數(shù)學(xué)直覺，導(dǎo)引學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)悄然深入

薛明

摘 要：數(shù)學(xué)直覺是對數(shù)學(xué)對象的直接洞察、感悟，帶有直接性、創(chuàng)造性、或然性、跳躍性等諸多特性。教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察，鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想、猜測，進(jìn)而開掘數(shù)學(xué)直覺的源頭活水。數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)邏輯的有機(jī)融合，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞：直覺思維；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；悄然深入

法國著名哲學(xué)家帕斯卡爾在其名著《思想錄》中指出，“人有兩種精神，一種是幾何學(xué)精神，另一種是敏感性精神”。所謂的“幾何學(xué)精神”就是指邏輯推理與演繹；所謂“敏感性精神”就是一種直覺。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，直覺導(dǎo)引學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，而邏輯則用于證明、推導(dǎo)。數(shù)學(xué)直覺應(yīng)該包括學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)聯(lián)想和數(shù)學(xué)猜測等，它們往往不受規(guī)范、邏輯等的約束，因而更具創(chuàng)造性。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。

一、數(shù)學(xué)直覺的理性認(rèn)知

數(shù)學(xué)直覺是一種深刻、敏銳的數(shù)學(xué)洞察、感悟，常常以頓悟、靈感等形式出現(xiàn)，有時(shí)也體現(xiàn)為對對象的迅速識別、直接把握和綜合判斷。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)直覺是學(xué)生的一種思維躍遷、想象馳騁，具有經(jīng)驗(yàn)性、直觀性、或然性、果斷性、迅速性、創(chuàng)造性等諸多特性。

1. 數(shù)學(xué)直覺的直接性

數(shù)學(xué)直覺不是理性慢慢沉思的結(jié)果，而是學(xué)生在一剎那完成的，具有稍縱即逝的特性，它是長期思考的靈感迸發(fā)，或者是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的確證與表征。如有學(xué)生對某些問題殫精竭慮、苦思冥想，卻百思不得其解，但就在山重水復(fù)疑無路時(shí)卻產(chǎn)生了柳暗花明、豁然開朗的思維通路，這就是靈感迸發(fā)；或者學(xué)生在低年級必須通過邏輯推理，借助畫圖等手段方法才能解決的問題在高年級由于學(xué)生思維的發(fā)展，他們往往能夠做出準(zhǔn)確而即時(shí)的判斷，就表現(xiàn)為二次直覺、三次直覺等。如已知甲數(shù)以及甲數(shù)比乙數(shù)多的數(shù)，求乙數(shù)，低年級學(xué)生往往需要借助畫圖來思考，而高年級學(xué)生由于知識積累以及理性發(fā)展，能夠?qū)χ龀黾磿r(shí)判斷。

2. 數(shù)學(xué)直覺的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)直覺往往是對未知領(lǐng)域的探索，因而帶有強(qiáng)烈的創(chuàng)造性。法國著名數(shù)學(xué)家彭加萊說，“邏輯是證明的工具，直覺是創(chuàng)造的工具”。數(shù)學(xué)直覺是一種借助主體的知識經(jīng)驗(yàn)、問題解決經(jīng)驗(yàn)等，通過豐富的想象，對對象做出的大膽假設(shè)、猜想或者判斷。如學(xué)生對于兩條平行線之間的三角形的面積相等的判斷，對于同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對頂角相等的判斷，對于平行四邊形對邊相等、對角相等的判斷等都是一種帶有創(chuàng)造性的直覺判斷。教學(xué)中教師要呵護(hù)、鼓勵(lì)學(xué)生展開這樣的判斷。在學(xué)生直覺判斷的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯、推理、實(shí)驗(yàn)等各種方式進(jìn)行證實(shí)或證偽。

3. 數(shù)學(xué)直覺的或然性

如上所述，數(shù)學(xué)直覺并非必然的，可能是真理，也可能是謬誤。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的觀察、想象很重要，但觀察、想象中往往帶有經(jīng)驗(yàn)成分，因而夾雜著許多迷思觀念。數(shù)學(xué)教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)直覺進(jìn)行理性驗(yàn)證，通過驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。例如教學(xué)《三角形的認(rèn)識》（蘇教版小數(shù)第8冊），對于三角形三邊關(guān)系，學(xué)生在直覺判斷上往往認(rèn)為只要是三根小棒就一定能夠圍成三角形。為此，教師可以出示這樣的三根小棒，其中兩根小棒長度和小于第三根小棒，讓學(xué)生動手操作。學(xué)生在操作實(shí)驗(yàn)過程中自然地對先前直覺判斷展開批判思考，在這個(gè)過程中，學(xué)生的質(zhì)疑意識、反思意識、驗(yàn)證意識得到有效培育。

