做市商定價(jià)信息模型與數(shù)值方法

武亞男

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 離石 033001)

·數(shù)學(xué)研究·

做市商定價(jià)信息模型與數(shù)值方法

武亞男

(呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 離石 033001)

做市商制度是在證券市場(chǎng)上，由具備一定實(shí)力和信譽(yù)的證券經(jīng)營(yíng)法人充當(dāng)做市商，不斷地向投資者報(bào)出證券的買入和賣出報(bào)價(jià)，并在該價(jià)值上接受投資者的買賣要求，以其自有資金和證券與投資者進(jìn)行交易.做市商通過他們的不斷買賣來滿足投資者的投資需求，并維持市場(chǎng)的流動(dòng)性；也可通過買賣報(bào)價(jià)的適當(dāng)差額來補(bǔ)償提供做市服務(wù)發(fā)生的成本 ，并實(shí)現(xiàn)一定的利潤(rùn).做市商制度是做市商同時(shí)進(jìn)行顯性的買賣雙向報(bào)價(jià)并按其主動(dòng)報(bào)出的價(jià)格進(jìn)行交易.研究做市商定價(jià)理論中的信息模型，在Copeland和Galai信息模型[7]的基礎(chǔ)上，發(fā)展期權(quán)定價(jià)的方法，對(duì)價(jià)差計(jì)算進(jìn)行推廣，給出買價(jià)、賣價(jià)的計(jì)算方法，并進(jìn)一步采用迭代算法求出信息不對(duì)稱條件下的做市商的買、賣價(jià)格.

做市商；知情交易者；期權(quán)定價(jià)；賣價(jià)

做市商(Market maker)，是指金融市場(chǎng)上的一些獨(dú)立的證券交易商，為投資者承擔(dān)某一支證券的買入和賣出，買賣雙方無需等待交易對(duì)手出現(xiàn)，而只要做市商出面承擔(dān)交易對(duì)手方就可以達(dá)成交易.由于做市商通過作為交易對(duì)手不斷買賣來滿足投資者的投資需求，這有效地維持和增強(qiáng)了市場(chǎng)的流動(dòng)性.同時(shí)，做市商主動(dòng)向市場(chǎng)提出買、賣雙向報(bào)價(jià)，投資者根據(jù)做市商報(bào)出的買價(jià)和賣價(jià)進(jìn)行交易，做市商可以通過設(shè)定買、賣報(bào)價(jià)的適當(dāng)差額來補(bǔ)償做市過程中所發(fā)生的做市成本，并且實(shí)現(xiàn)一定的利潤(rùn)[1].做市商通過長(zhǎng)期跟蹤證券價(jià)格的變化，憑借其專業(yè)知識(shí)對(duì)市場(chǎng)價(jià)格作出判斷，向市場(chǎng)提供最合理的和最有參考意義的買、賣報(bào)價(jià).那么做市商是如何設(shè)定其買賣報(bào)價(jià)的，這些價(jià)格是如何進(jìn)行計(jì)算的，價(jià)格又受到哪些因素的影響？本文將通過一些理論說明和計(jì)算來回答這些問題.

做市商為了補(bǔ)償其做市成本而在買入報(bào)價(jià)和賣出報(bào)價(jià)之間設(shè)立價(jià)差，因此對(duì)于做市成本的研究就成為了做市商定價(jià)理論的起點(diǎn)，而買賣報(bào)價(jià)價(jià)差則是做市商定價(jià)理論的切入點(diǎn).最早對(duì)于買賣價(jià)差的研究見于Demsetz[2]1968年發(fā)表的論文《交易成本》，首次提出了買賣報(bào)價(jià)價(jià)差模型.此后，在德姆塞斯的文章中，一些學(xué)者關(guān)注于存貨成本與買賣價(jià)差之間的關(guān)系，如M.Garman[3]，Y.Amihud[4]，T.Ho，H.Stoll[5]等人建立了用存貨成本解釋買賣報(bào)價(jià)價(jià)差形成過程的存貨模型.在存貨模型中，交易者和做市商擁有的信息都是相同的，不存在信息不對(duì)稱的問題，所以在實(shí)證檢驗(yàn)中，存貨模型的解釋能力是有限的.在20世紀(jì)80年代中期以后，信息不對(duì)稱引入模型，做市商定價(jià)理論的發(fā)展重點(diǎn)隨之轉(zhuǎn)到了信息模型，這是其發(fā)展的第二階段，信息模型的基本特征是用信息不對(duì)稱所產(chǎn)生的信息成本，而不是交易成本，來解釋市場(chǎng)中買賣報(bào)價(jià)價(jià)差.1971年W.Bagehot[6]發(fā)表的文章被認(rèn)為是信息模型的第一篇文章.在這篇文章中，Bagehot第一次區(qū)分了信息模型中的重要概念——知情交易者(informed trader)和非知情交易者(uninformed trader).他的出發(fā)點(diǎn)是金融市場(chǎng)中市場(chǎng)收益和交易收益是不相等的，造成差異的原因是信息不對(duì)稱，市場(chǎng)中的一部分交易者具有信息優(yōu)勢(shì)，知情交易者的信息優(yōu)勢(shì)使得他與做市商進(jìn)行交易時(shí)總是獲利，而做市商為了避免破產(chǎn)，不得不用與非知情交易者交易獲得的盈利來沖銷損失，這些盈利的來源就在于做市商設(shè)定的買賣報(bào)價(jià)的價(jià)差.這樣，Bagehot就用信息成本解釋了市場(chǎng)價(jià)差.此后Copeland和Galai[7](1983)以及Glosten和Milgrom[8]等人進(jìn)一步發(fā)展了的做市商定價(jià)的信息模型.本文是在Copeland和Galai文章的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了期權(quán)定價(jià)方法在做市商定價(jià)理論上的應(yīng)用，給出了具體買、賣價(jià)差的計(jì)算，并分析了各個(gè)因素對(duì)價(jià)格變動(dòng)的影響.

