福建全省統(tǒng)一命題視角下的數(shù)學(xué)中考應(yīng)用題分類評析

蘇圣奎++陳清華++吳寶樹

摘 要：數(shù)學(xué)中考試題中應(yīng)用題的合理命制對考查、評價學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)具有重要意義.通過對2013-2015年福建省九個設(shè)區(qū)市中考數(shù)學(xué)試卷中的應(yīng)用題進(jìn)行分類評析，促進(jìn)師生關(guān)注應(yīng)用題其潛在價值及對數(shù)學(xué)中考統(tǒng)一命題的啟示.

關(guān)鍵詞：統(tǒng)一命題；數(shù)學(xué)中考；應(yīng)用題；數(shù)學(xué)建模

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[1]提到：“使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要的數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想和必要的基本技能.使學(xué)生初步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.”其中，“應(yīng)用意識”做為六大基本能力之一，《2016年福建省初中學(xué)業(yè)考試大綱（數(shù)學(xué)）》在課標(biāo)要求的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行了解讀，即“認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，并有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題.”[2]我國著名數(shù)學(xué)教育專家張奠宙教授曾經(jīng)說過：“應(yīng)用題的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)建模”.作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力要依托與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)。下面以2013-2015年福建省九個設(shè)區(qū)市數(shù)學(xué)中考試卷中的應(yīng)用題為載體進(jìn)行分類評析，并闡述筆者的思考與認(rèn)識[3].

1 2013—2015福建省九地市中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類評析

這三年里，福建各設(shè)區(qū)市中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要考查代數(shù)式、方程（一元一次方程、分式方程、一元二次方程）、一元一次不等式（組）、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）及解直角三角形等知識內(nèi)容，大部分設(shè)區(qū)市的題量在1至2題，個別設(shè)區(qū)市達(dá)到4題，考查分值介于4—28分之間，差異較大，根據(jù)這三年各設(shè)區(qū)市中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題考查的知識內(nèi)容，可分為六種類型：代數(shù)式型，方程（組）型，不等式型，解直角三角形型，幾何綜合型，函數(shù)型.由表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出：

（1）方程型（含整式方程和分式方程）應(yīng)用題占據(jù)“半壁江山”，大部分題目都賦予了生活情境，能從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，彰顯了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，有利于引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

（2）函數(shù)型（含一次函數(shù)、二次函數(shù)）應(yīng)用題體現(xiàn)了創(chuàng)新性和綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，近三年反比例函數(shù)應(yīng)用題雖未進(jìn)入考查范圍，但不容小覷.在全省統(tǒng)一命題及高中使用全國卷的兩大背景下，為了更好地進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)知識的銜接，發(fā)揮中考的導(dǎo)向作用，函數(shù)型試題將成為中考命題的重點(diǎn).

（3）銳角三角函數(shù)與幾何圖形的綜合考查成為應(yīng)用題命題的一個亮點(diǎn)，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

（4）方程（組）、不等式（組）及函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”知識領(lǐng)域的核心內(nèi)容，各知識體系之間聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)建模的過程也較為相似.為了能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)及應(yīng)用能力，這三個方面知識的綜合考查成為中考命題的常態(tài).

1.1 代數(shù)式型

例1 （2015廈門第7題）某商店舉辦促銷活動，促銷的方法是將原價x元的衣服以〔■x-10〕元出售，則下列說法中，能正確表達(dá)該商店促銷方法的是（ ）.

A. 原價減去10元后再打8折

B. 原價打8折后再減去10元

C. 原價減去10元后再打2折

D. 原價打2折后再減去10元

【評析】此題主要考查了代數(shù)式的應(yīng)用.代數(shù)式是最基本的數(shù)學(xué)語言，能有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示由低級到高級、由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維過程，富有規(guī)律性和啟發(fā)性，能考查學(xué)生抽象、概括思維能力及數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).代數(shù)式的應(yīng)用應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)語言和生活中文字語言的轉(zhuǎn)化，如解答此題的關(guān)鍵是要明確“折”的含義，將“折”轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的數(shù)學(xué)模型，即“x元商品打m折”等價于代數(shù)式■mx.試題表述簡潔、清晰，問題設(shè)計(jì)角度新穎，體現(xiàn)了注重算理理解而不是機(jī)械記憶的教學(xué)導(dǎo)向，同時滲透了應(yīng)用意識.