二、數(shù)學(xué)直覺的培育策略

數(shù)學(xué)是一門理性的學(xué)科。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)往往講究精致化、邏輯性，教學(xué)過程步步為營，按照教學(xué)預(yù)設(shè)中的路線圖，對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行學(xué)習(xí)導(dǎo)航，學(xué)生或者同化或者順應(yīng)，更有機(jī)械模仿。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生了嗎？

1. 引導(dǎo)觀察，觸碰直覺之源

著名教育家蘇霍姆林斯基說，“每個(gè)人的內(nèi)心深處都有一個(gè)根深蒂固的愿望，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者”。數(shù)學(xué)直覺離不開數(shù)學(xué)觀察，所謂“數(shù)學(xué)觀察”是指學(xué)生帶著明確目的，憑借自身感官（如眼、耳等）及相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，直接或間接從問題中搜尋數(shù)學(xué)信息，找尋顯性或隱性的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程。觀察中蘊(yùn)含著思維，因此觀察又稱為思維的感知或者視覺思維。教學(xué)中，教師要遵循學(xué)生的感知規(guī)律，科學(xué)合理地引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)觀察。

教學(xué)《物體的體積》（蘇教版小數(shù)六年級上冊），在探討容積與體積的聯(lián)系與區(qū)別時(shí)，筆者以茶杯為工具，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中思考，讓學(xué)生展開有思想的視覺思維。

師：看這個(gè)茶杯（含有蓋子），你認(rèn)為茶杯的體積和容積有什么聯(lián)系和區(qū)別？

生1：茶杯的體積是指整個(gè)的茶杯所占空間的大小，應(yīng)該從外面量；茶杯的容積是指茶杯能夠裝多少水，是從里面量的。所以我認(rèn)為體積一定比容積大。

生2：看這個(gè)茶杯，當(dāng)一個(gè)茶杯內(nèi)的容積很大時(shí)，茶杯的容積可以近似地看成是茶杯的體積。

生3：也可以看成是茶杯的杯壁非常薄，以至于可以忽略不計(jì)，這時(shí)茶杯的容積就是茶杯體積。

生4（將茶杯蓋子拿掉）：看這樣一個(gè)無蓋的茶杯，根據(jù)體積的定義，物體所占空間的大小叫作物體的體積，現(xiàn)在這個(gè)茶杯的體積應(yīng)該是指制作茶杯的材料所占的體積。所以我認(rèn)為這時(shí)的茶杯容積反而比體積大得多。（顯然，該生對體積概念的理解十分到位）

生4（倒水）：看，如果我們向茶杯里倒水，在水滿時(shí)根據(jù)科學(xué)課上的張力原理，還可以再加上一兩滴水，這時(shí)的容積有可能比我們計(jì)算的要大。

……

學(xué)生通過觀察茶杯，提出了一系列基于直覺的數(shù)學(xué)猜想，這是一種直接領(lǐng)悟式的思維，是基于學(xué)生積極、主動觀察的結(jié)果。這種觀察不是按部就班的邏輯推理，而是從整體上把握認(rèn)知對象。

2. 鼓勵(lì)聯(lián)想，彰顯直覺之思

聯(lián)想不受邏輯的束縛，具有極強(qiáng)的跳躍性、自由性，能夠?qū)⒂新?lián)系的不同事物串通起來。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要喚起學(xué)生的好奇心、求知欲，引導(dǎo)學(xué)生展開相似聯(lián)想、類比聯(lián)想、因果聯(lián)想、接近聯(lián)想等。要積累學(xué)生的感性表象，為學(xué)生的聯(lián)想奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。一個(gè)人，表象越豐富，其聯(lián)想的空間就越開闊；反之，表象越貧乏，其聯(lián)想的空間就越狹窄。所以著名物理學(xué)家愛因斯坦說，“想象比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力卻概括世界上的一切，并且推動著科學(xué)進(jìn)步”。