1 做市商定價(jià)信息模型

已知市場(chǎng)中的交易事件是按照下面的順序發(fā)生的.做市商制定買價(jià)和賣價(jià)，表明他愿意以買價(jià)買入一個(gè)單位的證券，或以賣價(jià)出售一個(gè)單位的證券.一個(gè)投資者到達(dá)市場(chǎng)被獲知買價(jià)和賣價(jià)，這時(shí)他可以自由地選擇以賣價(jià)買入一個(gè)單位的證券，或以買價(jià)賣出一個(gè)單位，或者選擇不進(jìn)行交易而離開市場(chǎng).在一位投資者已經(jīng)做出買賣決定與下一位投資者到達(dá)市場(chǎng)的時(shí)間間隔內(nèi)，做市商可以改變報(bào)出的買價(jià)和賣價(jià).

做市商設(shè)定的買賣價(jià)格是根據(jù)他對(duì)證券在市場(chǎng)上的真實(shí)價(jià)格地判斷做出的.設(shè)St為做市商觀測(cè)到的證券在t時(shí)刻的真實(shí)價(jià)格，St的變化過程是個(gè)外生變量，它發(fā)生改變的信息是外部決定的，并假設(shè)由知情交易者將真實(shí)信息傳遞到市場(chǎng)上，做市商和非知情交易者只有根據(jù)交易的價(jià)格行為來觀察和判斷St的值.做市商根據(jù)他觀測(cè)到的證券的價(jià)值制定報(bào)價(jià)，以買價(jià)KB買入一個(gè)單位，或以賣價(jià)KA賣出一個(gè)單位.這個(gè)報(bào)價(jià)是非常短暫的，他會(huì)因下一次交易或者新信息的到達(dá)而改變.

設(shè)市場(chǎng)中只有兩類交易者，為知情交易者和非知情交易者，并設(shè)pI(0

因?yàn)橹榻灰渍哒莆罩枪菜饺诵畔?，即具有信息?yōu)勢(shì)，因此做市商在與知情交易者交易的過程中會(huì)蒙受損失，即付出成本，設(shè)為C.并且知情交易者擁有對(duì)S真實(shí)價(jià)值估計(jì)的信息，因此知情交易者會(huì)在價(jià)值被低估時(shí)買入(即在S>KA時(shí)買入)，在價(jià)值被高估時(shí)賣出(在SKA，或S

假設(shè)做市商在0時(shí)刻喊出買入報(bào)價(jià)KB和賣出報(bào)價(jià)KA，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間段τ后有交易者到達(dá)并交易，若交易者是知情交易者，則他將在S>KA時(shí)買入或在S

以下分析中我們假設(shè)市場(chǎng)無摩擦(無稅收、交易費(fèi)等)，做市商是風(fēng)險(xiǎn)中性的，且資本市場(chǎng)是匿名的，做市商在交易之前并不知道那筆信息占有更多的信息優(yōu)勢(shì).根據(jù)市場(chǎng)的交易特性，我們將采用期權(quán)定價(jià)的方法研究和求解完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)條件下做市商的買、賣報(bào)價(jià).