1.2 方程（組）型

例2 （2014漳州第15題）水仙花是漳州市花，如圖1，在長為14m，寬為10m的長方形展廳，劃出三個形狀、大小完全一樣的小長方形擺放水仙花，則每個小長方形的周長為_________m.

【評析】本題考查一次方程（組）的應(yīng)用，既可以運(yùn)用一元一次方程，也可以列二元一次方程組來解決問題.題目以學(xué)生熟悉的水仙花為背景，需要學(xué)生建立對應(yīng)的方程（組）模型來解決問題，有效滲透數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模思想.方程組的求解可以靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算的小技巧，實(shí)現(xiàn)快捷運(yùn)算，在中考這種“限時型”的考試中，應(yīng)關(guān)注此類運(yùn)算技巧，有利于提升學(xué)生運(yùn)算能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

1.3 不等式型

例3 （2015龍巖第23題）某公交公司有A，B型兩種客車，它們的載客量和租金如表2：

紅星中學(xué)根據(jù)實(shí)際情況，計(jì)劃租用A，B型客車共5輛，同時送七年級師生到基地校參加社會實(shí)踐活動，設(shè)租用A型客車x輛，根據(jù)要求回答下列問題：

（1）用含x的式子填寫表3：

（2）若要保證租車費(fèi)用不超過1900元，求x的最大值；

（3）在（2）的條件下，若七年級師生共有195人，寫出所有可能的租車方案，并確定最省錢的租車方案.

【評析】此題主要考查了一次不等式的綜合應(yīng)用，題目以師生參加社會實(shí)踐為背景，從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)認(rèn)知出發(fā)，考查學(xué)生對基本數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，要求學(xué)生具備解讀表格信息，處理數(shù)學(xué)信息的能力，并以此來建立不等式模型，關(guān)注了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，較好地考查了學(xué)生運(yùn)用不等式和分類討論思想的綜合能力.

1.4 解直角三角形型

例4 （2013三明第18（2）題）如圖2，已知墻高AB為6.5米，將一長為6米的梯子CD斜靠在墻面，梯子與地面所成的角∠BCD=55°，此時梯子的頂端與墻頂?shù)木嚯xAD為多少米？（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.857，tan55°≈1.43）

【評析】本題考查了銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用，以學(xué)生熟悉的行程問題為背景，貼近生活.題目要求學(xué)生能在直角三角形中建立三角函數(shù)模型，并進(jìn)行簡單的數(shù)字運(yùn)算，在考查學(xué)生將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)信息的過程中，也充分關(guān)注了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)建模的思想的基本意識.

1.5 函數(shù)型

例5 （2014莆田第23題）某水果店銷售某中水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y1（元）與銷售時間第 月之間存在如圖3（一條線段）的變化趨勢，每千克成本y2（元）與銷售時間第x月滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)2=mx2-8mx+n，其變化趨勢如圖4.

（1）求y2的解析式；

（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【評析】本題以現(xiàn)實(shí)生活中動車售票情況為背景，考查學(xué)生對一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的理解與應(yīng)用，要求學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，能將問題中的文字語言和圖形語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的符號語言，求出函數(shù)的解析式，并運(yùn)用函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型來解決問題，注重對數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用，彰顯了數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活的科學(xué)性與實(shí)用性，符合課標(biāo)“用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，解決日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”的要求.