例如教學(xué)《圓柱的體積》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第12冊），當(dāng)教師提出如何將圓柱體體積轉(zhuǎn)化成已學(xué)的立體圖形體積時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方體和正方體的體積公式，于是他們提出轉(zhuǎn)化成長方體。怎么轉(zhuǎn)化呢？學(xué)生展開了積極的類比聯(lián)想：既然圓的面積可以轉(zhuǎn)化成長方形、三角形等的面積，圓柱的體積也應(yīng)該可以轉(zhuǎn)化成長方體、三棱柱等的體積。在學(xué)生展開直覺聯(lián)想的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)探究。又如，教學(xué)《梯形的面積》（蘇教版第9冊），在遇到求一堆鋼管的根數(shù)問題時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)堆放的鋼管橫截面形狀是梯形，由此學(xué)生展開接近聯(lián)想：可以用梯形的面積公式求出鋼管的根數(shù)嗎？在此基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生將兩堆鋼管合起來，孩子們直觀看到，一堆鋼管的橫截面變成了平行四邊形。這樣，每一行的鋼管數(shù)就相等。因此，計(jì)算原來鋼管的根數(shù)用梯形的面積公式水到渠成?？梢姡?lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁，是能力提升的階梯，是思維創(chuàng)造的搖籃。通過聯(lián)想，能夠激活學(xué)生塵封的記憶，讓學(xué)生生發(fā)出超越常規(guī)的問題解決思路。聯(lián)想賦予了學(xué)生充分的思維自由度，讓學(xué)生由表及里、由此及彼，將所學(xué)知識融會貫通。學(xué)生舉一反三，其數(shù)學(xué)化思維得到深度拓展。

3. 大膽猜測，敞亮直覺之境

著名思想家胡適先生有一句名言，“大膽地猜測，小心地求證”。的確如此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生對問題解決思路大膽地猜測，引導(dǎo)學(xué)生多角度猜測，讓學(xué)生突破固化的思維定式，不畏首畏尾、裹足不前。數(shù)學(xué)猜測是在短時(shí)間內(nèi)，調(diào)動自己的已有知識經(jīng)驗(yàn)儲備，快速而開放地預(yù)測結(jié)論和結(jié)果的過程。在猜測中，激活學(xué)生思維潛質(zhì)，敞亮學(xué)生直覺之境。

例如教學(xué)《循環(huán)小數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第9冊），教學(xué)前，筆者讓學(xué)生根據(jù)自己的理解，說一說循環(huán)小數(shù)是一個(gè)怎樣的小數(shù)。學(xué)生顧名思義，紛紛展開猜測，在猜測中，他們相互碰撞、相互啟發(fā)，循環(huán)小數(shù)的定義呼之欲出。

生1：我想循環(huán)小數(shù)可能是無限小數(shù)，就像春夏秋冬四季循環(huán)一樣。

生2：我想，循環(huán)小數(shù)一定有相同的或者重復(fù)的部分（循環(huán)節(jié)），否則就不叫“循環(huán)”小數(shù)了。

生3：我想，循環(huán)小數(shù)可能是一個(gè)數(shù)字循環(huán)，也可能是多個(gè)數(shù)字循環(huán)，就像晝夜更替、四季更替一樣。

生4：我從“循環(huán)”二字想，循環(huán)小數(shù)可能是全部循環(huán)的，也可能是部分循環(huán)的。我想，只要有循環(huán)，就應(yīng)該可以稱之為循環(huán)小數(shù)。

……

學(xué)生根據(jù)循環(huán)小數(shù)的字面含義以及自我的生活經(jīng)驗(yàn)展開積極的猜測，這些猜測是學(xué)生對循環(huán)小數(shù)認(rèn)識的第一反應(yīng)。教學(xué)中，教師要放縱學(xué)生的第一反應(yīng)，激活學(xué)生創(chuàng)造動因，鼓勵(lì)學(xué)生大膽、合理地猜測。如此，學(xué)生不再是被動地接受知識，而是主動地創(chuàng)造知識。

數(shù)學(xué)直覺是人腦對對象的直接領(lǐng)悟與洞察，教師是學(xué)生展開數(shù)學(xué)直覺、數(shù)學(xué)瞭望的引路人。教學(xué)中通過夯實(shí)學(xué)生知識基礎(chǔ)，設(shè)置誘導(dǎo)問題情境，催發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證活動。從思維本性看，人是一種“半直覺半邏輯”的動物，因此將數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)邏輯融合，有助于學(xué)生做到“友善用腦”“和諧用腦”“健康用腦”。