已知做市商在0時(shí)刻對(duì)證券價(jià)值的估計(jì)為S0，做市商依此設(shè)立買入報(bào)價(jià)KB和賣出報(bào)價(jià)KA，并直到T時(shí)刻有交易者進(jìn)行交易.KA-KB=KA-S0+S0-KB為做市商所報(bào)價(jià)格的價(jià)差，其中S0-KB為買入價(jià)差,KA-S0為賣出價(jià)差.做市商的這一行為相當(dāng)于在0時(shí)刻賣給交易者一張跨式組合期權(quán)，即做市商在0時(shí)刻同時(shí)對(duì)同一標(biāo)的物賣出了一張以賣出價(jià)KA作為敲定價(jià)格的看漲期權(quán)和一張以買入價(jià)KB作為敲定價(jià)格的看跌期權(quán)，兩張期權(quán)的到期日相同均為T，并且只能在到期日期權(quán)才能夠執(zhí)行,而價(jià)差的成本即為期權(quán)的價(jià)格.

對(duì)于知情交易者來講，他占有非公眾的私人信息因而掌握著證券的真實(shí)價(jià)值，因此會(huì)在交易中獲利，當(dāng)S>KA時(shí)他執(zhí)行看漲期權(quán)并獲得期權(quán)的收益為C(KA)=pI(S-KA)+，當(dāng)S

如上所述，跨式組合期權(quán)中看漲和看跌期權(quán)均為到期日為T的歐式期權(quán)，因而可由Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式得到解析表達(dá)式.因?qū)嶋H中買賣報(bào)價(jià)時(shí)間間隔較短，故令無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.那么可進(jìn)一步得到，

知情交易者在T時(shí)刻買入時(shí)，執(zhí)行了看漲期權(quán)，做市商的成本為：

(1)

知情交易者在T時(shí)刻賣出時(shí)，執(zhí)行了看跌期權(quán)，做市商的成本為：

其中S0為資產(chǎn)初始真實(shí)價(jià)格，KA為做市商賣出看漲期權(quán)的敲定價(jià)格，KB為做市商賣出看跌期權(quán)的敲定價(jià)格，σ為回報(bào)率的年標(biāo)準(zhǔn)差.期權(quán)在t=0時(shí)刻生效，在T=τ時(shí)刻期權(quán)到期執(zhí)行.

2 模型的發(fā)展和數(shù)值結(jié)果

在完全競(jìng)爭(zhēng)的金融市場(chǎng)中，假設(shè)市場(chǎng)是無摩擦的，做市商長(zhǎng)期的競(jìng)爭(zhēng)均衡將會(huì)在期望成本等于期望收益處達(dá)到，即做市商的期望利潤(rùn)為0，那么看漲和看跌期權(quán)分別滿足以下等式：

(2)

(3)

….

(4)

對(duì)公式(4)兩邊取極限，又T是連續(xù)的，可得：

表1 θ的估計(jì)值

表2 KA的逼近值

注：當(dāng)θ=0時(shí)不能做分母，我們?nèi)ˇ?10-6近似代替計(jì)算

以下為對(duì)應(yīng)于KA的價(jià)差關(guān)于交易時(shí)間間隔t=τ和年波動(dòng)率σ的圖像：

從圖1中可以看出，當(dāng)年波動(dòng)率σ不變時(shí)，賣出價(jià)差(KA-S0)與交易時(shí)間間隔τ是正相關(guān)的，并且當(dāng)交易時(shí)間充分小時(shí)，價(jià)差趨近于0，賣出報(bào)價(jià)趨近于證券的價(jià)值,即KA=S0.當(dāng)交易時(shí)間不變時(shí)，賣出價(jià)KA隨著σ的增大而增大，并且當(dāng)年平均波動(dòng)率趨近于0時(shí)，價(jià)差趨近于0，KA=S0.這與我們?cè)诮?jīng)濟(jì)意義上的理解是相一致的.

以下分析假設(shè)公式(3)中其他條件不變，改變知情交易者占總交易者的比率pI，并觀察pI的變化對(duì)賣出價(jià)KA的影響.

圖1 KA的價(jià)差關(guān)于交易時(shí)間間隔t=τ和年波動(dòng)率σ的變化圖2 賣出價(jià)KA關(guān)于pI的變化

從圖2中我們可以看到初期隨著市場(chǎng)中知情交易者比率的增加，賣價(jià)KA是遞增的，但是當(dāng)知情交易者比率超過60%的時(shí)候，賣價(jià)開始下降，并最終趨近于證券價(jià)值.這說明，隨著知情交易者數(shù)量在市場(chǎng)中增加，信息在不斷傳播，非知情交易者也變得知情，那么原有的知情交易者便失去了他的信息優(yōu)勢(shì)，因此也使得賣價(jià)更接近于真實(shí)值.