1.6 幾何綜合型

例6（2013南平第24題）2013年6月11日，“神舟”十號載人航天飛船發(fā)射成功！如圖5，飛船完成變軌后，就在離地球（⊙O）表面約350 km的圓形軌道上運(yùn)行.當(dāng)飛船運(yùn)行到某地（P點(diǎn)）的正上方（F點(diǎn)）時，從飛船上能看到地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)Q（FQ是⊙O的切線）.如圖6，已知地球的半徑約為6400 km.求：

（1）∠QFO的度數(shù)；（結(jié)果精確到0.01°）；

（2）地面上P，Q兩點(diǎn)間的距離（PQ的長）.

【評析】本題綜合考查了切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.弧長公式和解直角三角形的應(yīng)用.要求學(xué)生能解讀題中所給的文字及圖形信息，并準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，建立幾何模型進(jìn)行運(yùn)算，注重對數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的考查，引導(dǎo)教師關(guān)注學(xué)生文字閱讀和讀圖識圖能力的培養(yǎng)，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力的訓(xùn)練.

2 數(shù)學(xué)中考全省統(tǒng)一命題的啟示

（1）重視文字閱讀，培養(yǎng)表達(dá)能力

著名數(shù)學(xué)家蘇步青教授認(rèn)為，學(xué)不好語文的學(xué)生，將會大大限制他在其它學(xué)科的發(fā)展.可見學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，培養(yǎng)其在文字理解及表達(dá)方面的能力是至關(guān)重要的，教師要重視在日常課堂教學(xué)中給學(xué)生留出獨(dú)立讀題和審題的時間，引導(dǎo)學(xué)生閱讀文字，解讀信息，找出每段文字的關(guān)鍵詞，把“關(guān)鍵詞”、“關(guān)鍵句”用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行“翻譯”，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號語言的表達(dá)能力.

（2）注重題型歸納，提升建模素養(yǎng)

初中階段數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本數(shù)學(xué)模型較為典型的有方程（組）型、不等式（組）型、函數(shù)型等，以一元二次方程的應(yīng)用題為例，有“握手”問題，“互贈禮物”問題，增長率問題，傳染病問題等，每一種類型的問題都有其基本的方程模型，教師應(yīng)扎扎實(shí)實(shí)做好相關(guān)問題的教學(xué)，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生在掌握基本數(shù)學(xué)模型的同時，能舉一反三，觸類旁通，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（3）加強(qiáng)題型變式、引導(dǎo)多向探究

挖掘基礎(chǔ)題型的“變式”潛力，層層遞進(jìn)，題型變式和多向探究能有效拓展學(xué)生思維.常見到一些中考題的原型來自課本例題，略作修改就是一道經(jīng)典的應(yīng)用型改編題.教師在中考復(fù)習(xí)過程中應(yīng)重視對課本例題、習(xí)題的挖掘與研究，形成各類典型應(yīng)用問題的“變式問題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，多向探究，關(guān)注數(shù)學(xué)思維的生成過程，促進(jìn)學(xué)生在問題探究中完成對數(shù)學(xué)知識的整體建構(gòu)，使學(xué)生逐步具備靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，提升教學(xué)效果.

（4）放眼現(xiàn)實(shí)生活，發(fā)展應(yīng)用意識

“數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活”，這句體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活關(guān)系的至理名言經(jīng)常被數(shù)學(xué)教育工作者們津津樂道，也應(yīng)成為學(xué)生的一種真切的感悟.教師應(yīng)重視“實(shí)驗(yàn)與探究”和“課題學(xué)習(xí)”等相關(guān)數(shù)學(xué)活動的開展，在日常課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會生活動態(tài)，主動運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來思考生活問題，用數(shù)學(xué)的眼光探索新知，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和綜合能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育司.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]福建省教育廳.2016年福建省初中學(xué)業(yè)考試大綱（數(shù)學(xué)）[S].閩教基[2016]6號，2016.

[3]蘇圣奎，陳清華.2015年福建省中考數(shù)學(xué)函數(shù)題型分類評析[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（7）：5-9.