)歷了從特殊到一般的合情推理過(guò)程，順應(yīng)了學(xué)生的思維，發(fā)展了合情推理能力。

小學(xué)階段的學(xué)習(xí)需要合情推理能力，這對(duì)于學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率有很大的幫助。在教學(xué)中，教師要注重總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、探索更多有助于學(xué)生培養(yǎng)合情推理能力的方法，以提高課堂教學(xué)效率，更好的發(fā)揮學(xué)生的潛能。

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“小學(xué)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成的案例研究”（編號(hào)：C-a/2016/02/01）和徐州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)探索規(guī)律教學(xué)中合情推理的案例研究”（編號(hào)：GH12-15-L145）的階段成果。]

（責(zé)編 李琪琦）