上述數(shù)值算例中，我們計(jì)算了在不同的年標(biāo)準(zhǔn)差和報(bào)價(jià)間隔下做市商的賣價(jià)KA.通過數(shù)值結(jié)果可以看出：當(dāng)其他條件不變時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的年標(biāo)準(zhǔn)差上升，賣價(jià)升高，價(jià)差變大；證券報(bào)價(jià)與交易的時(shí)間間隔越長(zhǎng)，賣價(jià)越高，價(jià)差越大.當(dāng)其他條件不變時(shí)，知情交易者比率的增加對(duì)賣價(jià)先增后降的影響顯示了信息在市場(chǎng)中的傳播過程，這說明了及時(shí)廣泛的信息傳播可以降低價(jià)差，促進(jìn)交易，從而有助于市場(chǎng)的平穩(wěn)發(fā)展.

3 模型對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義

前面部分討論的信息模型給出了做市商定價(jià)公式和賣價(jià)的計(jì)算方法，并對(duì)金融交易中重要的交易時(shí)間和波動(dòng)率對(duì)賣價(jià)的影響做了相關(guān)性分析.這些結(jié)果對(duì)于做市商交易制度的實(shí)施具有指導(dǎo)意義.

首先，通過分析我們看到，交易時(shí)間間隔和價(jià)差是正相關(guān)的，而交易時(shí)間間隔越短，說明市場(chǎng)的交易越頻繁，價(jià)差越小，買、賣價(jià)格越接近于證券真實(shí)價(jià)值.若在較長(zhǎng)時(shí)間間隔內(nèi)無交易，價(jià)差會(huì)增大，那么可能是賣價(jià)過高，或是做市商對(duì)證券價(jià)格估計(jì)不準(zhǔn)，此時(shí)做市商應(yīng)即時(shí)調(diào)整價(jià)格，重新報(bào)價(jià).這既能有效促進(jìn)市場(chǎng)的平穩(wěn)運(yùn)行，也在某種意義上限制了做市商暴露于知情交易者的價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)[9].

其次，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行信息披露.我們看到賣價(jià)會(huì)隨著知情交易者比率的增加而上升，但是當(dāng)市場(chǎng)中的知情交易者占據(jù)相應(yīng)比重的時(shí)候，由于信息的傳播，知情交易者會(huì)失去信息優(yōu)勢(shì)從而使得賣價(jià)回落到接近于證券真實(shí)價(jià)值.這從理論上說明了信息披露的重要性，及時(shí)的信息披露可以降低做市商的做市風(fēng)險(xiǎn)[10].

從整體上看，做市商定價(jià)信息模型對(duì)基于信息不對(duì)稱的做市商的定價(jià)行為作了詳細(xì)的分析，并給出了與經(jīng)濟(jì)意義相符的分析結(jié)果.這不僅有助于我們加強(qiáng)對(duì)做市商定價(jià)行為的理解，而且還有助于制定正確的調(diào)控和監(jiān)管措施.從2008年3月起，國(guó)務(wù)院已經(jīng)先后批復(fù)天津、武漢和重慶作為全國(guó)場(chǎng)外交易市場(chǎng)體系的試點(diǎn)，在這些市場(chǎng)中推行做市商制度，因此對(duì)于做市商定價(jià)理論的研究并將其應(yīng)用于中國(guó)的金融改革，對(duì)于做市商制度在我國(guó)的順利推行和有效監(jiān)管具有重要的意義.

[1]吳林祥.做市商定價(jià)理論綜述[J].外國(guó)經(jīng)濟(jì)與管理，2000(10).

[2]Demsetz.H.The Cost of Transacting[J].Quarterly Journal of Economics,1968(82).

[3]Mark Garman.Market Microstructure[J].Journal of Financial Economics,1976(3).

[4]Yakov Amihud and Haim Mendelson.Dealership market:Market-making with Inventory[J].Journal of Financial Economics,1980(3).

[5]Thomas Ho and Hans Stoll.Optimal Dealer Pricing Under Transactions and Return Uncertainty[J].Journal of Financial Economics,1981(9).

[6]Walter Bagehot (pseud.).The Only Game in Town[J]Financial Analysis Journal,1971(27).

[7]Thomas E.Copeland and Dan Galai.Information Effect on the Bid-Ask Spread [J].Journal of Finance,1983(38).

[8]Lawrence R.Glosten and Paul R.Milgrom.Bid,.Ask and Transaction Prices in a Specialist Market with Heterogeneously Informed Traders[J].Journal of Financial Economics,1985(14).

[9]莫琳·奧哈拉.市場(chǎng)的微觀結(jié)構(gòu)理論[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.

[10]平新喬.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講[M].北京:北京大學(xué)出版社，2001.

2017-02-06

武亞男(1989-)，女，山西中陽(yáng)人，助教，研究方向?yàn)榻鹑跀?shù)學(xué).

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2095-185X(2017)02-0004-05